备战2021年高考数学（理）一轮复习 易错点08 不等式 学案
展开易错点08 不等式
易错点1：线性规划
求线性目标函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，当b＞0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最大，在y轴截距最小时，z值最小；当b＜0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最小，在y轴上截距最小时，z值最大.
易错点2：基本不等式
均值不等式（当仅当a=b时取等号）注意：①一正二定三相等；
②变形：（当仅当a=b时取等号）
易错点3：绝对值不等式
(1)用零点分段法解绝对值不等式的步骤：
①求零点；②划区间、去绝对值号；③分别解去掉绝对值的不等式；④取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值．
(2)用图象法、数形结合可以求解含有绝对值的不等式，使得代数问题几何化，既通俗易懂，又简洁直观，是一种较好的方法．
易错点4：柯西不等式
(1)使用柯西不等式证明的关键是恰当变形，化为符合它的结构形式，当一个式子与柯西不等式的左边或右边具有一致形式时，就可使用柯西不等式进行证明．
(2)利用柯西不等式求最值的一般结构为
(a＋a＋…＋a)(＋＋…＋)≥(1＋1＋…＋1)2＝n2.在使用柯西不等式时，要注意右边为常数且应注意等号成立的条件．
01 线性规划
例1（2020•全国1卷）若x，y满足约束条件则z＝x＋7y的最大值为______
【警示】首先画出可行域，然后结合目标函数的几何意义即可求得其最大值.
【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，
目标函数即：，
其中z取得最大值时，其几何意义表示直线系在y轴上的截距最大，
据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A处取得最大值，
联立直线方程：，可得点A的坐标为：，
据此可知目标函数的最大值为：.故答案为：1．
【叮嘱】求线性目标函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，当b＞0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最大，在y轴截距最小时，z值最小；当b＜0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最小，在y轴上截距最小时，z值最大.
1（2020年全国3卷）若x，y满足约束条件 ，则z＝3x＋2y的最大值为_____．
【解析】不等式组所表示的可行域如图
因为，所以，易知截距越大，则越大，
平移直线，当经过A点时截距最大，此时z最大，
由，得，，所以.故答案为：7.
2.（2020南宁浙江卷）若实数x，y满足约束条件，则z＝2x＋y的取值范围是( )
A. B. C. D.
【解析】首先画出可行域，然后结合目标函数的几何意义确定目标函数在何处能够取得最大值和最小值从而确定目标函数的取值范围即可.
【详解】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，
目标函数即：，
其中z取得最大值时，其几何意义表示直线系在y轴上的截距最大，
z取得最小值时，其几何意义表示直线系在y轴上的截距最小，
据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A处取得最小值，
联立直线方程：，可得点A的坐标为：，
据此可知目标函数的最小值为：,且目标函数没有最大值.
故目标函数的取值范围是.故选：B
02 基本不等式
例2．（2020年新全国1山东）已知a＞0，b＞0，且a＋b＝1，则（ ）
A. B.
C. D.
【警示】根据，结合基本不等式及二次函数知识进行求解.
【解析】对于A，，
当且仅当时，等号成立，故A正确；
对于B，，所以，故B正确；
对于C，，
当且仅当时，等号成立，故C不正确；
对于D，因为，
所以，当且仅当时，等号成立，故D正确；故选：ABD
【叮嘱】均值不等式（当仅当a=b时取等号）注意：①一正二定三相等；
②变形：（当仅当a=b时取等号）
1（2020年天津卷）已知，且，则的最小值为_____．
【解析】，,
，当且仅当＝4时取等号，
结合,解得，或时，等号成立.
故答案为：
2.（2020年江苏卷）已知，则的最小值是_______．
【解析】∵,∴且
∴，当且仅当，即时取等号.∴的最小值为.故答案为：.
03 含绝对值不等式
例3．（2020•全国1卷）已知函数．
（1）画出的图像；
（2）求不等式的解集．
【警示】（1）根据分段讨论法，即可写出函数的解析式，作出图象；
（2）作出函数的图象，根据图象即可解出．
【解析】（1）因为，作出图象，如图所示：
（2）将函数的图象向左平移个单位，可得函数的图象，如图所示：
由，解得．所以不等式的解集为．
【叮嘱】(1)用零点分段法解绝对值不等式的步骤：
①求零点；②划区间、去绝对值号；③分别解去掉绝对值的不等式；④取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值．
(2)用图象法、数形结合可以求解含有绝对值的不等式，使得代数问题几何化，既通俗易懂，又简洁直观，是一种较好的方法．
1.（2020全国2卷）已知函数.
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若，求a的取值范围.
【解析】（1）当时，.
当时，，解得：；
当时，，无解；
当时，，解得：；
综上所述：的解集为或.
（2）（当且仅当时取等号），，解得：或，
的取值范围为.
2.（2020年江苏卷）设，解不等式．
【解析】或或
或或,所以解集为
04 柯西不等式
例4（2020•全国3卷）设a，b，cR，a＋b＋c＝0，abc＝1．
（1）证明：ab＋bc＋ca＜0；
（2）用max{a，b，c}表示a，b，c中的最大值，证明：max{a，b，c}≥．
【警示】（1）由结合不等式的性质，即可得出证明；
（2）不妨设，由题意得出，由，结合基本不等式，即可得出证明.
【解析】（1），
均不为，则，；
（2）不妨设，
由可知，，
，.
当且仅当时，取等号，
，即.
【叮嘱】(1)使用柯西不等式证明的关键是恰当变形，化为符合它的结构形式，当一个式子与柯西不等式的左边或右边具有一致形式时，就可使用柯西不等式进行证明．
(2)利用柯西不等式求最值的一般结构为
(a＋a＋…＋a)(＋＋…＋)≥(1＋1＋…＋1)2＝n2.在使用柯西不等式时，要注意右边为常数且应注意等号成立的条件．
14.（2019全国I理23）已知a，b，c为正数，且满足abc=1．证明：
（1）；
（2）．
【解析】（1）因为，又，故有
.
所以.
（2）因为为正数且，故有
=24.
所以.
15.（2019全国III理23）设，且.
（1）求的最小值；
（2）若成立，证明：或.
【解析】（1）由于
，
故由已知得，
当且仅当x=，y=–，时等号成立．
所以的最小值为.
（2）由于
，
故由已知，
当且仅当，，时等号成立．
因此的最小值为．
由题设知，解得或．
1.（2020年上海卷）下列不等式恒成立的是（）
A. B.
C. D.
【解析】B
2.（2020年新全国1山东）已知a＞0，b＞0，且a＋b＝1，则（ ）
A. B.
C. D.
【解析】对于A，，
当且仅当时，等号成立，故A正确；
对于B，，所以，故B正确；
对于C，，
当且仅当时，等号成立，故C不正确；
对于D，因为，
所以，当且仅当时，等号成立，故D正确；故选：ABD
3．（2014山东）若，，则一定有
A． B． C． D．
【解析】由，又
，由不等式性质知：，所以
4.（2020•天津卷）已知，且，则的最小值为_____．
【解析】，,
，当且仅当＝4时取等号，
结合,解得，或时，等号成立.
故答案是：4.
5.（2019浙江3）若实数x，y满足约束条件，则z=3x+2y的最大值是
A． B．1
C．10 D．12
【解析】作出表示的平面区域，如图所示
分别联立其中两个方程，得A（2，2），B（-1，1），C（1，-1），则.故选C.
6．(2018天津)设变量x，y满足约束条件 则目标函数的最大值为
A． 6 B．19 C．21 D．45
【解析】不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，
作出直线．平移该直线，当经过点时，取得最大值，由，
得，即，所以，故选C．
7．（2017新课标Ⅲ）设，满足约束条件，则的取值范围是
A．[–3,0] B．[–3,2] C．[0,2] D．[0,3]
【解析】不等式组的可行域如图，目标函数的几何意义可得函数在点 处取得最小值 . 在点 处取得最大值，选B．
8.（2019天津文13）设，，，则的最小值为__________.
【解析】，，，
而.
由基本不等式有，所以（当且仅当时，即，时，等号成立）.
所以，，所以的最小值为.
9．(2018全国卷Ⅰ)已知．
(1)当时，求不等式的解集；
(2)若时不等式成立，求的取值范围．
【解析】(1)当时，，即
故不等式的解集为．
(2)当时成立等价于当时成立．
若，则当时；
若，的解集为，所以，故．
综上，的取值范围为．
10.（2019全国I理23）已知a，b，c为正数，且满足abc=1．证明：
（1）；
（2）．
【解析】（1）因为，又，故有
.
所以.
（2）因为为正数且，故有
=24.
所以.
