备战2021年高考数学（理）一轮复习 易错点12 圆锥曲线 学案

易错点12  圆锥曲线

易错点1：椭圆及其性质

 （1）焦点位置不确定导致漏解   要注意根据焦点的位置选择椭圆方程的标准形式，知道之间的大小关系和等量关系：

（2）直线与椭圆的位置关系

①忽视直线斜率为0或不存在的情况

②在用椭圆与直线联立求解时，消元后得到的方程中要注意：二次项的系数是否为零？判别式的限制.（求交点，弦长，中点，斜率，对称，存在性问题都在下进 

易错点2：双曲线及其性质

（1）焦点位置不确定导致漏解   要注意根据焦点的位置选择双曲线方程的标准形式，知道之间的大小关系和等量关系：

（2）双曲线的几何性质，渐近线、离心率、焦半经、通径；

易错点3：抛物线及其性质

（1）主观认为抛物线的顶点就是原点;

（2）忽视抛物线的变化趋势,只从图形的局部,乱下结论;

（3）在使用抛物线的焦半径公式时,错把纵坐标写成横坐标;

（4）解决直线与抛物线综合题时,忽略对直线斜率不存在情况的讨论;

            01  椭圆及其性质

例1（2020•北京卷）已知椭圆过点，且．

（Ⅰ）求椭圆C的方程：

（Ⅱ）过点的直线l交椭圆C于点,直线分别交直线于点．求的值．

【警示】(Ⅰ)由题意得到关于a,b的方程组，求解方程组即可确定椭圆方程；

(Ⅱ)首先联立直线与椭圆的方程，然后由直线MA,NA的方程确定点P,Q的纵坐标，将线段长度的比值转化为纵坐标比值的问题，进一步结合韦达定理可证得，从而可得两线段长度的比值.

【解析】(1)设椭圆方程为：，由题意可得：

，解得：，故椭圆方程为：.

(2)设，，直线的方程为：，

与椭圆方程联立可得：，即：，

则：.直线MA的方程为：，

令可得：，

同理可得：.很明显，且：，注意到：

，

而：

，

故.从而.

【叮嘱】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：

(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；

(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．

1.（2020•全国2卷）已知椭圆C1：(a＞b＞0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重合，C1的中心与C2的顶点重合.过F且与x轴垂直的直线交C1于A，B两点，交C2于C，D两点，且|CD|＝|AB|.

（1）求C1的离心率；

（2）设M是C1与C2的公共点，若|MF|＝5，求C1与C2的标准方程.

【解析】（1），轴且与椭圆相交于、两点，

则直线的方程为，联立，解得，则，

抛物线的方程为，联立，解得，，

，即，，即，即，

，解得，因此，椭圆的离心率为；

（2）由（1）知，，椭圆的方程为，

联立，消去并整理得，解得或（舍去），

由抛物线的定义可得，解得.因此，曲线的标准方程为，

曲线的标准方程为.

2.（2020•江苏卷）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，点A在椭圆E上且在第一象限内，AF2⊥F1F2，直线AF1与椭圆E相交于另一点B．

（1）求△AF1F2的周长；

（2）在x轴上任取一点P，直线AP与椭圆E的右准线相交于点Q，求的最小值；

（3）设点M在椭圆E上，记△OAB与△MAB的面积分别为S1，S2，若S2＝3S1，求点M的坐标．

【解析】（1）∵椭圆的方程为,∴,

由椭圆定义可得：.

∴的周长为

（2）设，根据题意可得.∵点在椭圆上，且在第一象限，

∴,∵准线方程为,∴,

∴，当且仅当时取等号.

∴的最小值为.

（3）设，点到直线的距离为.∵，

∴直线的方程为,∵点到直线的距离为，

∴,∴,∴①

∵②,∴联立①②解得，.

∴或.

            02  双曲线及其性质

例2（2020•北京卷）已知双曲线，则C的右焦点的坐标为_________；C的焦点到其渐近线的距离是_________．

【警示】根据双曲线的标准方程可得出双曲线的右焦点坐标，并求得双曲线的渐近线方程，利用点到直线的距离公式可求得双曲线的焦点到渐近线的距离.

【解析】在双曲线中，，，则，则双曲线的右焦点坐标为，

双曲线的渐近线方程为，即，

所以，双曲线的焦点到其渐近线的距离为.故答案为：；.

【点睛】本题考查根据双曲线的标准方程求双曲线的焦点坐标以及焦点到渐近线的距离，

【叮嘱】（1）双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为b.

（2）分别是双曲线的左、右焦点，是双曲线左支上过点的弦，则的周长是

（3）双曲线焦点三角形的内切圆与F1F2相切于实轴顶点；当P点在双曲线左支时，切点为左顶点；当P点在双曲线右支时，切点为右顶点。

1.（2020•全国2卷）设为坐标原点，直线与双曲线的两条渐近线分别交于两点，若的面积为8，则的焦距的最小值为（    ）

A. 4 B. 8 C. 16 D. 32

【解析】双曲线的渐近线方程是

直线与双曲线的两条渐近线分别交于，两点

不妨设为在第一象限，在第四象限.联立，解得

故,联立，解得,故,

面积为：,双曲线

其焦距为,当且仅当取等号

的焦距的最小值：,故选：B.

2.（2020•全国1卷）已知F为双曲线的右焦点，A为C的右顶点，B为C上的点，且BF垂直于x轴.若AB的斜率为3，则C的离心率为______________.

【解析】联立，解得，所以.

依题可得，，，即，变形得，,

因此，双曲线的离心率为.故答案为：．

            03   抛物线及其性质

例3（2020•新全国1山东）.斜率为的直线过抛物线C：y2＝4x的焦点，且与C交于A，B两点，则＝________．

【警示】先根据抛物线的方程求得抛物线焦点坐标，利用点斜式得直线方程，与抛物线方程联立消去y并整理得到关于x的二次方程，接下来可以利用弦长公式或者利用抛物线定义将焦点弦长转化求得结果.

【解析】∵抛物线的方程为，∴抛物线焦点F坐标为，

又∵直线AB过焦点F且斜率为，∴直线AB的方程为：

代入抛物线方程消去y并化简得，解法一：解得  

所以解法二：

设，则,过分别作准线的垂线，设垂足分别为如图所示.

故答案为：

【叮嘱】直线AB过抛物线的焦点，交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，如图：

（1）y1y2＝－p2，x1x2＝.

（2）|AB|＝x1＋x2＋p，x1＋x2≥＝p，即当x1＝x2时，弦长最短为2p.

（3）＋为定值.

（4）弦长AB＝(α为AB的倾斜角)．

（5）以AB为直径的圆与准线相切。

（6）以AF为直径的圆与y轴相切．

（7）焦点F对A，B在准线上射影的张角为90°.

1.（2020•全国1卷）已知A为抛物线C:y2＝2px（p＞0）上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p＝（    ）

A. 2 B. 3 C. 6 D. 9

【解析】设抛物线的焦点为F，由抛物线的定义知，即，解得.

故选：C.

2.（2020•全国3卷）设为坐标原点，直线与抛物线C：交于，两点，若，则的焦点坐标为（    ）

A.  B.  C.  D.

【解析】】因为直线与抛物线交于两点，且，

根据抛物线的对称性可以确定，所以，

代入抛物线方程，求得，所以其焦点坐标为，故选：B.

1.（2020•北京卷）设抛物线的顶点为，焦点为，准线为．是抛物线上异于的一点，过作于，则线段的垂直平分线（    ）．

A. 经过点 B. 经过点

C. 平行于直线 D. 垂直于直线

【解析】如图所示：．

因为线段的垂直平分线上的点到的距离相等，又点在抛物线上，根据定义可知，，所以线段的垂直平分线经过点.故选：B.

2.（2020•全国3卷）设双曲线C：（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为．P是C上一点，且F1P⊥F2P．若△PF1F2的面积为4，则a＝（    ）

A. 1 B. 2 C. 4 D. 8

【解析】，，根据双曲线的定义可得，

，即，，，

，即，解得，

故选：A.

3（2020•新全国1山东）已知曲线.（    ）

A. 若m＞n＞0，则C是椭圆，其焦点在y轴上

B. 若m＝n＞0，则C是圆，其半径为

C. 若mn＜0，则C是双曲线，其渐近线方程为

D. 若m＝0，n＞0，则C是两条直线

【解析】对于A，若，则可化为，

因为，所以，即曲线表示焦点在轴上的椭圆，故A正确；

对于B，若，则可化为，

此时曲线表示圆心在原点，半径为的圆，故B不正确；

对于C，若，则可化为，此时曲线表示双曲线，

由可得，故C正确；

对于D，若，则可化为，

，此时曲线表示平行于轴的两条直线，故D正确；故选：ACD.

4.（2020•天津卷）设双曲线的方程为，过抛物线的焦点和点的直线为．若的一条渐近线与平行，另一条渐近线与垂直，则双曲线的方程为（    ）

A.  B.  C.  D.

【解析】由题可知，抛物线的焦点为，所以直线的方程为，即直线的斜率为，

又双曲线的渐近线的方程为，所以，，因为，解得．

故选：．

5.（2020•江苏卷）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线﹣＝1(a＞0)的一条渐近线方程为y＝x，则该双曲线的离心率是____.

【解析】双曲线，故.由于双曲线的一条渐近线方程为，即，所以，所以双曲线的离心率为.故答案为：

6.（2020•全国1卷）已知A、B分别为椭圆E：（a＞1）的左、右顶点，G为E的上顶点，，P为直线x＝6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D．

（1）求E的方程；

（2）证明：直线CD过定点.

【解析】（1）依据题意作出如下图象：

由椭圆方程可得：， ，

，，椭圆方程为：

（2）证明：设，

则直线的方程为：，即：

联立直线的方程与椭圆方程可得：，整理得：

，解得：或

将代入直线可得：

所以点的坐标为.

同理可得：点的坐标为

直线的方程为：，

整理可得：

整理得：

故直线过定点

7.（2020•全国3卷）已知椭圆的离心率为，，分别为的左、右顶点．

（1）求的方程；

（2）若点在上，点在直线上，且，，求的面积．

【解析】（1），，

根据离心率，

解得或(舍)，的方程为：，即；

（2）不妨设,在x轴上方

点在上，点在直线上，且，，

过点作轴垂线，交点为，设与轴交点为

根据题意画出图形，如图

，，，又，，，根据三角形全等条件“”，

可得：，，，，

设点为，可得点纵坐标为，将其代入，

可得：，解得：或，点为或，

①当点为时，故，，，

可得：点为，画出图象，如图

,，可求得直线的直线方程为：，

根据点到直线距离公式可得到直线的距离为：，

根据两点间距离公式可得：，

面积为：；

②当点为时，故，，

，可得：点为，画出图象，如图

,，可求得直线的直线方程为：，

根据点到直线距离公式可得到直线的距离为：，

根据两点间距离公式可得：，

面积为：，综上所述，面积为：.

8.（2020•新全国1山东）已知椭圆C：的离心率为，且过点A（2，1）．

（1）求C的方程：

（2）点M，N在C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D为垂足．证明：存在定点Q，使得|DQ|为定值．

【解析】(1)由题意可得：，解得：，故椭圆方程为：.

(2)设点.因为AM⊥AN，∴，即,①

当直线MN的斜率存在时，设方程为,如图1.

代入椭圆方程消去并整理得：

    ②,

根据,代入①整理可得：

将②代入，，

整理化简得,∵不在直线上，∴，

∴，于是MN的方程为，

所以直线过定点直线过定点.

当直线MN的斜率不存在时，可得,如图2.

代入得,

结合,解得,此时直线MN过点,

由于AE为定值，且△ADE为直角三角形，AE为斜边，

所以AE中点Q满足为定值（AE长度的一半）.

由于，故由中点坐标公式可得.

故存在点，使得|DQ|为定值.

9.（2020•天津卷）已知椭圆的一个顶点为，右焦点为，且，其中为原点．

（Ⅰ）求椭圆方程；

（Ⅱ）已知点满足，点在椭圆上（异于椭圆的顶点），直线与以为圆心的圆相切于点，且为线段的中点．求直线的方程．

【解析】（Ⅰ）椭圆的一个顶点为，

，由，得，又由，得，

所以，椭圆的方程为；

（Ⅱ）直线与以为圆心的圆相切于点，所以，

根据题意可知，直线和直线的斜率均存在，

设直线的斜率为，则直线的方程为，即，

，消去，可得，解得或.

将代入，得，

所以，点的坐标为，因为为线段的中点，点的坐标为，

所以点的坐标为，由，得点的坐标为，

所以，直线的斜率为，又因为，所以，

整理得，解得或.所以，直线的方程为或.

10.（2020•浙江卷）如图，已知椭圆，抛物线，点A是椭圆与抛物线的交点，过点A的直线l交椭圆于点B，交抛物线于M（B，M不同于A）．

（Ⅰ）若，求抛物线的焦点坐标；

（Ⅱ）若存在不过原点的直线l使M为线段AB的中点，求p的最大值．

【解析】（Ⅰ）当时，的方程为，故抛物线的焦点坐标为；

（Ⅱ）设，

由，

，

由在抛物线上，所以，

又，

，，

.由即

，

所以，，，

所以，的最大值为，此时.

法2：设直线，.

将直线的方程代入椭圆得：，

所以点的纵坐标为.

将直线的方程代入抛物线得：，

所以，解得，因此，

由解得，

所以当时，取到最大值为.