备战2021年高考数学（理）一轮复习 易错点01 集合与运算 学案

易错点01  集合与运算

易错点1：代表元素意义不清而出错

用描述法表示集合，一定要注意两点：1、一定要清楚符号“{x|x的属性}”表示的是具有某种属性的x的全体，而不是部分；2、一定要从代表元素入手，弄清代表元素是什么。

易错点2：混淆数集和点集的表示

使用特征法表示集合时，首先要明确集合中的代表元素是什么，比如，①{y|y=x2+1};②{(x,y)|y=x2+1}，这两个集合中的代表元素的属性表达式都和y=x2+1有关，但由于代表元素符号形式不同，因而表示的集合也不一样。①代表的数集，②代表的是点集。

易错点3：混淆子集和真子集而错

集合之间的关系类问题涉及到参数时，需要分类讨论，分类讨论时非常容易忽略两个集合完全相等这种情况，认为子集就是真子集，最终导致参数求错或者集合的关系表达不准确。

易错点4：求参数问题

（1）根据条件求集合的中的参数时，一定要带入检验，看是否满足集合的“三性”中互异性，同时还要检验是否满足题干中的其他条件。

（2）在求集合中参数的取值范围时，要特别注意该参数在取值范围的边界处能否取等号，最稳妥的办法就是把端点值带入原式，看是否符合题目要求。要注意两点：1、参数值代入原集合中看是否满足集合的互异性；2、所求参数能否取到端点值。

（3）空集是一个特殊而又重要的结论，它不含任何元素，记为∅。在解隐含有空集参与的集合问题时，非常容易忽略空集的特殊性而出错。特别是在求参数问题时，会进行分类讨论，讨论过程中非常容易忘记空集的存在，导致最终答案出错。

            01   代表元素意义不清而出错

例1．已知集合,，则=（   ）

A．  B．    C．     D．

【警示】在考试中，很多考生本题容易错选B,因为把集合B当成函数的值域而出错.

【解析】，，=.

【答案】选D

【叮嘱】用描述法表示集合，一定要注意两点：1、一定要清楚符号“{x|x的属性}”表示的是具有某种属性的x的全体，而不是部分；2、一定要从代表元素入手，弄清代表元素是什么。

1．(2016年天津）已知集合则=

A．  B．  C．  D．

【解析】选D.由题意，所以．

2．（2014山东）设集合则

A． [0,2]    B．(1,3)    C． [1,3)      D． (1,4)

【解析】选C.，∴，．∴．

            02   混淆数集和点集的表示

例2.（2020•全国3卷）已知集合，，则中元素的个数为（    ）

A. 2 B. 3 C. 4 D. 6

【警示】本题容易把点集错看成数集，或者不理解点集的几何意义而出错.

【解析】由题意，中的元素满足，且，

由，得，所以满足的有，

故中元素的个数为4.故选：C.

【答案】C

【叮嘱】使用特征法表示集合时，首先要明确集合中的代表元素是什么，比如，①{y|y=x2+1};②{(x,y)|y=x2+1}，这两个集合中的代表元素的属性表达式都和y=x2+1有关，但由于代表元素符号形式不同，因而表示的集合也不一样。①代表的数集，②代表的是点集。

1.已知集合，，则中元素的个数为

A．3           B．2             C．1              D．0

【解析】集合、为点集，易知圆与直线有两个交点，

所以中元素的个数为2．选B．

2.已知集合，则中元素的个数为（   ）

A．9    B．8   C．5   D．4

【解析】通解  由知，，．

又，，所以，，

所以中元素的个数为，故选A．

优解  根据集合的元素特征及圆的方程在坐标系中作出图形，如图，

易知在圆中有9个整点，即为集合的元素个数，故选A．

            03   在解含参数集合问题时忽视空集

例3.(必修1 P44 A组T4改编)已知集合A＝{x|x2＝1}，B＝{x|ax＝1}，若B⊆A，则实数a的取值集合为(　　)

A．{－1,0,1}　　     B．{－1,1}           C．{－1,0}       D．{0,1}

【警示】本题考生容易忽略“空集是任何集合的子集”，而错选B；当a＝0时，B＝∅，符合题意；

【解析】 因为A＝{1，－1}，当a＝0时，B＝∅，符合题意；当a≠0时，B＝⊆A，则＝1或＝－1，解得a=-1或0或1

【答案】选A

【叮嘱】由于空集是一个特殊的集合，它是任何集合的子集，因此对于集合就有可能忽视了，导致解题结果错误。尤其是在解含参数的集合问题时，更应注意到当参数在某个范围内取值时，所给的集合可能是空集的情况。考生由于思维定式的原因，往往会在解题中遗忘了这个集合，导致答案错误或答案不全面。

1.（2020•全国1卷）设集合A＝{x|x2–4≤0}，B＝{x|2x＋a≤0}，且A∩B＝{x|–2≤x≤1}，则a＝（    ）

A. –4 B. –2 C. 2 D. 4

【解析】求解二次不等式可得：，

求解一次不等式可得：.

由于，故：，解得：.故选：B.

2.已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B⊆A，则实数m的取值范围是（  ）．

A．[2,3]          B．(2,3)           C．(-∞ ,3]          D．(-∞ ,3)

【错解】由B⊆A，得解得2≤m≤3.

【正解】A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，且B⊆A.

①若B＝∅，则m＋1>2m－1，解得m<2，此时有B⊆A；

②若B≠∅，则m＋1≤2m－1，即m≥2，

由B⊆A，得解得2≤m≤3.

由①②得m≤3.∴实数m的取值范围是{m|m≤3}.选C.

            04   混淆子集和真子集而错

例.已知集合M={-1,0,1,2,3,4}，N={1,3,5}，，则的真子集共有（    ）

A．2个      B．3个      C．4个      D．8个

【警示】本题考生易错在于没有认真审题，没注意到问的是真子集，而不是子集.在考试中，总会出现一些考生，由于太过自信或者进入考试状态较慢，尤其是中上水平的考生在一些基础考题中出现跳跃式审题而导致错误.

【解析】，的真子集是｛1｝，｛3｝，φ共3个；注意：φ是任何非空集合的真子集。

【答案】选B，

【叮嘱】子集包包括真子集,从定义上说,子集是：一个集合中的元素是另一个子集当中全部或者部分元素,就是子集.真子集：一个集合当中的元素是另一个元素的一部分,(意思是子集可以和原来的集合相等,而真子集就不能等于原来的集合) 

1．（2011新课标）已知集合M={0，1，2，3，4}，N={1，3，5}，，则的子集共有（   ）

A．2个      B．4个      C．6个      D．8个

【解析】，故的子集有4个．

【答案】选B

2．（2013山东）已知集合均为全集的子集，且,

,则

A．{3}    B．{4}    C．{3,4}    D．

【解析】由题意，且，所以中必有3，没有4，

，故．

【答案】选A

1．已知集合，则（  ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】，∴，则.

2．已知全集，集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】，∴．

3．已知集合,则中所含元素的个数为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

列举法得出集合，共含个元素．

4．已知全集，集合A＝,则集合CuA等于

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

由A＝，全集，所以CuA.

5．设集合， ， ，则

A．{2} B．{2，3} C．{-1，2，3} D．{1，2，3，4}

【答案】D

【解析】因为，所以.

6．设集合，，则（ ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】,,所以.

7．已知全集，集合，集合，则集合（ ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】,所以.

8．已知集合，则满足条件的集合的个数为（  ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】D

【解析】求解一元二次方程，得

，易知.

因为，所以根据子集的定义，

集合必须含有元素1,2，且可能含有元素3,4，

原题即求集合的子集个数，即有个，故选D.

9．已知集合，则=

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由题意得，，则

．故选C．

10．已知集合，，若，则（ ）

A．或 B．或 C．或 D．或

【答案】B

【解析】因为,所以,所以或.

若，则,满足.

若，解得或.若，则，满足.若，显然不成立，综上或，选B.