备战2021年高考数学（理）一轮复习 易错点10 立体几何中的角 学案

易错点10 立体几何中的角

易错点1：异面直线所成的角
1.求异面直线所成角的思路是：通过平移把空间两异面直线转化为同一平面内的相交直线，进而利用平面几何知识求解，整个求解过程可概括为：一找二证三求。
2.求异面直线所成角的步骤：
①选择适当的点，平移异面直线中的一条或两条成为相交直线，这里的点通常选择特殊位置斩点。
②求相交直线所成的角，通常是在相应的三角形中进行计算。③因为异面直线所成的角q的范围是0°＜θq≤90°，所以在三角形中求的角为钝角时，应取它的补角作为异面直线所成的角。
3.“补形法”是立体几何中一种常见的方法，通过补形，可将问题转化为易于研究的几何体来处理，利用“补形法”找两异面直线所成的角也是常用的方法之一。
4.利用向量，设而不找，对于规则几何体中求异面直线所成的角也是常用的方法之一。
易错点2：直线与平面所成的角
1.传统几何方法：
①转化为求斜线与它在平面内的射影所成的角，通过直角三角形求解。
②利用三面角定理（即最小角定理）求。
2.向量方法：设为平面的法向量，直线与平面所成的角为，则

易错点3：二面角
用向量求二面角大小的基本步骤
1.建立坐标系，写出点与所需向量的坐标；
2.求出平面的法向量，平面的法向量
3.进行向量运算求出法向量的夹角；
4.通过图形特征或已知要求，确定二面角是锐角或钝角，得出问题的结果：


01 求异面直线所成的角

例1(2018全国卷Ⅱ)在长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为
A． B． C． D．
【警示】本题可通过补形平移法，补上一相同的长方体，连接，．
易知，则为异面直线与所成角；也可通过建立直角坐标系，用向量法来求解。
【解析】解法一 如图，

补上一相同的长方体，连接，．
易知，则为异面直线与所成角．
因为在长方体中，，，
所以，，
，
在中，由余弦定理，得，
即异面直线与所成角的余弦值为，故选C．
解法二 以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示．

由条件可知，，，，
所以，，
则由向量夹角公式，得，
即异面直线与所成角的余弦值为，故选C．

【叮嘱】（1）求异面直线所成角的思路是：通过平移把空间两异面直线转化为同一平面内的相交直线，进而利用平面几何知识求解，整个求解过程可概括为：一找二证三求。
（2）求异面直线所成角的步骤：
①选择适当的点，平移异面直线中的一条或两条成为相交直线，这里的点通常选择特殊位置斩点。
②求相交直线所成的角，通常是在相应的三角形中进行计算。③因为异面直线所成的角q的范围是0°＜θq≤90°，所以在三角形中求的角为钝角时，应取它的补角作为异面直线所成的角。
（3）“补形法”是立体几何中一种常见的方法，通过补形，可将问题转化为易于研究的几何体来处理，利用“补形法”找两异面直线所成的角也是常用的方法之一。
（4）利用向量，设而不找，对于规则几何体中求异面直线所成的角也是常用的方法之一。


5．(2017新课标Ⅱ)已知直三棱柱中，，，
，则异面直线与所成角的余弦值为
A． B． C． D．
【解析】如图所示，把三棱柱补成四棱柱，异面直线与所成角为

,
，，
∴．选C．
（2015浙江）如图，三棱锥中，，，点分别是的中点，则异面直线所成的角的余弦值是 ．

【解析】如图连接，取的中点，连接，则．

则异面直线，所成的角为，由题意可知，，
∴．又，，，∴，
则．
02 直线与平面所成角
例2（2020•北京卷）如图，在正方体中，E为的中点．

（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．
【警示】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可计算出直线与平面所成角的正弦值.
【详解】
（Ⅱ）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，

设正方体的棱长为，则、、、，，，
设平面的法向量为，由，得，
令，则，，则..
因此，直线与平面所成角的正弦值为.
【叮嘱】求平面的斜线与平面所成角
1.传统几何方法：
①转化为求斜线与它在平面内的射影所成的角，通过直角三角形求解。
②利用三面角定理（即最小角定理）求。
2.向量方法：设为平面的法向量，直线与平面所成的角为，则




1.（2020年全国2卷）如图，已知三棱柱ABC－A1B1C1的底面是正三角形，侧面BB1C1C是矩形，M，N分别为BC，B1C1的中点，P为AM上一点，过B1C1和P的平面交AB于E，交AC于F.

（1）证明：AA1∥MN，且平面A1AMN⊥EB1C1F；
（2）设O为△A1B1C1的中心，若AO∥平面EB1C1F，且AO＝AB，求直线B1E与平面A1AMN所成角的正弦值.
【解析】（1）分别为，的中点，,又,,
在中，为中点，则,又侧面为矩形，
,,,由，平面,
平面,又，且平面，平面，
平面,又平面，且平面平面, ,
,又平面,平面,平面,
平面平面,
（2）连接,

平面，平面平面,,
根据三棱柱上下底面平行，其面平面，面平面,
,故：四边形是平行四边形,设边长是(),
可得：，,为的中心，且边长为,
,故：,,,
,解得：,在截取，故,
且,四边形是平行四边形，,
由（1）平面,故为与平面所成角,
在，根据勾股定理可得：
,
直线与平面所成角的正弦值：.
2（2020年新全国1山东）如图，四棱锥P－ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD．设平面PAD与平面PBC的交线为l．

（1）证明：l⊥平面PDC；
（2）已知PD＝AD＝1，Q为l上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值．
【解析】（1）证明： 在正方形中，，
因为平面，平面，所以平面，
又因为平面，平面平面，所以，
因为在四棱锥中，底面是正方形，所以
且平面，所以因为所以平面；
（2）如图建立空间直角坐标系，

因为，则有，
设，则有，
设平面的法向量为，则，即，
令，则，所以平面的一个法向量为，则

根据直线的方向向量与平面法向量所成角的余弦值的绝对值即为直线与平面所成角的正弦值，所以直线与平面所成角的正弦值等于，当且仅当时取等号，
所以直线与平面所成角的正弦值的最大值为.

03 求二面角的大小
例3.（2020•全国1卷）如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，为底面直径，．是底面的内接正三角形，为上一点，．

（1）证明：平面；
（2）求二面角的余弦值．
【警示】（2））以O为坐标原点，OA为x轴，ON为y轴建立如图所示的空间直角坐标系，分别算出平面的法向量为，平面的法向量为，利用公式计算即可得到答案.
【解析】（1）略；
（2）过O作∥BC交AB于点N，因为平面，以O为坐标原点，OA为x轴，ON为y轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则，
，，，
设平面的一个法向量为，
由，得，令，得，
所以，设平面的一个法向量为
由，得，令，得，
所以故，
设二面角的大小为，则.
【叮嘱】用向量求二面角大小的基本步骤
1.建立坐标系，写出点与所需向量的坐标；

2.求出平面的法向量，平面的法向量
3.进行向量运算求出法向量的夹角；
4.通过图形特征或已知要求，确定二面角是锐角或钝角，得出问题的结果：




1.（2020•全国3卷）如图，在长方体中，点分别在棱上，且，．

（1）证明：点在平面内；
（2）若，，，求二面角的正弦值．
【解析】（1）在棱上取点，使得，连接、、、，

在长方体中，且，且，
，，且，
所以，四边形为平行四边形，则且，
同理可证四边形为平行四边形，且，
且，则四边形为平行四边形，
因此，点在平面内；
（2）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、，
，，，，
设平面的法向量为，
由，得取，得，则，
设平面的法向量为，
由，得，取，得，，则，

，
设二面角的平面角为，则，.
因此，二面角的正弦值为

2.（2019全国Ⅲ理19）图1是由矩形ADEB、Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB=1，BE=BF=2，∠FBC=60°，将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连结DG，如图2.
（1）证明：图2中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE；
（2）求图2中的二面角B-CG-A的大小.


【解析】（1）由已知得ADBE，CGBE，所以ADCG，故AD，CG确定一个平面，从而A，C，G，D四点共面．
由已知得ABBE，ABBC，故AB平面BCGE．
又因为AB平面ABC，所以平面ABC平面BCGE．
（2）作EHBC，垂足为H．因为EH平面BCGE，平面BCGE平面ABC，所以EH平面ABC．由已知，菱形BCGE的边长为2，∠EBC=60°，可求得BH=1，EH=．以H为坐标原点，的方向为x轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则A（–1，1，0），C（1，0，0），G（2，0，），
=（1，0，），=（2，–1，0）．
设平面ACGD的法向量为n=（x，y，z），则即
所以可取n=（3，6，–）．
又平面BCGE的法向量可取为m=（0，1，0），
所以．
因此二面角B–CG–A的大小为30°．


1.（2020年浙江卷）如图，三棱台DEF—ABC中，面ADFC⊥面ABC，∠ACB＝∠ACD＝45°，DC ＝2BC．

（I）证明：EF⊥DB；
（II）求DF与面DBC所成角的正弦值．
【解析】（Ⅰ）作交于，连接．
∵平面平面，而平面平面，平面，
∴平面，而平面，即有．
∵，∴．
在中，，即有，∴．
由棱台的定义可知，，所以，，而，
∴平面，而平面，∴．
（Ⅱ）因为，所以与平面所成角即为与平面所成角．
作于，连接，由（1）可知，平面，
因为所以平面平面，而平面平面，
平面，∴平面．
即在平面内的射影为，即为所求角．
在中，设，则，，
∴．
故与平面所成角的正弦值为．



2．（2015新课标Ⅱ）如图，长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB = 16，BC = 10，AA1 = 8， 点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1E = D1F = 4，过点E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形。
（1）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）；
（2）求直线AF与平面α所成的角的正弦值。

【解析】（Ⅰ）交线围成的正方形如图：
（Ⅱ）作，垂足为，
则
因为为正方形，所以
于是，所以
以D为坐标原点，的方向为轴正方向，
建立如图所以的空间直角坐标系，则


设是平面的法向量，则
即
所以可取
又，
故
所以AF与平面所成角的正弦值为

3.（2013新课标Ⅱ）如图，直三棱柱中，

（Ⅰ）证明：//平面；
（Ⅱ）求二面角的正弦值．


【解析】（Ⅰ）连结，交分别是的中点，于点O，
连结DO，则O为的中点，
因为D为AB的中点，所以OD∥，又因为OD平面，
平面，所以 //平面；
（Ⅱ）由=AC=CB=AB可设：AB=，则=AC=CB=，
所以AC⊥BC，又因为直棱柱，所以以点C为坐标原点，分别以直线CA、CB、为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系如图，

则、、、，
，

，，
，
设平面的法向量为，则且，
可解得，令，得平面的一个法向量为，
同理可得平面的一个法向量为，
则，所以，
所以二面角D--E的正弦值为．


4.（2020年天津卷）如图，在三棱柱中，平面，，点分别在棱和棱上，且为棱的中点．

（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求二面角的正弦值；
（Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值．
【解析】依题意，以为原点，分别以、、的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系（如图），

可得、、、、
、、、、.
（Ⅰ）依题意，，，
从而，所以；
（Ⅱ）依题意，是平面的一个法向量，
，．设为平面的法向量，
则，即，不妨设，可得．
，
．所以，二面角的正弦值为；
（Ⅲ）依题意，．
由（Ⅱ）知为平面的一个法向量，于是．
所以，直线与平面所成角的正弦值为.
5．（2017新课标Ⅲ）如图，四面体中，是正三角形，是直角三角形，，．
(1)证明：平面⊥平面；
(2)过的平面交于点，若平面把四面体分成体积相等的两部分，求二面角的余弦值．

【解析】（1）由题设可得，，从而．
又是直角三角形，所以
取的中点，连接，，则，．
又由于是正三角形，故．
所以为二面角的平面角．
在中，．
又，所以，故．
所以平面平面．
（2） 由题设及（1）知，两两垂直，以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，．
由题设知，四面体的体积为四面体的体积的，从而到平面的距离为到平面的距离的，即为的中点，得．
故，，
设是平面的法向量，则即
可取
设是平面的法向量，则同理可得
则
所以二面角的余弦值为． 

6．（2018全国卷Ⅲ）如图，边长为2的正方形所在的平面与半圆弧所在平面垂直，是 上异于，的点．
(1)证明：平面平面；
(2)当三棱锥体积最大时，求面与面所成二面角的正弦值．

【解析】(1)由题设知，平面⊥平面，交线为．
因为⊥，平面，所以⊥平面，故⊥．
因为为上异于，的点，且为直径，所以 ⊥．
又=，所以⊥平面．
而平面，故平面⊥平面．
(2)以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．

当三棱锥体积最大时，为的中点．
由题设得，，，，，
，，
设是平面的法向量，则
即
可取．
是平面的法向量，因此
，
，
所以面与面所成二面角的正弦值是．


7．（2014新课标II）如图，四棱锥中，底面为矩形，⊥平面，为的中点．
（Ⅰ）证明：∥平面；
（Ⅱ）设二面角为60°，=1，=，
求三棱锥的体积．

【解析】（Ⅰ）连接交于点，连结．
因为为矩形，所以为的中点．
又为的中点，所以∥．
平面,平面，所以∥平面．
（Ⅱ）因为平面，为矩形，
所以，，两两垂直．

如图，以为坐标原点，的方向为轴的正方向，
为单位长，建立空间直角坐标系，
则．
设，则．
设为平面的法向量，
则即，可取．
又为平面的法向量，
由题设，即，解得．
因为为的中点，所以三棱锥的高为．
三棱锥的体积．

8．（2011新课标）如图，四棱锥中，底面为平行四边形，，
，底面．
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）若，求二面角的余弦值．

【解析】（Ⅰ）因为，
由余弦定理得
从而，
故BDAD又PD底面ABCD，可得BDPD
所以BD平面PAD． 故 PABD

（Ⅱ）如图，以D为坐标原点，AD的长为单位长，射线DA为轴的正半轴建立空间直角坐标系D-，则

，，，．

设平面的法向量为，
则，即
因此可取=
设平面的法向量为，则
可取=（0，-1，）

故二面角A-PB-C的余弦值为．








9.（2016全国III）如图，四棱锥中，⊥底面，，，
，为线段上一点，，为的中点．
（Ⅰ）证明平面；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．

【解析】（Ⅰ）由已知得，
取的中点，连接．
由为中点知，．
又，故平行且等于，四边形为平行四边形，于是．
因为平面，平面，所以平面．
（Ⅱ）取的中点，连结，由得，从而，
且．
以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，由题意知，

，，，，
，，
．
设为平面的法向量，则，即，
可取，
于是．
所以直线与平面所成角的正弦值为
10.（2019浙江19）如图，已知三棱柱，平面平面,，分别是AC，A1B1的中点.
（1）证明：；
（2）求直线EF与平面A1BC所成角的余弦值.

【解析】方法一：
（I）连接A1E，因为A1A=A1C，E是AC的中点，所以A1E⊥AC.
又平面A1ACC1⊥平面ABC，A1E平面A1ACC1，
平面A1ACC1∩平面ABC=AC，
所以，A1E⊥平面ABC，则A1E⊥BC.
又因为A1F∥AB，∠ABC=90°，故BC⊥A1F.
所以BC⊥平面A1EF.
因此EF⊥BC.

（Ⅱ）取BC中点G，连接EG，GF，则EGFA1是平行四边形．
由于A1E⊥平面ABC，故AE1⊥EG，所以平行四边形EGFA1为矩形．
由（I）得BC⊥平面EGFA1，则平面A1BC⊥平面EGFA1，
所以EF在平面A1BC上的射影在直线A1G上.
连接A1G交EF于O，则∠EOG是直线EF与平面A1BC所成的角（或其补角）.
不妨设AC=4，则在Rt△A1EG中，A1E=2，EG=.
由于O为A1G的中点，故，
所以．
因此，直线EF与平面A1BC所成角的余弦值是．
方法二：
（Ⅰ）连接A1E，因为A1A=A1C，E是AC的中点，所以A1E⊥AC.
又平面A1ACC1⊥平面ABC，A1E平面A1ACC1，
平面A1ACC1∩平面ABC=AC，所以，A1E⊥平面ABC.
如图，以点E为原点，分别以射线EC，EA1为y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系E–xyz.

不妨设AC=4，则
A1（0，0，2），B（，1，0），，，C(0，2，0).
因此，，．
由得．
（Ⅱ）设直线EF与平面A1BC所成角为，
由（Ⅰ）可得，，
设平面A1BC的法向量为，
由，得，
取，故.
因此直线EF与平面A1BC所成角的余弦值为.