备战2021年高考数学（理）一轮复习 易错点09 立体几何中的平行与垂直 学案

易错点09  立体几何中的平行与垂直易错点1：三视图（1）由几何体的三视图还原几何体的形状．要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图的形成原理，结合空间想象将三视图还原为实物图．（2）由几何体的直观图求三视图．注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向，注意看到的部分用实线，不能看到的部分用虚线表示．（3）由几何体的部分视图画出剩余的部分视图．先根据已知的一部分三视图，还原、推测直观图的可能形式，然后再找其剩下部分三视图的可能形式．当然作为选择题，也可将选项逐项代入，再看看给出的部分三视图是否符合．（4）有很多“三视图”的问题，可以看成由长方体（或正方体）切割而截成的，大家可以由长方体或正方体图形来思考用什么线段或截面截成的（这种思维方法给我们明确提供了一个解题的思考方向！易错点2：球的有关性质性质1.  球的任意一个截面都是圆.其中过球心的截面叫做球的大圆，其余的截面都叫做球的小圆.性质2.  球的小圆的圆心和球心的连线垂直于小圆所在的平面. 反之，球心在球的小圆所在平面上的射影是小圆的圆心.性质3: 球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r 的关系为:R2=d2+r2.性质4.  球的两个平行截面的圆心的连线垂直于这两个截面，且经过球心.性质5.  球的直径等于球的内接长方体的对角线长.性质6.  若直棱柱的所有顶点都在同一个球面上，则该球的球心是直棱柱的两个底面的外接圆的圆心的连线的中点. 易错点3：有关垂直的性质和判定立体几何中寻找线线垂直一般有以下几种方法：①根据定义②如果直线//直线，直线直线，则③如果直线平面，则④三垂线定理及其逆定理⑤根据二面角的平面角的定义⑥等腰（等边）三角形中的中线  ⑦菱形（正方形）的对角线互相垂直  ⑧勾股定理中的三角形 ⑨1::2 的直角梯形中  ⑩利用相似或全等证明直角，直径所对的圆周角易错点4：有关平行的性质和判定  在立体几何中寻找平行一般有以下几种思路：①根据公理4   ②根据“线面平行”的性质定理③根据“线面垂直”的性质定理，若直线和都与平面垂直，则//。④根据“面面平行”的性质定理  ⑤根据三角形中位线的性质。 ⑥根据平行四边形的性质。      ⑦根据对应线段成比例。               01  三视图 例1（2020•全国2卷）如图是一个多面体的三视图，这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对应的点为，在俯视图中对应的点为，则该端点在侧视图中对应的点为（    ）A.  B.  C.  D. 【警示】根据三视图，画出多面体立体图形，即可求得点在侧视图中对应的点.【解析】根据三视图，画出多面体立体图形，上的点在正视图中都对应点M,直线上的点在俯视图中对应的点为N,∴在正视图中对应,在俯视图中对应的点是,线段,上的所有点在侧试图中都对应,∴点在侧视图中对应的点为.故选：A【叮嘱】（1）由几何体的三视图还原几何体的形状．要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图的形成原理，结合空间想象将三视图还原为实物图．（2）由几何体的直观图求三视图．注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向，注意看到的部分用实线，不能看到的部分用虚线表示．（3）由几何体的部分视图画出剩余的部分视图．先根据已知的一部分三视图，还原、推测直观图的可能形式，然后再找其剩下部分三视图的可能形式．当然作为选择题，也可将选项逐项代入，再看看给出的部分三视图是否符合．（4）有很多“三视图”的问题，可以看成由长方体（或正方体）切割而截成的，大家可以由长方体或正方体图形来思考用什么线段或截面截成的（这种思维方法给我们明确提供了一个解题的思考方向！ 1．（2016全国II）如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为A．20π           B．24π            C．28π           D．32π【解析】该几何体是圆锥与圆柱的组合体，设圆柱底面圆半径为，周长为，圆锥母线长为，圆柱高为．由图得，，由勾股定理得：，，故选C．2.（2019全国Ⅲ理16）学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型.如图，该模型为长方体挖去四棱锥O­—EFGH后所得几何体，其中O为长方体的中心，E，F，G，H分别为所在棱的中点，，3D打印所用原料密度为0.9 g/cm3，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为___________.【解析】该模型为长方体，挖去四棱锥后所得的几何体，其中O为长方体的中心，，，，，分别为所在棱的中点，，，所以该模型体积为：，打印所用原料密度因为为，不考虑打印损耗，所以制作该模型所需原料的质量为：．            02  球的有关性质例2（2020年全国1卷）已知为球的球面上的三个点，⊙为的外接圆，若⊙的面积为，，则球的表面积为（    ）A.  B.  C.  D. 【警示】由已知可得等边的外接圆半径，进而求出其边长，得出的值，根据球的截面性质，求出球的半径，即可得出结论.【解析】设圆半径为，球的半径为，依题意，得，为等边三角形，由正弦定理可得，，根据球的截面性质平面，，球的表面积.故选：A
【叮嘱】球的有关性质性质1.  球的任意一个截面都是圆.其中过球心的截面叫做球的大圆，其余的截面都叫做球的小圆.性质2.  球的小圆的圆心和球心的连线垂直于小圆所在的平面. 反之，球心在球的小圆所在平面上的射影是小圆的圆心.性质3: 球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r 的关系为:R2=d2+r2.性质4.  球的两个平行截面的圆心的连线垂直于这两个截面，且经过球心.性质5.  球的直径等于球的内接长方体的对角线长.性质6.  若直棱柱的所有顶点都在同一个球面上，则该球的球心是直棱柱的两个底面的外接圆的圆心的连线的中点. 1.（2019年全国1卷）已知三棱锥的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC，是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，，则球O的体积为________ 【解析】由及是边长为2的正三角形可知，三棱锥为正三棱锥，则顶点P在底面的射影O为底面三角形的中心.连接BO并延长，交AC于G，则，又，可得AC⊥平面PBG，则PB⊥AC.因为E，F分别是PA，AB的中点，所以.
又，即EF⊥CE，所以PB⊥CE，得PB⊥平面PAC.所以PB⊥PA，PB⊥PC.又∵，是正三角形，∴，故
∴正三棱锥的三条侧棱两两互相垂直.
把三棱锥补形为正方体，则正方体外接球即为三棱锥的外接球，
其直径为正方体的体对角线的长度，即, 半径为,则球O的体积为．故答案为．2.（2018年全国3卷）设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，ΔABC为等边三角形且其面积为9，则三棱锥D-ABC体积的最大值为_________. 【解析】设等边三角形的边长为，则，得．设的外接圆半径为，则，解得，所以球心到所在平面的距离，则点到平面的最大距离，所以三棱锥体积的最大值．故选B．             03  有关垂直的性质和判定例3（2020年新全国1山东）如图，四棱锥P－ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD．设平面PAD与平面PBC的交线为l．（1）证明：l⊥平面PDC；【警示】（1）利用线面垂直的判定定理证得平面，利用线面平行的判定定理以及性质定理，证得，从而得到平面；【解析】（1）证明： 在正方形中，，因为平面，平面，所以平面，又因为平面，平面平面，所以，因为在四棱锥中，底面是正方形，所以且平面，所以因为所以平面；【叮嘱】证明线线垂直，若两条直线在同一平面内，可用平面几何中证明两条直线垂直的方法来证明它们垂直。立体几何一般有以下几种证明方法：①根据定义②如果直线//直线，直线直线，则③如果直线平面，则④三垂线定理及其逆定理⑤根据二面角的平面角的定义⑥等腰（等边）三角形中的中线  ⑦菱形（正方形）的对角线互相垂直  ⑧勾股定理中的三角形 ⑨1::2 的直角梯形中  ⑩利用相似或全等证明直角，直径所对的圆周角1．（2017新课标Ⅲ）如图，四面体中，是正三角形，是直角三角形，，．(1)证明：平面⊥平面； 【解析】（1）由题设可得，，从而．又是直角三角形，所以取的中点，连接，，则，．又由于是正三角形，故．所以为二面角的平面角．在中，．又，所以，故．所以平面平面．2．（2018全国卷Ⅲ）如图，边长为2的正方形所在的平面与半圆弧所在平面垂直，是 上异于，的点．(1)证明：平面平面；【解析】(1)由题设知，平面⊥平面，交线为．因为⊥，平面，所以⊥平面，故⊥．因为为上异于，的点，且为直径，所以 ⊥．又=，所以⊥平面．而平面，故平面⊥平面．                 04   有关平行的性质和判定例4（2020•全国3卷）如图，在长方体中，点分别在棱上，且，．（1）证明：点在平面内；【警示】（1）连接、，证明出四边形为平行四边形，进而可证得点在平面内；【解析】（1）在棱上取点，使得，连接、、、，在长方体中，且，且，，，且，所以，四边形为平行四边形，则且，同理可证四边形为平行四边形，且，且，则四边形为平行四边形，因此，点在平面内；.【叮嘱】在立体几何中寻找平行一般有以下几种思路：①根据公理4   ②根据“线面平行”的性质定理③根据“线面垂直”的性质定理，若直线和都与平面垂直，则//。④根据“面面平行”的性质定理  ⑤根据三角形中位线的性质。 ⑥根据平行四边形的性质。      ⑦根据对应线段成比例。  1.（2016全国III）如图，四棱锥中，⊥底面，，，，为线段上一点，，为的中点．（Ⅰ）证明平面；【解析】（Ⅰ）由已知得，取的中点，连接．由为中点知，． 又，故平行且等于，四边形为平行四边形，于是．因为平面，平面，所以平面．  2.（2013新课标Ⅱ）如图，直三棱柱中，     （Ⅰ）证明：//平面； 【解析】（Ⅰ）连结，交分别是的中点，于点O，连结DO，则O为的中点，因为D为AB的中点，所以OD∥，又因为OD平面，平面，所以 //平面；        1．(2018浙江)已知平面，直线，满足，，则“∥”是“∥”的A．充分不必要条件     B．必要不充分条件 C．充分必要条件      D．既不充分也不必要条件【解析】若，，∥，由线面平行的判定定理知∥．若∥，，，不一定推出∥，直线与可能异面，故“∥”是“∥”的充分不必要条件．故选A．2．（2015福建）若 是两条不同的直线，垂直于平面 ，则“ ”是“∥”的 A．充分而不必要条件         B．必要而不充分条件C．充分必要条件             D．既不充分也不必要条件【解析】由“且”推出“或”，但由“且”可推出“”，所以“”是“”的必要而不充分条件，故选B．3．（2014辽宁）已知，表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是A．若则       B．若，，则C．若，，则    D．若，，则【解析】对于选项A，若，则与可能相交、平行或异面，A错误；显然选项B正确；对于选项C，若，，则或，C错误；对于选项D，若，，则或或与相交，D错误．故选B．4.（2019浙江4）祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家.他提出的“幂势既同，则积不容异”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体体积公式V柱体=Sh，其中S是柱体的底面积，h是柱体的高.若某柱体的三视图如图所示，则该柱体的体积是A．158   B．162   C．182   D．32【解析】由三视图还原原几何体如图，该几何体为直五棱柱，底面五边形的面积可用两个直角梯形的面积求解，即，高为6，则该柱体的体积是．故选B．5．(20173)已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为________.【解析】圆柱的轴截面如图，，，所以圆柱底面半径，那么圆柱的体积是，故选B．6.（2019全国Ⅲ理16）学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型.如图，该模型为长方体挖去四棱锥O­—EFGH后所得几何体，其中O为长方体的中心，E，F，G，H分别为所在棱的中点，，3D打印所用原料密度为0.9 g/cm3，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为___________.【解析】该模型为长方体，挖去四棱锥后所得的几何体，其中O为长方体的中心，，，，，分别为所在棱的中点，，，所以该模型体积为：，打印所用原料密度因为为，不考虑打印损耗，所以制作该模型所需原料的质量为：．7.（20163）在封闭的直三棱柱ABC-A1B1C1内有一个体积为V的球，若ABBC，AB=6，BC=8，AA1=3，则V的最大值是__________ 【解析】  此时，V的最大值，8.（2020•新全国1山东）已知直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的棱长均为2，∠BAD＝60°．以为球心，为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为________．【解析】根据已知条件易得，侧面，可得侧面与球面的交线上的点到的距离为，可得侧面与球面的交线是扇形的弧，再根据弧长公式可求得结果.【详解】如图：取的中点为，的中点为，的中点为，因为60°，直四棱柱的棱长均为2，所以△为等边三角形，所以，，又四棱柱为直四棱柱，所以平面，所以，因为，所以侧面，设为侧面与球面的交线上的点，则，因为球的半径为，，所以，所以侧面与球面的交线上的点到的距离为，因为，所以侧面与球面的交线是扇形的弧，因为，所以，所以根据弧长公式可得.故答案为：.9.（2020•江苏卷）在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥AC，B1C⊥平面ABC，E，F分别是AC，B1C的中点．（1）求证：EF∥平面AB1C1；（2）求证：平面AB1C⊥平面ABB1．【解析】（1）由于分别是的中点，所以.由于平面,平面，所以平面.（2）由于平面，平面，所以.由于，所以平面,由于平面，所以平面平面. 10．（2017江苏）如图，在三棱锥中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E、F（E与A、D不重合）分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD．求证：（1）EF∥平面ABC；（2）AD⊥AC．【解析】证明：（1）在平面内，因为，，所以．又因为平面，平面，所以∥平面．（2）因为平面⊥平面，平面平面=， 平面，，所以平面．因为平面，所以．又，，平面，平面，所以⊥平面，又因为平面，所以．