初一数学 第7讲 线段的动态问题

线段的动态问题为各个学校期末考试的重难点，主要包括动点问题和动线段问题．

模块一：线段的动点问题

1．主要分析步骤：

（1）数形结合，画图；

（2）设元，看清楚动点的速度和方向，表示线段长度；

（3）根据题中的等量关系列方程，并解方程．

2．动点问题求解的几个辅助工具：

（1）数轴上两点的距离

①两点间的距离=这两点分别所表示的数的差的绝对值；

②两点间的距离=右端点表示的数左端点表示的数．

例如：

a，b两点的距离可表示为，也可表示为或者．

特别地，可以看成a和0两点的距离，可以看成b和0两点的距离，如果，那么有或．

（2）点在数轴上运动时，满足左减右加

一个点表示的数为a，若向左运动b个单位后表示的数为；

一个点表示的数为a，若向右运动b个单位后所表示的数为．

（3）数轴上线段中点公式：

如图，线段ab的中点所表示的数是．

模块二：动线段问题

已知数轴上A、B两点对应数分别为和4，P为数轴上一动点，对应数为x.

（1）若P为线段AB的三等分点，求P对应的数；

（2）数轴上是否存在点P，使P点到A点、B点距离和为10？若存在，求出x值，若不存在，请说明理由．

（3）若A、B点和P点（P点在原点）同时向左运动，它们的运动速度分别为1、2、1个单位长度/分，则第几分钟时，P为线段AB的中点？第几分钟的时候P到A和B的距离相等？

已知数轴上顺次有A、B、C三点，分别表示数a、b、c，并且满足，b与c互为相反数．两只电子小蜗牛甲、乙分别从A，C两点同时相向而行，甲的速度为2个单位/秒，乙的速度为3个单位/秒．

（1）求A、B、C三点分别表示的数，并在数轴上表示A、B、C三点

（2）运动多少秒时，甲、乙到点B的距离相等？

（3）当点B以每分钟一个单位长度的速度向左运动时，点A以每分钟5个单位长度向左运动，点C以每分钟20个单位长度向左运动，问它们同时出发，几分钟后B点到点A、点C的距离相等？

如图，已知A、B、C是数轴上三点，O为原点，点C表示的数为6，BC=4，AB=12.

（1）写出数轴上点A、B表示的数；

（2）动点P、Q分别从A、C同时出发，点P以每秒6个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点Q以每秒3个单位长度的速度沿数轴左匀速运动，M为AP的中点，点N在线段CQ上，且，设运动时间为秒.t为何值时，OM=2BN．

如图，A是数轴上表示的点，B是数轴上表示10的点，C是数轴上表示18的点，点A、B、C在数轴上同时向数轴的正方向运动，点A运动的速度是6个单位长度每秒，点B和C运动的速度是3个单位长度每秒. 设三个点运动的时间为t（秒）．

（1）当t为何值时，线段AC=6（单位长度）？

（2）时，设线段OA的中点为P，线段OB的中点为M，线段OC的中点为N，求时t的值．

如图5-1，已知数轴上两点A、B对应的数分别为、3，点P为数轴上的一动点，其对应的数为x．

（1）如果点P是AB的中点，则________；

（2）如图5-2，点P以1个单位长度/s的速度从点O向右运动，同时点A以5个单位/s的速度向左运动，点B以20个单位/s的速度向右运动，在运动过程中，M、N分别是AP、OB的中点，问：的值是否发生变化？请说明理由.

图5-1                               图5-2

如图，在射线OM上有三点A、B、C，满足，，（如图所示），点P从点O出发，沿OM方向以1cm/s的速度匀速运动，点Q从点C出发在线段CO上向点O匀速运动，两点同时出发.

（1）当时，点Q运动到的位置恰好是线段AB的三等分点，求点Q的速度；

（2）若点Q运动速度为3cm/秒，经过多长时间P、Q两点相距70cm？

（3）当点P运动到线段AB上时，取OP和AB的中点E，F，求的值．

如图，数轴上线段（单位长度），（单位长度），点A在数轴上表示的数是，点C在数轴上表示的数是16. 若线段AB以6个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时线段CD以2个单位长度/秒的速度向左匀速运动.

（1）问运动多少时（单位长度）；

（2）当运动到（单位长度）时，点B在数轴上表示的数是_________；

（3）P是线段AB上一点，当B点运动到线段CD上时，是否存在关系式，若存在，求线段PC的长；若不存在，请说明理由．

已知A、B分别为数轴上两点，A点对应的数为，B点对应的数为100.

（1）现有一只电子蚂蚁P从B点出发，以6个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以4个单位/秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的C点相遇，求C点对应的数；

（2）若当电子蚂蚁P从B点出发时，以6个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以4个单位/秒的速度也向左运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的D点相遇，求D点对应的数．

如图2-1，点A、B分别在数轴原点O的左右两侧，且，点B对应数是90．

（1）求A点对应的数；

（2）如图2-2，动点M、N、P分别从原点O、A、B同时出发，其中M、N均向右运动，速度分别为2个单位长度/秒，7个单位长度/秒，点P向左运动，速度为8个单位长度/秒，设它们运动时间为t秒，问当t为何值时，点M、N之间的距离等于P、M之间的距离；

（3）如图2-3，将（2）中的三动点M、N、P的运动方向改为与原来相反的方向，其余条件不变，设Q为线段MN的中点，R为线段OP的中点，求．

图2-1                  图2-2                     图2-3

如图3-1，已知数轴上有三点A、B、C，，点C对应的数是200．

（1）若，求点A对应的数；

（2）如图3-2，在（1）的条件下，动点P、Q分别从A、C两点同时出发向左运动，同时动点R从A点出发向右运动，点P、Q、R的速度分别为10单位长度每秒、5单位长度每秒、2单位长度每秒，点M为线段PR的中点，点N为线段RQ的中点，多少秒时恰好满足（不考虑点R与点Q相遇之后的情形）；

（3）如图3-3，在（1）的条件下，若点E、D对应的数分别为、0，动点P、Q分别从E、D两点同时出发向左运动，点P、Q的速度分别为10单位长度每秒、5单位长度每秒，点M为线段PQ的中点，点Q在从是点D运动到点A的过程中，QC的值是否发生变化？若不变，求其值；若变化，请说明理由．

图3-1                 图3-2                      图3-3

如图，P是定长线段AB上一点，C、D两点同时从P、B出发分别以1cm/s和2cm/s的速度沿直线AB向左运动（C在线段AP上，D在线段BP上）．已知C、D运动到任一时刻时，总有．

（1）线段AP与线段AB的数量关系是______________；

（2）若Q是线段AB上一点，且，求证：；

（3）若C、D运动5秒后，恰好有，此时C点停止运动，D点在线段PB上继续运动，M、N分别是CD、PD的中点，问的值是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出的值．