2.1平面向量的实际背景、基本概念及其线性运算-2020-2021学年高一数学尖子生同步培优题典（人教A版必修4）

专题2.1 平面向量的实际背景、基本概念及其线性运算

姓名：__________________     班级：______________   得分：_________________

注意事项：

本试卷满分100分，考试时间45分钟，试题共20题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．

一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．（2020·湖南高一期末）下列命题正确的是（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D． 若，则

【答案】A

【详解】时，只说明方向相同或相反，没有长度关系，时，只说明向的长度相等，无法确定方向，所以A，B，C均错；模为零的向量是零向量，所以D项正确；

2．（2020·乌鲁木齐市第四中学）在中，，若，则　　

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】，即。

3．（2020·广东高一期末）在平行四边形中，，则必有（    ）.

A． B．或

C．是矩形 D．是正方形

【答案】C

【详解】在平行四边形中，因为，所以，即对角线相等，

因为对角线相等的平行四边形是矩形，所以是矩形.

4．（2020·全国高一课时练习）等腰梯形ABCD中，对角线AC与BD相交于点P，点E，F分别在两腰AB，CD上，EF过点P，且EF//AD，则下列等式正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【详解】依题意可得如下图形，是等腰梯形，，，，

，，，，，故正确；对于：，但，故错误；对于： 的长度相等但方向不相同或相反，故，故错误；

对于：的长度相等但方向相反，故，故错误；

5．（2020·衡水市第十四中学）P是所在平面内一点，若，其中，则P点一定在（    ）

A．内部 B．边所在直线上

C．边所在直线上 D．边所在直线上

【答案】B

【详解】根据题意，点P在边所在直线上.

6．（2020·陕西省商丹高新学校）如图所示，点O是正六边形ABCDEF的中心，则（    ）

A． B．0 C． D．

【答案】A

【详解】连接OB.由正六边形的性质，可知与都是等边三角形，

∴四边形OABC是平行四边形，，，

7．（2020·河南新乡县一中）有下列命题：①两个相等向量，若它们的起点相同，则终点也相同；②有向线段就是向量，向量就是有向线段；③若，则四边形是平行四边形；④若，，则；⑤若，，则．其中，假命题的个数是 （  ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】对于①，两个相等向量时，它们的起点相同，则终点也相同，①正确；对于②，有向线段不是向量，向量可以用有向线段表示，∴②错误；对于③，若，、不一定相等，∴四边形不一定是平行四边形，③错误；对于④，若，，则，④正确；对于⑤，若，，当时，不一定成立，∴⑤错误；综上，假命题是②③⑤，共3个，故选C.

8．（2020·湖北高一期末）若是的重心，且（，为实数），则（    ）

A． B．1 C． D．

【答案】A

【详解】若与边的交点为，则为边上的中线，所以，又因为，，所以。

9．（2020·浙江高一期末）如图，在平行四边形中，点是边的中点，点是的中点，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【详解】因为是的中点，所以，因为点是边的中点，所以，

所以,

10．（2020·广东韶关·高一期末）在所在的平面上有一点，满足，设，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】∵，∴；即；

故点是边上的第二个三等分点；；

11．（2020·全国高一月考）如图所示，在正方形中，为的中点，为的中点，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【详解】利用向量的三角形法则，可得，，为的中点，为的中点，则，，，

又，.

12．（2020·广东高一期末）是内的一点，，则的面积与的面积之比为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】设边的中点为，则.∵，

∴，∴.∴.

二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）

13．（2020·全国高一课时练习）如图所示，点是正六边形的中心，则以图中点中的任意一点为起点，与起点不同的另一点为终点的所有向量中，与向量共线的向量共有__________个.

【答案】9

【解析】由正六边形的性质可知，与向量共线的向量有，

共9个，故答案为9。

14．（2020·湖南娄底一中高一月考）在矩形中，，则________．

【答案】

【详解】在矩形中，，所以，

15．（2020·全国高一课时练习）设，，则的最大值与最小值的合为_____________.

【答案】24

【详解】当,共线同向时,；当,共线反向时,；

当,不共线时,,即,所以最大值为20,最小值为4,

16．已知非零向量满足，，且，则的值为______.

【答案】

【详解】如图，，，则．以，为邻边作平行四边形，则．

由于，故．所以是以为直角的直角三角形，

从而，所以为矩形．根据矩形的对角线相等有，即．

三、解答题（本大题共4小题，每题9分，共36分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（2020·全国高一专题练习）化简：

①；      ②(－)－(－)；   ③(＋＋)－(－－)．

④； ⑤；⑥.

【答案】①；②；③；④；⑤；⑥.

【详解】①＝－＝.

②(－)－(－) ＝(＋)－(＋)＝－＝.

③(＋＋)－(－－)＝(＋)－(－)＝－＝.

④；

⑤；

⑥.

18．（2020·四川省仁寿县文宫中学））如图，四边形是以向量，为边的平行四边形，又，，试用、表示、、.

【答案】；；

【详解】，，，．

．，，

．

．

19．（2020·全国高一专题练习）如图所示，在中，D、F分别是BC、AC的中点，，，

（1）用、表示向量，，，，；（2）求证：B，E，F三点共线.

【答案】（1），，，，;

（2）证明见解析.

【详解】（1）如图，延长AD到G，使连接BG，CG，得到平行四边形，所以，

，，，

则，.

（2）证明：由（1）可知，因为与有公共点B，所以B，E，F三点共线.

20．（2020·全国高一课时练习）如图所示，中，，边上的中线交于点，设，用向量表示.

【答案】，；，.

【详解】因为，所以.

由，得.又是的底边的中点，，

所以，.

21．（2020·全国高一课时练习）如图，在中，为边上不同于，的任意一点，点满足.若，求的最小值.

【答案】.

【详解】根据题意，得.因为，，三点共线，所以有，即，所，

所以当时，取得最小值，为.

22．（2020·山西大同一中）设是两个不共线的向量，已知.

（1）求证：，，三点共线；

（2）若，且，求实数的值.

【答案】（1）证明见解析（2）

【详解】（1）由已知得.

.又与有公共点，，，三点共线.

（2）由（1）可知，又，∴可设，

，即，解得.