46分大题保分练(四)

46分大题保分练(四)

(建议用时：40分钟)

17．(12分)(2019·福州模拟)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a(sin B－cos C)＝(c－b)cos A.

(1)求角A；

(2)若b＝，点D在BC边上，CD＝2，∠ADC＝，求△ABC的面积．

[解]　法一：(1)根据正弦定理，及a(sin B－cos C)＝(c－b)cos A，

得sin A(sin B－cos C)＝(sin C－sin B)cos A，

所以sin Asin B＋sin Bcos A＝sin Ccos A＋cos Csin A，

即sin Asin B＋sin Bcos A＝sin(A＋C)．

又A＋C＝π－B，所以sin(A＋C)＝sin B，

所以sin Asin B＋sin Bcos A＝sin B.

又0＜B＜π，所以sin B＞0，

所以sin A＋cos A＝1，即sin＝.

又0＜A＜π，所以＜A＋＜，所以A＋＝，解得A＝.

(2)如图，在△ACD中，AC＝b＝，CD＝2，∠ADC＝，

由正弦定理，得＝，

即＝，所以sin∠CAD＝1，∠CAD＝.

从而∠ACD＝π－－＝，∠ABC＝π－－＝，

所以AB＝AC＝.

故S△ABC＝·AB·AC·sin∠BAC＝×××sin＝.

法二：(1)因为a(sin B－cos C)＝(c－b)cos A，

所以asin B＝acos C＋(c－b)cos A，

由余弦定理，得asin B＝a·＋(c－b)·，

化简得2acsin B＝2bc－(b2＋c2－a2)，

所以2acsin B＝2bc－2bccos A，

即asin B＝b－bcos A.

由正弦定理，得bsin A＝b－bcos A.

所以sin A＝1－cos A，所以sin＝.

又0＜A＜π，所以＜A＋＜，所以A＋＝，A＝.

(2)在△ACD中，AC＝b＝，CD＝2，∠ADC＝，

由余弦定理，得AC2＝AD2＋CD2－2AD·CD·cos∠ADC，

即3＝AD2＋4－2×AD×2×，解得AD＝1，

从而AD2＋AC2＝CD2，所以∠CAD＝，

所以∠ACD＝π－－＝，∠ABC＝π－－＝，

所以AB＝AC＝.

故S△ABC＝·AB·AC·sin∠BAC＝×××sin＝.

18．(12分)如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，底面ABC是边长为2的正三角形，M，N分别是AB，AA1的中点，且A1M⊥B1N.

(1)求证：B1N⊥A1C；

(2)求M到平面A1B1C的距离．

[解]　法一：(1)如图，连接CM.

在直三棱柱ABC­A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，CM⊂平面ABC.

所以AA1⊥CM.

在△ABC中，AC＝BC，AM＝BM，所以CM⊥AB.

又AA1∩AB＝A，所以CM⊥平面ABB1A1.

因为B1N⊂平面ABB1A1，所以CM⊥B1N.

又A1M⊥B1N，A1M∩CM＝M，所以B1N⊥平面A1CM.

因为A1C⊂平面A1CM，所以B1N⊥A1C.

(2)连接B1M.

在矩形ABB1A1中，因为A1M⊥B1N，所以∠AA1M＝∠A1B1N.

所以tan∠AA1M＝tan∠A1B1N，即＝.

因为△ABC是边长为2的正三角形，M，N分别是AB，AA1的中点，所以AM＝1，CM＝，A1B1＝2.

设AA1＝x，则A1N＝.

所以＝，解得x＝2.

从而S△A1B1M＝S正方形ABB1A1＝2，A1C＝B1C＝2.

在△A1CB1中，cos∠A1CB1＝＝，所以sin∠A1CB1＝，

所以S△A1B1C＝A1C·B1C·sin∠A1CB1＝.

设点M到平面A1B1C的距离为d，由V三棱锥M­A1B1C＝V三棱锥C­A1B1M，得S△A1B1C·d＝S△A1B1M·CM，

所以d＝＝，即点M到平面A1B1C的距离为.

法二：(1)同法一．

(2)在矩形ABB1A1中，因为A1M⊥B1N，所以∠AA1M＝∠A1B1N，

所以tan∠AA1M＝tan∠A1B1N，即＝.

因为△ABC是边长为2的正三角形，M，N分别是AB，AA1的中点，

所以AM＝1，CM＝，A1B1＝2.

设AA1＝x，则A1N＝，

所以＝，解得x＝2.

如图，取A1B1的中点D，连接MD，CD，过M作MO⊥CD于O.

在正方形ABB1A1中，易知A1B1⊥MD，由(1)可得CM⊥A1B1，

又CM∩MD＝M，所以A1B1⊥平面CDM.

因为MO⊂平面CDM，所以A1B1⊥MO.

又MO⊥CD，A1B1∩CD＝D，所以MO⊥平面A1B1C，

即线段MO的长就是点M到平面A1B1C的距离．

由(1)可得CM⊥MD，又MD＝2，所以由勾股定理，得CD＝＝.

S△CMD＝·CD·MO＝·CM·MD，即××MO＝××2，

解得MO＝，故点M到平面A1B1C的距离为.

19．(12分)(2019·合肥模拟)“工资条里显红利，个税新政入民心”．随着2019年新年钟声的敲响，我国自1980年以来，力度最大的一次个人所得税(简称个税)改革迎来了全面实施的阶段．某IT从业者为了解自己在个税新政下能享受多少税收红利，绘制了他在26岁～35岁(2009年～2018年)之间各年的月平均收入y(单位：千元)的散点图：

(1)由散点图知，可用回归模型y＝bln x＋a拟合y与x的关系，试根据有关数据建立y关于x的回归方程；

(2)如果该IT从业者在个税新政下的专项附加扣除为3 000元/月，试利用(1)的结果，将月平均收入视为月收入，根据新旧个税政策，估计他36岁时每个月少缴纳的个人所得税．

附注：1.参考数据：xi＝55，yi＝155.5， (xi－)2＝82.5， (xi－)(yi－)＝94.9，ti＝15.1， (ti－)2＝4.84， (ti－)(yi－)＝24.2，其中ti＝ln xi；取ln 11＝2.4，ln 36＝3.6.

2．参考公式：回归方程v＝bu＋a中斜率和截距的最小二乘估计分别为＝，＝－ .

3．新旧个税政策下每月应纳税所得额(含税)计算方法及税率表如下：

[解]　(1)令t＝ln x，则y＝bt＋a.

＝＝＝5，

＝＝＝15.55，＝＝＝1.51，

＝－ ＝15.55－5×1.51＝8，

所以y关于t的回归方程为y＝5t＋8.

因为t＝ln x，所以y关于x的回归方程为y＝5ln x＋8.

(2)由(1)得该IT从业者36岁时月平均收入为

y＝5ln 11＋8＝5×2.4＋8＝20(千元)．

旧个税政策下每个月应缴纳的个人所得税为

1 500×3%＋3 000×10%＋4 500×20%＋(20 000－3 500－9 000)×25%＝3 120(元)．

新个税政策下每个月应缴纳的个人所得税为

3 000×3%＋(20 000－5 000－3 000－3 000)×10%＝990(元)．

故根据新旧个税政策，该IT从业者36岁时每个月少缴纳的个人所得税为3 120－990＝2 130(元)．

选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．

22．(10分)[选修4－4：坐标系与参数方程]

在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2＝，点P的极坐标为.

(1)求C的直角坐标方程和P的直角坐标；

(2)设l与C交于A，B两点，线段AB的中点为M，求|PM|.

[解]　(1)由ρ2＝得ρ2＋ρ2sin2θ＝2　①，将ρ2＝x2＋y2，y＝ρsin θ代入①并整理得，曲线C的直角坐标方程为＋y2＝1.

设点P的直角坐标为(x，y)，因为点P的极坐标为，

所以x＝ρcos θ＝cos＝1，y＝ρsin θ＝sin＝1.

所以点P的直角坐标为(1,1)．

(2)法一：将代入＋y2＝1，并整理得41t2＋110t＋25＝0，

Δ＝1102－4×41×25＝8 000＞0，

故可设方程的两根分别为t1，t2，

则t1，t2为A，B对应的参数，且t1＋t2＝－.

依题意，点M对应的参数为.

所以|PM|＝＝.

法二：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，

则x0＝，y0＝.

由，消去t，得y＝x－.

将y＝x－代入＋y2＝1，并整理得41x2－16x－16＝0，

因为Δ＝(－16)2－4×41×(－16)＝2 880＞0，

所以x1＋x2＝，x1x2＝－.

所以x0＝，y0＝x0－＝×－＝－，

即M.

所以|PM|＝＝＝.

23．(10分)[选修4－5：不等式选讲]

已知函数f(x)＝|x＋1|－|ax－3|(a＞0)．

(1)当a＝2时，求不等式f(x)＞1的解集；

(2)若y＝f(x)的图象与x轴围成直角三角形，求a的值．

[解]　(1)当a＝2时，不等式f(x)＞1即|x＋1|－|2x－3|＞1.

当x≤－1时，原不等式可化为－x－1＋2x－3＞1，解得x＞5，因为x≤－1，所以此时原不等式无解；

当－1＜x≤时，原不等式可化为x＋1＋2x－3＞1，

解得x＞1，所以1＜x≤；

当x＞时，原不等式可化为x＋1－2x＋3＞1，解得x＜3，所以＜x＜3.

综上，原不等式的解集为{x|1＜x＜3}．

(2)法一：因为a＞0，所以＞0，

所以f(x)＝

因为a＞0，所以f(－1)＝－a－3＜0，f＝1＋＞0.

当0＜a＜1时，f(x)的图象如图①所示，要使得y＝f(x)的图象与x轴围成直角三角形，则(a－1)(a＋1)＝－1，解得a＝0，舍去；

当a＝1时，f(x)的图象如图②所示，所以y＝f(x)的图象与x轴不能围成三角形，不符合题意，舍去；

当a＞1时，f(x)的图象如图③所示，要使得y＝f(x)的图象与x轴围成直角三角形，则(1－a)(a＋1)＝－1，解得a＝±，因为a＞1，所以a＝.

综上，所求a的值为.

图①　　　图②　　　图③

法二：因为a＞0，所以＞0，

所以f(x)＝

若y＝f(x)的图象与x轴围成直角三角形，

则(a－1)(a＋1)＝－1或(a＋1)(1－a)＝－1，

解得a＝0(舍去)或a＝或a＝－(舍去)．

经检验，a＝符合题意，

所以所求a的值为.