2024年高考数学大题保分练1

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1．(2023·青岛模拟)记△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知2csin B＝(2a－c)tan C.
(1)求角B的值；
(2)若c＝3a，D为AC中点，BD＝eq \r(13)，求△ABC的周长．
2.(2023·南通模拟)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AA1＝4，BC＝2，A1C＝2eq \r(3)，AC⊥BC，∠A1AB＝60°.
(1)证明：BC⊥平面ACC1A1；
(2)设点D为CC1的中点，求直线A1D与平面ABB1A1所成角的正弦值．
3．(2023·邯郸模拟)已知数列{an}中，an>0，a1＝3，记数列{an}的前n项的乘积为Sn，且Sn＝eq \r(a\\al(n＋1,n)).
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝eq \f(an－1,an＋1)，数列{bn}的前n项和为Tn，求证：Tn∈(n－1，n)．
4．一个医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯(卫生习惯分为良好和不够良好两类)的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例(称为病例组)，同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人(称为对照组)，得到如下数据：
再调查病例组100例的年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图：
(1)依据小概率值α＝0.01的χ2独立性检验，能否据此推断患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？
(2)已知该地方这种疾病的患者的患病率为0.5%，该地方年龄位于区间[50,60)的人口占该地方总人口的20%.从该地方中任选一人，若此人的年龄位于区间[50,60)，求此人患这种疾病的概率(以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率)．
附：χ2＝eq \f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d).
不够良好
良好
病例组
40
60
对照组
10
90
α
0.10
0.05
0.010
0.005
0.001
xα
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828