46分大题保分练(一)

46分大题保分练(一)

(建议用时：40分钟)

17．(12分)(2019·石家庄模拟)已知△ABC的面积为3，且内角A，B，C依次成等差数列．

(1)若sin C＝3sin A，求边AC的长；

(2)设D为AC边的中点，求线段BD长的最小值．

[解]　(1)∵△ABC的三个内角A，B，C依次成等差数列，∴B＝60°.

设A，B，C所对的边分别为a，b，c，由△ABC的面积S＝3＝acsin B可得ac＝12.

∵sin C＝3sin A，∴由正弦定理知c＝3a，∴a＝2，c＝6.

△ABC中，b2＝a2＋c2－2accos B＝28，∴b＝2.

即AC的长为2.

(2)∵BD是AC边上的中线，∴＝(＋)，

∴2＝(2＋2＋2·)＝(a2＋c2＋2accos∠ABC)＝(a2＋c2＋ac)≥(2ac＋ac)＝9，当且仅当a＝c时取“＝”，

∴||≥3，即线段BD长的最小值为3.

18．(12分)(2019·武汉模拟)如图，已知三棱锥P­ABC中，PC⊥AB，△ABC是边长为2的正三角形，PB＝4，∠PBC＝60°.

(1)证明：平面PAC⊥平面ABC；

(2)设F为棱PA的中点，在AB上取点E，使得AE＝2EB，求三棱锥F­ACE与四棱锥C­PBEF的体积之比．

[解]　(1)在△PBC中，∠PBC＝60°，BC＝2，PB＝4，

由余弦定理可得PC＝2，

∴PC2＋BC2＝PB2，∴PC⊥BC，

又PC⊥AB，AB∩BC＝B，∴PC⊥平面ABC，

∵PC⊂平面PAC，∴平面PAC⊥平面ABC.

(2)设三棱锥F­ACE的高为h1，三棱锥P­ABC的高为h，

则VF­ACE＝×S△ACE×h1

＝×S△ABC××h×

＝×S△ABC×h×

＝×VP­ABC.

∴三棱锥F­ACE与四棱锥C­PBEF的体积之比为1∶2.

19．(12分)(2019·昆明模拟)东方商店欲购进某种食品(保质期一天)，此商店每天购进该食品一次(购进时，该食品为刚生产的)．根据市场调查，该食品每份进价8元，售价12元，如果一天内无法售出，则食品过期作废，现统计该食品100天的销售量如下表：

(1)根据该食品100天的销售量统计表，求平均每天销售多少份；

(2)视样本频率为概率，以一天内该食品所获得的利润的平均值为决策依据，东方商店一次性购进17或18份，哪一种得到的利润更大？

[解]　(1)平均每天销售的份数为＝17.3.

(2)当购进17份时，利润为

17×4×＋(16×4－8)×＋(15×4－16)×＝47.6＋11.2＋4.4＝63.2(元)．

当购进18份时，利润为

18×4×＋(17×4－8)×＋(16×4－16)×＋(15×4－24)×＝28.8＋18＋9.6＋3.6＝60(元)．

63．2＞60，

可见，当购进17份时，利润更大．

选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．

22．(10分)[选修4－4：坐标系与参数方程]

在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为

(α为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线l的极坐标方程为θ＝.

(1)求曲线C的极坐标方程；

(2)当0<r<2时，若曲线C与射线l交于A，B两点，求＋的取值范围．

[解]　(1)由题意知曲线C的普通方程为(x－2)2＋y2＝r2，

令x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，

化简得ρ2－4ρcos θ＋4－r2＝0.

(2)法一：把θ＝代入曲线C的极坐标方程中，得ρ2－2ρ＋4－r2＝0.

令Δ＝4－4(4－r2)＞0，结合0＜r＜2，得3＜r2＜4.

方程的解ρ1，ρ2分别为点A，B的极径，ρ1＋ρ2＝2，ρ1ρ2＝4－r2＞0，

∴＋＝＋＝＝.

∵3＜r2＜4，∴0＜4－r2＜1，

∴＋∈(2，＋∞)．

法二：射线l的参数方程为(t为参数，t≥0)，将其代入曲线C的方程(x－2)2＋y2＝r2中得，t2－2t＋4－r2＝0，

令Δ＝4－4(4－r2)＞0，结合0＜r＜2，得3＜r2＜4，

方程的解t1，t2分别为点A，B对应的参数，t1＋t2＝2，t1t2＝4－r2，t1＞0，t2＞0，

∴＋＝＋＝＝.

∵3＜r2＜4，∴0＜4－r2＜1，

∴＋∈(2，＋∞)．

23．(10分)[选修4－5：不等式选讲]

设函数f(x)＝|1－x|－|x＋3|.

(1)求不等式f(x)≤1的解集；

(2)若函数f(x)的最大值为m，正实数p，q满足p＋2q＝m，求＋的最小值．

[解]　(1)不等式可化为

或

或

解得x≥－，

∴f(x)≤1的解集为.

(2)法一：∵|1－x|－|x＋3|≤|1－x＋x＋3|＝4，

∴m＝4，p＋2q＝4，∴(p＋2)＋2q＝6，

＋＝(p＋2＋2q)＝≥＝，

当且仅当p＋2＝2q＝3，即时，取“＝”，

∴＋的最小值为.

法二：∵|1－x|－|x＋3|≤|1－x＋x＋3|＝4，

∴m＝4，p＋2q＝4，∴p＝4－2q，q∈(0,2)，

＋＝＋＝＝＝，

∵q∈(0,2)，∴当q＝时，＋取得最小值.