46分大题保分练(五)

46分大题保分练(五)

(建议用时：40分钟)

17．(12分)(2019·长沙模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an－2.

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)设bn＝2log2an－11，数列{bn}的前n项和为Tn，求Tn的最小值及取得最小值时n的值．

[解]　(1)当n＝1时，S1＝a1＝2a1－2，解得a1＝2，

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2an－2－(2an－1－2)＝2an－2an－1，

所以an＝2an－1，

所以{an}是以2为首项，2为公比的等比数列，

所以an＝2n.

(2)bn＝2log2an－11＝2log22n－11＝2n－11，

所以{bn}为等差数列，

所以Tn＝＝＝n2－10n，

所以当n＝5时，Tn有最小值T5＝－25.

18．(12分)(2019·郑州模拟)如图1所示，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，∠BAD＝45°，AB＝2CD＝4，点E为AB的中点．将△ADE沿DE折起，使点A到达P的位置，得到如图2所示的四棱锥P­EBCD，点M为棱PB的中点．

      图1　      　图2

(1)求证：PD∥平面MCE；

(2)若平面PDE⊥平面EBCD，求三棱锥M­BCE的体积．

[解]　(1)在题图1中，

因为BE＝AB＝CD且BE∥CD，

所以四边形EBCD是平行四边形．

如图，连接BD，交CE于点O，连接OM，

所以点O是BD的中点，

又点M为棱PB的中点，

所以OM∥PD，

因为PD⊄平面MCE，OM⊂平面MCE，

所以PD∥平面MCE.

(2)在题图2中，

因为EBCD是平行四边形，所以DE＝BC，

因为四边形ABCD是等腰梯形，

所以AD＝BC，所以AD＝DE，

因为∠BAD＝45°，

所以AD⊥DE.

所以PD⊥DE，

又平面PDE⊥平面EBCD，且平面PDE∩平面EBCD＝DE，

所以PD⊥平面EBCD.

由(1)知OM∥PD，所以OM⊥平面EBCD，

在等腰直角三角形ADE中，因为AE＝2，所以AD＝DE＝，

所以OM＝PD＝AD＝，S△BCE＝S△ADE＝1，

所以V三棱锥M­BCE＝S△BCE·OM＝.

19．(12分)某客户考察了一款热销的净水器，使用寿命为十年，该款净水器为三级过滤，每一级过滤都由核心部件滤芯来实现．在使用过程中，一级滤芯需要不定期更换，其中每更换3个一级滤芯就需要更换1个二级滤芯，三级滤芯无需更换．其中一级滤芯每个200元，二级滤芯每个400元．记一台净水器在使用期内需要更换的二级滤芯的个数构成的集合为M.如图是根据100台该款净水器在十年使用期内更换的一级滤芯的个数制成的柱状图．

(1)结合柱状图，写出集合M；

(2)根据以上信息，求一台净水器在使用期内更换二级滤芯的费用大于1 200元的概率(以100台净水器更换二级滤芯的频率代替1台净水器更换二级滤芯发生的概率)；

(3)若在购买净水器的同时购买滤芯，则滤芯可享受5折优惠(使用过程中如需再购买无优惠)．假设上述100台净水器在购机的同时，每台均购买a个一级滤芯、b个二级滤芯作为备用滤芯(其中b∈M，a＋b＝14)，计算这100台净水器在使用期内购买滤芯所需总费用的平均数，并以此作为决策依据，如果客户购买净水器的同时购买备用滤芯的总数也为14，则其中一级滤芯和二级滤芯的个数应分别是多少？

[解]　(1)由题意可知，当一级滤芯更换9,10,11个时，二级滤芯需要更换3个，当一级滤芯更换12个时，二级滤芯需要更换4个，

所以M＝{3,4}．

(2)由题意可知，

二级滤芯更换3个，需1 200元，二级滤芯更换4个，需1 600元，

在100台净水器中，二级滤芯需要更换3个的净水器共70台，

二级滤芯需要更换4个的净水器共30台，

设“一台净水器在使用期内更换二级滤芯的费用大于1 200元”为事件A，

则P(A)＝＝0.3.

(3)a＋b＝14，b∈M，

①若a＝10，b＝4，

则这100台净水器更换滤芯所需费用的平均数为

＝2 000.

②若a＝11，b＝3，

则这100台净水器更换滤芯所需费用的平均数为

＝1 880.

所以如果客户购买净水器的同时购买备用滤芯的总数为14，客户应该购买一级滤芯11个，二级滤芯3个．

选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．

22．(10分)[选修4－4：坐标系与参数方程]

在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(α为参数)，直线l的参数方程为(t为参数，0≤β＜π)，以坐标原点O为顶点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．

(1)求曲线C的极坐标方程；

(2)已知直线l与曲线C相交于A，B两点，且|OA|－|OB|＝2，求β.

[解]　(1)由曲线C的参数方程可得普通方程为(x－2)2＋y2＝3，

即x2＋y2－4x＋1＝0，

所以曲线C的极坐标方程为ρ2－4ρcos θ＋1＝0.

(2)由直线l的参数方程可得直线l的极坐标方程为θ＝β(ρ∈R)．

因为直线l与曲线C相交于A，B两点，所以设A(ρ1，β)，B(ρ2，β)(ρ1＞ρ2)，

联立可得ρ2－4ρcos β＋1＝0，

因为Δ＝16cos2β－4＞0，所以cos2β＞，

所以|OA|－|OB|＝ρ1－ρ2＝＝＝2，

解得cos β＝±，所以β＝或.

23．(10分)[选修4－5：不等式选讲]

已知函数f(x)＝|2x－1|.

(1)解不等式f(x)＋f(x＋1)≥4；

(2)当x≠0，x∈R时，证明：f(－x)＋f≥4.

[解]　(1)不等式f(x)＋f(x＋1)≥4等价于|2x－1|＋|2x＋1|≥4，

等价于或或

解得x≤－1或x≥1，

所以原不等式的解集是(－∞，－1]∪[1，＋∞)．

(2)当x≠0，x∈R时，f(－x)＋f＝|－2x－1|＋，

因为|－2x－1|＋≥＝2|x|＋≥4，当且仅当，即x＝±1时等号成立，

所以f(－x)＋f≥4.