46分大题保分练(三)

46分大题保分练(三)

(建议用时：40分钟)

17．(12分)在△ABC中，AB＝6，AC＝4.

(1)若sin B＝，求△ABC的面积；

(2)若＝2，AD＝3，求BC的长．

[解]　(1)由正弦定理得＝，

所以sin C＝1，

因为0＜C＜π，所以C＝.

所以BC＝＝2.

所以S△ABC＝×2×4＝4.

(2)设DC＝x，则BD＝2x，

所以＝－，

解得x＝，

所以BC＝3DC＝3x＝.

18．(12分)(2019·济南模拟)某工厂有甲、乙两个车间生产同一种产品，甲车间有工人200人，乙车间有工人400人．为比较两个车间工人的生产效率，采用分层抽样的方法抽取工人．甲车间抽取的工人记作第一组，乙车间抽取的工人记作第二组，并对他们中每位工人生产完成一件产品的时间(单位：min)进行统计，按照[55,65)，[65,75)，[75,85)，[85,95]进行分组，得到下列统计图．

(1)分别估算两个车间工人中，生产一件产品时间少于75 min的人数；

(2)分别估计两个车间工人生产一件产品时间的平均值，并推测哪个车间工人的生产效率更高？

(3)从第一组生产时间少于75 min的工人中随机抽取2人，求抽取的2人中至少1人生产时间少于65 min的概率．

[解]　(1)由题意得，第一组工人20人，其中在75 min内(不含75 min)生产完成一件产品的有6人，

∴甲车间工人中生产一件产品时间少于75 min的人数约为6×10＝60.

第二组工人40人，其中在75 min内(不含75 min)生产完成一件产品的有40×(0.025＋0.05)×10＝30(人)，

∴乙车间工人中生产一件产品时间少于75 min的人数约为30×10＝300.

(2)第一组工人生产一件产品的平均时间为甲＝＝78(min)，

第二组工人生产一件产品的平均时间为乙＝60×0.25＋70×0.5＋80×0.2＋90×0.05＝70.5(min)，

∴甲＞乙，∴乙车间工人的生产效率更高．

(3)由题意得，第一组生产时间少于75 min的工人有6人，其中生产时间少于65 min的有2人，分别用A1，A2代表，生产时间不少于65 min的有4人，分别用B1，B2，B3，B4代表．

抽取2人的基本事件空间为Ω＝{(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A1，B4)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A2，B4)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B1，B4)，(B2，B3)，(B2，B4)，(B3，B4)}，共15个，

设事件A＝“抽取的2人中至少1人生产时间少于65 min”，

则事件＝{(B1，B2)，(B1，B3)，(B1，B4)，(B2，B3)，(B2，B4)，(B3，B4)}共6个，

∴P(A)＝1－P()＝1－＝.

19．(12分)(2019·沈阳模拟)如图，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝AB＝BC＝1，CD＝2，E为CD的中点，将△ADE沿AE折到△APE的位置．

(1)证明：AE⊥PB；

(2)当四棱锥P­ABCE的体积最大时，求点C到平面PAB的距离．

[解]　(1)在等腰梯形ABCD中，连接BD，交AE于点O.

∵AB∥CE，AB＝CE，∴四边形ABCE为平行四边形，

∴AE＝BC＝AD＝DE，∴△ADE为等边三角形，

∴在等腰梯形ABCD中，∠C＝∠ADE＝，

BD⊥BC，

∴BD⊥AE.

如图，翻折后可得，OP⊥AE，OB⊥AE，

又OP⊂平面POB，OB⊂平面POB，OP∩OB＝O，∴AE⊥平面POB，

∵PB⊂平面POB，∴AE⊥PB.

(2)当四棱锥P­ABCE的体积最大时，平面PAE⊥平面ABCE.

又平面PAE∩平面ABCE＝AE，PO⊂平面PAE，PO⊥AE，∴OP⊥平面ABCE.

∵OP＝OB＝，∴PB＝，∵AP＝AB＝1，∴S△PAB＝××＝，

连接AC，则VP­ABC＝OP·S△ABC＝××＝，

设点C到平面PAB的距离为d，∵VP­ABC＝VC­PAB＝S△PAB·d，

∴d＝＝＝.

选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．

22．(10分)[选修4－4：坐标系与参数方程]

在平面直角坐标系xOy中，直线l1的倾斜角为30°，且经过点A(2,1)．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l2：ρcos θ＝3.从坐标原点O作射线交l2于点M，点N为射线OM上的点，满足|OM|·|ON|＝12，记点N的轨迹为曲线C.

(1)写出直线l1的参数方程和曲线C的直角坐标方程；

(2)设直线l1与曲线C交于P，Q两点，求|AP|·|AQ|的值．

[解]　(1)直线l1的参数方程为(t为参数)，

即(t为参数)．

设N(ρ，θ)，M(ρ1，θ1)(ρ＞0，ρ1＞0)，

则又ρ1cos θ1＝3，所以ρ＝12，即ρ＝4cos θ，所以曲线C的直角坐标方程为x2－4x＋y2＝0(x≠0)．

(2)设P，Q对应的参数分别为t1，t2，将直线l1的参数方程代入曲线C的直角坐标方程中，

得2－4＋2＝0，

即t2＋t－3＝0，Δ＝13＞0，

t1，t2为方程的两个根，所以t1t2＝－3，

所以|AP||AQ|＝|t1t2|＝|－3|＝3.

23．(10分)[选修4－5：不等式选讲]

已知函数f(x)＝|2x－1|＋|x－1|.

(1)求不等式f(x)≤4的解集；

(2)设函数f(x)的最小值为m，当a，b，c为正实数，且a＋b＋c＝m时，求＋＋的最大值．

[解]　(1)①当x＜时，f(x)＝－3x＋2≤4，∴－≤x＜；

②当≤x＜1时，f(x)＝x≤4，∴≤x＜1；

③当x≥1时，f(x)＝3x－2≤4，∴1≤x≤2.

综上，f(x)≤4的解集为.

(2)法一：由(1)可知f(x)＝∴f(x)min＝，即m＝.

又a，b，c为正实数，且a＋b＋c＝，∴2a＋2b＋2c＝1，设x＝，y＝，z＝，

∵x2＋y2≥2xy，∴2xy≤x2＋y2＝2a＋1＋2b＋1＝2a＋2b＋2，

同理，2yz≤2b＋2c＋2,2zx≤2c＋2a＋2，

∴2xy＋2yz＋2zx≤2a＋2b＋2＋2b＋2c＋2＋2c＋2a＋2＝8，

∴(x＋y＋z)2＝x2＋y2＋z2＋2xy＋2yz＋2zx≤2a＋1＋2b＋1＋2c＋1＋8＝12，

∴x＋y＋z≤2，即＋＋≤2，

当且仅当a＝b＝c＝时，取得最大值2.

法二：由(1)可知f(x)＝∴f(x)min＝，即m＝.

又a，b，c为正实数，且a＋b＋c＝，

∴＋＋＝≤＝2，

当且仅当a＝b＝c＝时，取得最大值2.

法三：由(1)可知f(x)＝∴f(x)min＝，即m＝.

∴a＋b＋c＝，∴(2a＋1)＋(2b＋1)＋(2c＋1)＝4，

由柯西不等式可知

[()2＋()2＋()2]·(12＋12＋12)≥(·1＋·1＋·1)2，

即＋＋≤2，

当且仅当2a＋1＝2b＋1＝2c＋1，即a＝b＝c＝时，取得最大值2.