46分大题保分练(六)

46分大题保分练(六)

(建议用时：40分钟)

17．(12分)(2019·抚顺模拟)设数列{an}满足a1＝1，an＋1＝(n∈N*)．

(1)求证：数列是等差数列；

(2)设bn＝－1，求数列{bn}的前n项和Tn.

[解]　(1)∵an＋1＝，∴－＝－＝－＝＝－.

又a1＝1，∴＝－1，

∴数列是以－1为首项，－为公差的等差数列．

(2)由(1)知＝－1＋(n－1)＝－，∴an＝2－＝，

∴bn＝－1＝－1＝－1＝＝，

∴Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝＝＝，

∴数列{bn}的前n项和Tn＝.

18．(12分)(2019·武汉模拟)在四棱锥E­ABCD中，底面ABCD是边长为4的菱形且中心为O点，P为AD的中点，∠DAB＝∠EAB＝∠EAD＝60°，且点E在底面ABCD上的正投影为AO的中点．

(1)求证：PE⊥AC；

(2)求点C到平面EAB的距离．

[解]　(1)如图，取AO的中点为H，连接EH，HP，则EH⊥平面ABCD.

又AC⊂平面ABCD，所以EH⊥AC.

因为P，H分别为AD，AO的中点，所以HP∥BD.

又底面ABCD是边长为4的菱形，所以AC⊥DB，所以AC⊥HP.

又HP∩HE＝H，所以AC⊥平面EPH，

又PE⊂平面EPH，所以AC⊥PE.

(2)由题意得AP＝2，AH＝，HP＝1.

设EH＝x，则在Rt△EHA和Rt△EHP中，有AE＝，

EP＝，

在△EAP中，EA2＋AP2－2EA·AP·cos∠EAP＝EP2，即()2＋22－2××2×cos 60°＝()2，

解得x＝，即EH＝，则AE＝3.

设点C到平面EAB的距离为h，由V三棱锥E­ABC＝V三棱锥C­EAB，得·S△ABC·EH＝·S△EAB·h，又S△EAB＝AE·AB·sin∠EAB＝×3×4×＝3，S△ABC＝AB·BC·sin(π－∠DAB)＝×4×4×＝4，所以h＝，即点C到平面EAB的距离为.

19．(12分)(2019·贵阳模拟)某部门经统计，客户对不同款型理财产品的最满意度百分比和对应的理财总销售量(单位：万元)如下表(最满意度百分比越高时总销售量越高)：

设x表示理财产品最满意度的百分比，y为该理财产品的总销售量(单位：万元)．这些数据的散点图如图所示．

(1)在5份A款型理财产品的客户满意度调查资料中只有一份是最满意的，从这5份资料中任取2份，求含有最满意客户资料的概率；

(2)我们约定：相关系数的绝对值在0.3以下是无线性相关，在0.3以上(含0.3)至0.75是一般线性相关，在0.75以上(含0.75)是较强线性相关，y与x是否达到较强线性相关？若达到，请求出线性回归方程；若没有达到较强线性相关，则采取“末位”剔除制度(即总销售量最少的那一款型产品退出理财销售)，请求在剔除“末位”款型后的线性回归方程(系数精确到0.1)．

数据参考计算值：

附：线性相关系数r＝，回归直线方程＝＋x的斜率和截距的最小二乘法估计分别为＝，＝－ .

[解]　(1)在5份A款型理财产品的客户资料中只有1份是最满意的，把最满意客户资料记为a，其余客户资料记为b，c，d，e.

则任取2份资料的基本事件有(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(c，d)，(c，e)，(d，e)，共10个．

含有a的基本事件有(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，共4个．

则含有最满意客户资料的概率为＝.

(2)线性相关系数r＝≈≈0.72∈[0.3,0.75)．

即y与x具有一般线性相关关系，没有达到较强线性相关关系．

由“末位”剔除制度可知，应剔除J款型理财产品，

重新计算得＝＝≈22.89，

＝＝≈74.33，

x－92＝288.9＋10×21.92－132－9×22.892≈200.43，

xiyi－9·＝452.1＋10×21.9×72.1－13×52－9×22.89×74.33≈253.27.

＝＝≈1.26≈1.3.

＝－＝74.33－1.26×22.89≈45.5.

所求线性回归方程为＝45.5＋1.3x.

(注：若用＝1.3计算出a≈44.6，即＝44.6＋1.3x不扣分)

选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．

22．(10分)[选修4－4：坐标系与参数方程]

在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线M的极坐标方程为ρ＝2cos θ，若极坐标系内异于O的三点A(ρ1，φ)，B，C(ρ1，ρ2，ρ3＞0)都在曲线M上．

(1)求证：ρ1＝ρ2＋ρ3；

(2)若过B，C两点的直线的参数方程为(t为参数)，求四边形OBAC的面积．

[解]　(1)由题意得ρ1＝2cos φ，ρ2＝2cos，ρ3＝2cos，

则ρ2＋ρ3＝2cos＋2cos＝2cos φ＝ρ1.

(2)由曲线M的极坐标方程得曲线M的直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0，

将直线BC的参数方程代入曲线M的直角坐标方程得t2－t＝0，解得t1＝0，t2＝，∴在平面直角坐标系中，B，C(2,0)，

则ρ2＝1，ρ3＝2，φ＝，∴ρ1＝.

∴四边形OBAC的面积S＝S△AOB＋S△AOC＝ρ1ρ2sin＋ρ1ρ3sin＝.

23．(10分)[选修4－5：不等式选讲]

已知不等式|ax－1|≤|x＋3|的解集为{x|x≥－1}．

(1)求实数a的值；

(2)求＋的最大值．

[解]　(1)|ax－1|≤|x＋3|的解集为{x|x≥－1}，即(1－a2)x2＋(2a＋6)x＋8≥0的解集为{x|x≥－1}，当1－a2≠0时，不符合题意，舍去．

当1－a2＝0，即a＝±1时，

x＝－1为方程(2a＋6)x＋8＝0的一解，经检验a＝－1不符合题意，舍去，

a＝1符合题意．

综上，a＝1.

(2)(＋)2＝16＋2＝16＋2，

当t＝＝4时，(＋)2有最大值，为32.

又＋≥0，所以＋的最大值为4.