46分大题保分练(二)

46分大题保分练(二)

(建议用时：40分钟)

17．(12分)(2019·福州模拟)已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，满足S2＋4S4＝S6，a1＝1.

(1)求数列{an}的公比q；

(2)令bn＝an－15，求T＝|b1|＋|b2|＋…＋|b10|的值．

[解]　(1){an}是正项等比数列，

若q＝1，则Sn＝na1＝n，

∴S2＝2,4S4＝4×4，S6＝6，不合题意．

∴q≠1，从而Sn＝.

由S2＋4S4＝S6可知

＋4·＝，

∴(1－q2)＋4(1－q4)＝1－q6，而q≠1，且q＞0，

∴1＋4(1＋q2)＝1＋q2＋q4，即q4－3q2－4＝0，

∴(q2－4)(q2＋1)＝0，∴q＝2.

(2)由(1)知an＝2n－1，则an的前n项和Sn＝＝2n－1.

当n≥5时，bn＝2n－1－15＞0，n≤4时，bn＝2n－1－15＜0，

∴T＝－(b1＋b2＋b3＋b4)＋(b5＋b6＋…＋b10)

＝－(a1＋a2＋a3＋a4－15×4)＋(a5＋a6＋…＋a10－15×6)

＝－S4＋S10－S4＋60－90

＝S10－2S4－30

＝(210－1)－2×(24－1)－30

＝210－25－29

＝1 024－32－29

＝963.

18．(12分)如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，∠DAB＝，平面PAD⊥平面ABCD，PA＝PD＝.

(1)证明：PB⊥BC；

(2)求点A到平面PBC的距离．

[解]　(1)如图，取AD的中点H，连接PH，HB，BD.

∵底面ABCD是边长为1的菱形，∴AD＝AB＝1，∴AH＝AD＝，

由BH2＝AB2＋AH2－2AB·AH·cos∠DAB，

得BH2＝1＋－2×1××＝，

∴BH＝，∴AH2＋BH2＝AB2，

∴BH⊥AD.

∵PA＝PD，H为AD的中点，

∴PH⊥AD，又PH∩BH＝H，

∴AD⊥平面PHB，又PB⊂平面PHB，

∴AD⊥PB，又AD∥BC，

∴PB⊥BC.

(2)∵AD∥BC，BC⊂平面PBC，AD⊄平面PBC，

∴AD∥平面PBC，

∴点A与点H到平面PBC的距离相等．

由(1)知AD⊥平面PHB，

∴BC⊥平面PHB，又BC⊂平面PBC，

∴平面PBC⊥平面PHB.

过点H作HM⊥PB于M.

由平面PHB∩平面PBC＝PB，

知HM即点H到平面PBC的距离．

∵平面PAD⊥平面ABCD，

平面PAD∩平面ABCD＝AD，

PH⊂平面PAD，PH⊥AD，∴PH⊥平面ABCD，

又BH⊂平面ABCD，∴PH⊥BH.

PH＝＝，BH＝，

∴PB＝＝，

∴HM＝＝＝.

19．(12分)某城市先后采用甲、乙两种方案治理空气污染各一年，各自随机抽取一年(365天)内100天的空气质量指数API的检测数据进行分析，若空气质量指数值在[0,300]内为合格，否则为不合格．下表是甲方案检测数据样本的频数分布表，下图是乙方案检测数据样本的频率分布直方图．

(1)将频率视为概率，求乙方案样本的频率分布直方图中a的值，以及乙方案样本的空气质量不合格天数；

(2)根据频率分布直方图，求乙方案样本的中位数；

(3)填写2×2列联表，并根据列联表判断是否有90%的把握认为该城市的空气质量指数值与两种方案的选择有关．

附：

K2＝，n＝a＋b＋c＋d.

[解]　(1)由频率分布直方图知，(0.0010＋0.003 0＋0.004 0＋0.005 0＋0.003 0＋0.001 8＋a)×50＝1，解得a＝0.002 2，

∴乙方案样本的空气质量不合格天数为

0．002 2×50×100＝11(天)．

(2)由频率分布直方图得

(0.001 0＋0.003 0＋0.004 0)×50＝0.4，

又0.005 0×50＝0.25，

0．4＋0.25＝0.65＞0.5，

∴中位数在(150,200]内，设中位数为x，

则0.4＋(x－150)×0.005 0＝0.5，

解得x＝170，

∴乙方案样本的中位数为170.

(3)由题可得到2×2列联表为

将列联表中的数据代入公式得

K2＝≈3.532，

∵3.532＞2.706，

∴有90%的把握认为空气质量指数值与两种方案的选择有关．

选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．

22．(10分)[选修4－4：坐标系与参数方程]

在直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1：ρsin＝，C2：ρ2＝.

(1)求曲线C1，C2的直角坐标方程；

(2)曲线C1和C2的交点为M，N，求以MN为直径的圆与y轴的交点坐标．

[解]　(1)由ρsin＝得ρ＝，

将代入上式得x＋y＝1，

即C1的直角坐标方程为x＋y＝1.

同理由ρ2＝可得3x2－y2＝1.

∴C2的直角坐标方程为3x2－y2＝1.

(2)先求以MN为直径的圆，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，

由得3x2－(1－x)2＝1，即x2＋x－1＝0.

∴则MN的中点坐标为.

∴|MN|＝|x1－x2|＝×＝.

∴以MN为直径的圆的方程为2＋2＝2，

令x＝0，得＋2＝，即2＝，∴y＝0或y＝3.

∴以MN为直径的圆与y轴的交点的坐标为(0,0)，(0,3)．

23．(10分)[选修4－5：不等式选讲]

已知函数f(x)＝|2x＋1|＋|x－1|.

(1)求不等式f(x)≥3的解集；

(2)若直线y＝x＋a与y＝f(x)的图象所围成的多边形面积为，求实数a的值．

[解]　(1)由题意知f(x)＝

由f(x)≥3可知：

①当x≥1时，3x≥3，即x≥1；

②当－＜x＜1时，x＋2≥3，即x≥1，与－＜x＜1矛盾，舍去；

③当x≤－时，－3x≥3，即x≤－1.

综上可知不等式f(x)≥3的解集为{x|x≤－1或x≥1}．

(2)画出函数y＝f(x)的图象，如图所示，其中A，B(1,3)，由直线AB的斜率kAB＝1，知直线y＝x＋a与直线AB平行，若要围成多边形，则a＞2，

易得直线y＝x＋a与y＝f(x)的图象交于两点C，D，则|CD|＝·＝a.

平行线AB与CD间的距离d＝＝，|AB|＝，

∴梯形ABCD的面积S＝·＝·(a－2)＝(a＞2)，

即(a＋2)(a－2)＝12，∴a＝4，

故所求实数a的值为4.