人教版八年级下册第十八章 平行四边形18.2 特殊的平行四边形18.2.1 矩形教案设计

这是一份人教版八年级下册第十八章 平行四边形18.2 特殊的平行四边形18.2.1 矩形教案设计，共6页。教案主要包含了学习目标，要点梳理，典型例题，思路点拨，答案与解析，总结升华等内容，欢迎下载使用。

【学习目标】


1. 理解矩形的概念.


2. 掌握矩形的性质定理与判定定理.


【要点梳理】


要点一、矩形的定义


有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.


要点诠释：矩形定义的两个要素：①是平行四边形；②有一个角是直角.即矩形首先是一个平行四边形，然后增加一个角是直角这个特殊条件.


要点二、矩形的性质


矩形的性质包括四个方面：


1.矩形具有平行四边形的所有性质；


2.矩形的对角线相等；


3.矩形的四个角都是直角；


4.矩形是轴对称图形，它有两条对称轴.


要点诠释：（1）矩形是特殊的平行四边形，因而也是中心对称图形.过中心的任意直线可将矩形分成完全全等的两部分.


（2）矩形也是轴对称图形，有两条对称轴（分别通过对边中点的直线）.对称轴的交点就是对角线的交点（即对称中心）.


（3）矩形是特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形的所有性质，从而矩形的性质可以归结为从三个方面看：从边看，矩形对边平行且相等；从角看，矩形四个角都是直角；从对角线看，矩形的对角线互相平分且相等.


要点三、矩形的判定


矩形的判定有三种方法：


1.定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.


2.对角线相等的平行四边形是矩形.


3.有三个角是直角的四边形是矩形.


要点诠释：在平行四边形的前提下，加上“一个角是直角”或“对角线相等”都能判定平行四边形是矩形.


要点四、直角三角形斜边上的中线的性质


直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.


要点诠释：（1）直角三角形斜边上的中线的性质是矩形性质的推论.性质的前提是直角三角形，对一般三角形不可使用.


（2）学过的直角三角形主要性质有：①直角三角形两锐角互余；②直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；③直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的一半.


（3）性质可以用来解决有关线段倍分的问题.


【典型例题】


类型一、矩形的性质


1、（2015•云南）如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，M，N分别是AB，CD的中点，P是AD上的点，且∠PNB=3∠CBN．


（1）求证：∠PNM=2∠CBN；


（2）求线段AP的长．





【思路点拨】（1）由MN∥BC，易得∠CBN=∠MNB，由已知∠PNB=3∠CBN，根据角的和差不难得出结论；


（2）连接AN，根据矩形的轴对称性，可知∠PAN=∠CBN，由（1）知∠PNM=2∠CBN=2∠PAN，由AD∥MN，可知∠PAN=∠ANM，所以∠PAN=∠PNA，根据等角对等边得到AP=PN，再用勾股定理列方程求出AP．


【答案与解析】


解：（1）∵四边形ABCD是矩形，M，N分别是AB，CD的中点，


∴MN∥BC，


∴∠CBN=∠MNB，


∵∠PNB=3∠CBN，


∴∠PNM=2∠CBN；


（2）连接AN，


根据矩形的轴对称性，可知∠PAN=∠CBN，


∵MN∥AD，


∴∠PAN=∠ANM，


由（1）知∠PNM=2∠CBN，


∴∠PAN=∠PNA，


∴AP=PN，


∵AB=CD=4，M，N分别为AB，CD的中点，


∴DN=2，


设AP=x，则PD=6﹣x，


在Rt△PDN中


PD2+DN2=PN2，


∴（6﹣x）2+22=x2，


解得：x=


所以AP=．





【总结升华】本题主要考查了矩形的性质、勾股定理等知识的综合运用，难度不大，根据角的倍差关系得到∠PAN=∠PNA，发现AP=PN是解决问题的关键．


举一反三：


【变式】如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点P为AB边上任一点，过P分别作PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，则线段EF的最小值是 _________ ．





【答案】；


提示：因为ECFP为矩形，所以有EF＝PC.PC最小时是直角三角形斜边上的高.





类型二、矩形的判定


2、已知：平行四边形ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，连接AF、CE.


（1）求证：△BEC≌△DFA；


（2）连接AC，若CA＝CB，判断四边形AECF是什么特殊四边形？并证明你的结论.





【答案与解析】


证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，


∴AB＝CD,∠B＝∠D，BC＝AD.


∵E、F分别是AB、CD的中点，


∴BE＝AB，DF＝CD.


∴BE＝DF.


∴△BEC≌△DFA.


（2）四边形AECF是矩形.


∵四边形ABCD是平行四边形，


∴AB∥CD，且AB＝CD.


∵E、F分别是AB、CD的中点，


∴BE＝AB，DF＝CD.


∴AE∥CF且AE＝CF.


∴四边形AECF是平行四边形.


∵CA＝CB，E是AB的中点，


∴CE⊥AB，即∠AEC＝90°.


∴四边形AECF是矩形.


【总结升华】要证明△BEC和△DFA全等，主要运用判定定理（边角边）；四边形AECF是矩形，先证明四边形AECF是平行四边形，再证这个平行四边形对角线相等或者有一个角是直角.


举一反三：


【变式】（2015•内江）如图，将□ABCD的边AB延长至点E，使AB=BE，连接DE，EC，DE交BC于点O．


（1）求证：△ABD≌△BEC；


（2）连接BD，若∠BOD=2∠A，求证：四边形BECD是矩形．





【答案】证明：（1）在平行四边形ABCD中，AD=BC，AB=CD，AB∥CD，则BE∥CD．


又∵AB=BE，


∴BE=DC，


∴四边形BECD为平行四边形，


∴BD=EC．


∴在△ABD与△BEC中，


，


∴△ABD≌△BEC（SSS）；


（2）由（1）知，四边形BECD为平行四边形，则OD=OE，OC=OB．


∵四边形ABCD为平行四边形，


∴∠A=∠BCD，即∠A=∠OCD．


又∵∠BOD=2∠A，∠BOD=∠OCD+∠ODC，


∴∠OCD=∠ODC，


∴OC=OD，


∴OC+OB=OD+OE，即BC=ED，


∴平行四边形BECD为矩形．


3、如图所示，ABCD四个内角的角平分线分别交于点E、F、G、H．


求证：四边形EFGH是矩形．





【思路点拨】AE、BE分别为∠BAD、∠ABC的角平分线，由于在ABCD中，∠BAD+∠ABC＝180°，易得∠BAE+∠ABE＝90°，不难得到∠HEF＝90°，同理可得∠H＝∠F＝90°．


【答案与解析】


证明：在ABCD中，AD∥BC，


∴ ∠BAD＋∠ABC＝180°，


∵ AE、BE分别平分∠BAD、∠ABC，


∴ ∠BAE＋∠ABE＝∠BAD＋∠ABC＝90°．


∴ ∠HEF＝∠AEB＝90°．


同理：∠H＝∠F＝90°．


∴ 四边形EFGH是矩形．


【总结升华】 (1)利用角平分线、垂线得到90°的角，选择“有三个直角的四边形是矩形”来判定．(2)本题没有涉及对角线，所以不会选择利用对角线来判定矩形．


类型三、直角三角形斜边上的中线的性质


4、如图，△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝8，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则△CDE的周长为（ ）


A．20 B．12 C．14 D．13





【答案】C；


【解析】


解：∵AB＝AC，AD平分∠BAC，BC＝8，


∴AD⊥BC，CD＝BD＝BC＝4，


∵点E为AC的中点，


∴DE＝CE＝AC＝5，


∴△CDE的周长＝CD＋DE＋CE＝4＋5＋5＝14．


【总结升华】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形三线合一的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．


举一反三：


【变式】如图所示，已知平行四边形ABCD，AC、BD相交于点O，P是平行四边形ABCD外一点，且∠APC＝∠BPD＝90°．求证：平行四边形ABCD是矩形．








【答案】


解：连接OP．


∵ 四边形ABCD是平行四边形．


∴ AO＝CO，BO＝DO，


∵ ∠APC＝∠BPD＝90°，


∴ OP＝AC，OP＝BD，


∴ AC＝BD．


∴ 四边形ABCD是矩形．