专题 18.15 矩形（知识讲解）-八年级数学下册基础知识专项讲练（人教版）

这是一份专题 18.15 矩形（知识讲解）-八年级数学下册基础知识专项讲练（人教版），共37页。教案主要包含了学习目标，要点梳理，典型例题等内容，欢迎下载使用。

专题 18.15 矩形（知识讲解）
【学习目标】
1. 理解矩形的概念.
2. 掌握矩形的性质定理与判定定理.
3.运用矩形性质定理与判定定理计算或证明有关的角和线段.
【要点梳理】
要点一、矩形的定义
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
特别说明：矩形定义的两个要素：①是平行四边形；②有一个角是直角.即矩形首先是一个平行四边形，然后增加一个角是直角这个特殊条件.
要点二、矩形的性质
矩形的性质包括四个方面：
1.矩形具有平行四边形的所有性质；
2.矩形的对角线相等；
3.矩形的四个角都是直角；
4.矩形是轴对称图形，它有两条对称轴.
特别说明：（1）矩形是特殊的平行四边形，因而也是中心对称图形.过中心的任意直线可将矩形分成完全全等的两部分.
（2）矩形也是轴对称图形，有两条对称轴（分别通过对边中点的直线）.对称轴的交点就是对角线的交点（即对称中心）.
（3）矩形是特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形的所有性质，从而矩形的性质可以归结为从三个方面看：从边看，矩形对边平行且相等；从角看，矩形四个角都是直角；从对角线看，矩形的对角线互相平分且相等.
要点三、矩形的判定
矩形的判定有三种方法：
1.定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
2.对角线相等的平行四边形是矩形.
3.有三个角是直角的四边形是矩形.
特别说明：在平行四边形的前提下，加上“一个角是直角”或“对角线相等”都能判定平行四边形是矩形.
要点四、直角三角形斜边上的中线的性质
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
特别说明：（1）直角三角形斜边上的中线的性质是矩形性质的推论.性质的前提是直角三角形，对一般三角形不可使用.
（2）学过的直角三角形主要性质有：①直角三角形两锐角互余；②直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；③直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的一半.
（3）性质可以用来解决有关线段倍分的问题.
【典型例题】
类型一、矩形的理解
1．求作：矩形ABCD，使它的对角线，且对角线夹角为60°．

【分析】作线段AC的垂直平分线交AC于点O，作等边△AOB，延长BO，截取OD=OB，连接BC，CD，AD即可．
解：如图，四边形ABCD即为所求作．

【点拨】本题考查作图-复杂作图，等边三角形的判定和性质，矩形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
举一反三：
【变式】如图，在平行四边形中，是直线上的两点，；
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若四边形是矩形，且，，，求的长．

【答案】（1）证明见解析；（2）
【分析】（1）连接交于点，利用平行四边形的性质证明，，再证明，从而可得结论；
（2）利用勾股定理先求解，可得，再求解，结合矩形的性质可得，从而可得答案.
证明：（1）连接交于点，

四边形是平行四边形，
，，
，
，
四边形是平行四边形；
（2），，，
，
，
，
四边形是矩形，
，，，
，
．
【点拨】本题考查的是平行四边形的性质与判定，矩形的性质，勾股定理的应用，掌握以上知识是解题的关键.
类型二、利用矩形的性质求角
2．如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AO＝CO，BO＝DO，且∠ABC＋∠ADC＝180°．
（1）求证：四边形ABCD是矩形．
（2）DF⊥AC，若∠ADF∶∠FDC＝2∶1，则∠BDF的度数是多少？

【答案】（1）见解析；（2）
【分析】（1）先证明四边形ABCD是平行四边形，求出∠ABC=90°，然后根据矩形的判定定理，即可得到结论；
（2）求出∠FDC的度数，根据三角形的内角和，求出∠DCO，然后得到OD=OC，得到∠CDO，即可求出∠BDF的度数．
解：（1），
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴，
∵∠ABC＋∠ADC＝180°，
∴，
∴四边形ABCD是矩形．
（2）∵，，
∴，
∵DF⊥AC，
∴，
∵OC＝OD，
∴，
∴．
【点拨】本题考查了平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，能灵活运用定理进行推理是解题的关键.注意：矩形的对角线相等，有一个角是直角的平行四边形是矩形．
举一反三：
【变式】如图，在平行四边形ABCD中，点E是边BC的中点，连接AE并延长，交DC的延长线于点F，连接AC，BF．
（1）求证：△ABE≌△FCE；
（2）当四边形ABFC是矩形时，若∠AEC＝120°，求∠D的度数．

【答案】（1）见解析；（2）
【分析】（1）根据平行四边形性质得出AB∥DC，推出∠ABE=∠FCB，再由ASA即可得出结论；
（2）根据矩形的性质和等腰三角形的性质解答即可．
解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//DC即AB//DF，
∴∠ABE=∠FCB，
∵点E是BC的中点，
∴BE=CE.
在△ABE和△FCE中，

∴△ABE≌△FCE.
（2）∵四边形ABFC是矩形，
∴AF=BC，AE=AF，BE=BC，
∴AE=BE，
∴∠ABE=∠BAE，
∵∠AEC=120°，
∴∠ABE=∠BAE=60°，
∵平行四边形ABCD，
∴∠D=∠ABE=60°．
【点拨】本题考查了平行四边形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定，等腰三角形的性质等知识，熟练掌握矩形的性质，证明△ABE≌△FCE是解题的关键．
类型三、利用矩形的性质求线段
3．如图，在矩形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，过点B作于点F，点E在BF的延长线上，且．
（1）求证：．
（2）若，F是AO的中点，求BC的长．

【答案】（1）见解析；（2）
【分析】（1）由矩形的性质得，即可得到，从而可以推出，由此即可证明；
（2）由F是AO的中点，，得到，则，然后利用勾股定理求解即可．
解：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形．
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；

（2）∵F是AO的中点，，
∴，
∵四边形ABCD是矩形，
∴，
∴．
【点拨】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质与判定，平行线的判定等等，解题的关键在于能够熟练掌握矩形的性质．
举一反三：
【变式】如图，四边形ABCD是矩形．
（1）尺规作图：作∠ABC的平分线交AD于点E，连接CE；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，若BE＝CE＝2，求AD的长．

【答案】（1）图见解析；（2）．
【分析】（1）根据角平分线的尺规作图的方法即可得；
（2）先根据矩形的性质得到，再根据角平分线的定义可得，然后证明是等腰直角三角形，最后根据勾股定理可得的长，从而得到．
解：（1）如图，即为所作．

（2）∵四边形为矩形，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
．
【点拨】本题考查了角平分线的尺规作图、矩形的性质、等腰三角形的性质以及勾股定理，熟练掌握角平分线的尺规作图和矩形的性质是解题关键．
类型四、利用矩形的性质求面积
4．如图，在四边形ABCD中，ADBC，∠ABC＝∠ADC，对角线AC、BD交于点O，AO＝BO，DE平分∠ADC交BC于点E，连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）若AB＝1，求OEC的面积．

【答案】（1）见解析；（2）
【分析】（1）证出∠BAD＝∠BCD，得出四边形ABCD是平行四边形，得出OA＝OC，OB＝OD，证出AC＝BD，即可解决问题；
（2）作OF⊥BC于F，根据矩形的性质得出BF=FC，由三角形中位线定理求出OF的长，由角的平分线的定义与∠ADC=90°求出EC的长，最后根据三角形面积公式进行求解．
解：（1）∵AD∥BC，
∴∠ABC+∠BAD＝180°，∠ADC+∠BCD＝180°，
∵∠ABC＝∠ADC，
∴∠BAD＝∠BCD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵OA＝OB，
∴AC＝BD，
∴四边形ABCD是矩形；

（2）过点O作OF⊥BC于F，
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD=AB=1，∠BCD=90°，AO=CO，BO=DO，AC=BD，
∴AO=BO=CO=DO，
∴BF=FC，
∴OF是△BDC的中位线，
∴，
∵DE平分∠ADC，∠ADC=90°，
∴∠EDC=45°，
∴∠DEC=180°-∠EDC-∠ECD=45°，
∴在Rt△EDC中，EC=CD=1
∴△OEC的面积．

【点拨】本题考查矩形的判定与性质，三角形中位线定理，角平分线的定义，等腰直角三角形的性质与判定，通过巧作辅助线构造三角形中位线是解题的关键．
举一反三：
【变式】如图，将矩形ABCD沿对角线BD对折，点C落在E处，BE与AD相交于点F．若DE=4，BD=8．
（1）求证：BF=DF； （2）求△BDF的面积．

【答案】（1）见解析；（2）
【分析】（1）因为四边形ABCD是矩形，折叠前后∠E=∠C=90°，ED=CD=AB，根据AAS可证明△ABF≌△EDF，可得BF=DF；
（2）利用勾股定理求出AD，设BF=DF=x，在△ABF中，利用勾股定理求出DF，再利用三角形面积公式计算．
解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠C=90°，AB=CD，
由折叠可得，∠E=∠C=90°，ED=CD，
在△ABF和△EDF中，
，
∴△ABF≌△EDF（AAS），
∴BF=DF；
（2）∵CD=AB=DE=4，BD=8，
∴AD=BC==，
设BF=DF=x，则AF=AD-DF=-x，
在△ABF中，，
即，
解得：x=，
∴DF=，
∴△BDF的面积==．
【点拨】本题综合考查图形的折叠问题，勾股定理的应用以及三角形面积求法，折叠问题注意图形折叠前后对应边相等，对应角相等，此题难度不大．
类型五、利用矩形的性质证明
5．如图，矩形ABCD中，E、F是BC上的点，∠DAE=∠ADF．求证：BF=CE．

【分析】先证明，然后证明△ABE≌△DCF，再根据全等三角形的性质得出结论．
解：∵四边形是矩形，
∴，，AD∥BC，
∴∠ADF=∠CFD，∠DAE=∠AEB，
∵，
∴．
在和中，
，
∴，
∴，
∴BE-FE=CF-EF，即BF=CE．

【点拨】本题主要考查了矩形的性质，全等三角形的性质与判定，熟知全等三角形的性质与判定条件是解题的关键．
举一反三：
【变式】如图，矩形中，是的中点，延长，交于点，连接，．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）当平分时，猜想与的数量关系，并证明你的结论．

【答案】（1）证明见解析；（2），证明见解析
【分析】（1）由题意可得，，进而可说明四边形是平行四边形；
（2）平分，，，进而可得到与的数量关系．
解：（1）证明：∵四边形是矩形
∴，
∴
∵是的中点
∴
在和中

∴
∴
又∵
∴四边形是平行四边形．
（2）解：
证明：∵平分
∴
∴
∵
∴．
【点拨】本题考查了平行四边形的判定，矩形的性质，角平分线的性质等知识．解题的关键与难点是灵活综合运用几何图形的性质．
类型六、坐标系中的矩形
6．如图，在平面直角坐标系中，长方形的两边分别在x轴和y轴的正半轴上，，现有两动点P、Q分别从O、C同时出发，P在线段上沿方向以每秒1.5个单位长度的速度匀速运动，运动到点A停止，Q在线段上沿方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，运动到点O停止，设运动时间为t秒．

（1）B点的坐标为___________，_________，___________（用含t的代数式表示线段与线段的长度）
（2）当t为怎样的值时，的面积不小于的面积？
（3）的面积可以等于36吗？如果可以请你求出对应的t值，如果不可以请说明理由．
【答案】（1）B点的坐标为，；（2）当时，的面积不小于的面积；（3）的面积不可以等于36，理由见解析
【分析】根据矩形的长和宽表示点B的坐标，根据速度和时间表示：，，可得结论；
根据的面积不小于的面积，列不等式，代入面积公式可得t的值，并根据已知确定t的取值范围；
先根据的面积为36，列方程解出t=8， 根据内即可得出结论．
解：（1）长方形的两边分别在x轴和y轴的正半轴上，
∴AB=OC=6，OA=9，
∴B点的坐标为，
∵P在线段上沿方向以每秒1.5个单位长度的速度匀速运动， Q在线段上沿方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，
∴OP=1.5t，CQ=t，
∴，
故答案为（9，6）；；；
（2）∵， ，
若，
即，
解得，
∵点P在线段上沿方向以每秒1.5个单位长度的速度匀速运动，运动到点A停止，
∴，
∴，
∴当时，的面积不小于的面积；
（3）的面积不可以等于36，理由如下：
∵，
若，
则，
∵，
∴的面积不可以等于36．
【点拨】本题是四边形的综合题，考查了三角形的面积求解，矩形的性质，点的坐标特点，图形动点运动问题，难度适中，准确利用动点表示出线段的长度是解题的关键．
举一反三：
【变式】如图，已知为坐标原点，四边形为长方形，，点是的中点，点在线段上运动．
（1）写出点的坐标；
（2）当是腰长为5的等腰三角形时，求点的坐标．

【答案】（1）A（10，0），B（10，4），C（0，4）；（2）（3，4）或（2，4）或（8，4）．
【分析】（1）根据矩形的性质可得BC=OA=10，AB=OC=4，从而求出各点坐标；
（2）先求出OD，然后根据等腰三角形腰的情况分类讨论，分别利用三线合一、勾股定理等知识即可分别求出结论．
解：（1）∵四边形为长方形，
∴BC=OA=10，AB=OC=4
∴A（10，0），B（10，4），C（0，4）；
（2）∵点是的中点，
∴OD=
①当时，过点P作PE⊥OA于E，PE垂直平分

此时OE=，PE=OC=4
，不符合题意，舍去；
②当OP==5时，点就是以点为圆心，以5为半径画弧与的交点，
在中，，
则的坐标是（3，4）；
③当DP==5时，点就是以点为圆心，以5为半径的弧与的交点，此时点P有两种情况，过作于点，

在中，，
当在的左边时，，
则的坐标是（2，4）；
当在的右侧时，，
则的坐标是（8，4），
故的坐标为（3，4）或（2，4）或（8，4）．
【点拨】此题考查的是矩形的性质、等腰三角形的性质和勾股定理，掌握矩形的性质、等腰三角形的性质和勾股定理是解题关键．
类型七、矩形与折叠
7．如图所示，折叠矩形ABCD的一边AD，使点D落在BC边上的点F处，已知AB=6，BC=10，
（1）求BF的长； （2）求ECF的面积．

【答案】（1）8；（2）．
【分析】（1）根据矩形的性质可得AD=BC，CD=AB，根据折叠的性质可得AF=AD，利用勾股定理即可求出BF的长；
（2）根据折叠性质可得DE=EF，可得EF=，根据线段的和差关系可得CF的长，利用勾股定理可求出CE的长，利用三角形面积公式即可得答案．
解：（1）∵四边形ABCD是矩形，AB=6，BC=10，
∴AD=BC=10，CD=AB=6，
∵折叠矩形ABCD的一边AD，使点D落在BC边上的点F处，
∴AF=AD=10，
∴BF===8．
（2）∵折叠矩形ABCD的一边AD，使点D落在BC边上的点F处，
∴DE=EF，
∴EF=，
∵BC=10，BF=8，
∴=2，
∵EF2=CF2+CE2，
∴，
解得：，
∴S△ECF===．
【点拨】本题考查矩形的性质及折叠性质，矩形的对边相等，四个角都是直角；图形折叠前后，对应边相等，对应角相等；正确找出对应边和对应角是解题关键．
举一反三：
【变式】如图，在长方形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E是BC边上一点，连接AE，将∠B沿直线AE折叠，使点B落在点处．
（1）如图1，当点E与点C重合时，与AD交于点F，求证：FA＝FC；
（2）如图2，当点E不与点C重合，且点在对角线AC上时，求CE的长．

【答案】（1）见解析；（2）CE=．
【分析】（1）根据平行线的性质及折叠性质证明∠FAC=∠FCA即可．
（2）由题意可得，根据勾股定理求出AC=5，进而求出B'C=2，设CE= x．然后在Rt△中，根据勾股定理EC2=2+2列方程求解即可；
解：（1）如图1，

∵四边形ABCD是矩形，
∴ADBC，
∴∠FAC=∠ACB，
∵∠ACB=∠ACF，
∴∠FAC=∠FCA，
∴FA=FC．
（2）∵，如图2， 设CE= x，


∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=90°，
∴AC2=AB2+BC2= 32+42=25，
∴AC=5，
由折叠可知：，，，
∴=5-3=2，
在Rt△中，EC2=2+2
∴x2=（4-x）2+22，
∴x=，
∴CE=．
【点拨】本题属于矩形折叠问题，考查了矩形的性质，勾股定理，直角三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
类型八、直角三角形斜边上的中线
8．如图，在中，BD，CE分别是AC，AB边上的高，F是BC的中点．
（1）求证：是等腰三角形； （2）若，，求BC的长．

【答案】（1）见解析；（2）4
【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半和等腰三角形的判定解答即可；
（2）根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理证得，，进而证得=60°，则△DEF是等边三角形，根据等边三角形的性质求得即可求解．
解：（1）证明：∵BD，CE分别是AB、AC边上的高，
∴，
∵点F是BC中点，
∴，，
∴，
∴是等腰三角形；
（2）解：∵，
∴，
∴，
同理，
∵，，
∴，
∴


又是等腰三角形，
∴是等边三角形．
∴，
∴．

【点拨】本题考查直角三角形斜边上的中线性质、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、三角形的内角和定理等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．
举一反三：
【变式】如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，点E是边BC延长线上一点，连接AE、DE，过点C作CF⊥DE于点F，且DF＝EF．
（1）求证：AD＝CE．
（2）若CD＝5，AC＝6，求△AEB的面积．

【答案】（1）见解析；（2）39
【分析】（1）首先根据CF⊥DE，DF＝EF得出CF为DE的中垂线，然后根据垂直平分线的性质得到CD＝CE，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到CD＝AD，即可证明AD＝CE；
（2）由（1）得CD＝CE=AB=5，由勾股定理求出BC，然后结合三角形的面积公式进行计算．
解：（1）证明：∵DF＝EF
∴点F为DE的中点
又∵CF⊥DE
∴CF为DE的中垂线
∴CD＝CE
又∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
CD是斜边AB上的中线
∴CD＝=AD
∴AD＝CE
（2）解：由（1）得CD＝CE==5
∴AB=10
∴在Rt△ABC中，BC==8
∴EB=EC+BC=13
∴ ．
【点拨】此题考查了垂直平分线的判定和性质，直角三角形性质，三角形面积公式等知识，解题的关键是熟练掌握垂直平分线的判定和性质，直角三角形性质，三角形面积公式．
类型九、矩形判定定理的理解
9．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是边BC的中点，连接AD，E是边CA延长线上一点，射线AF平分∠BAE．
（1）过点B作AF的垂线，垂足为G（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）所作的图中，求证：四边形BDAG是矩形．

【分析】
（1）利用基本作图作BG⊥AF于G；
（2）先利用等腰三角形的性质得到AD⊥BC，∠ABC＝∠ACB，再证明∠EAF＝∠ACB得到AF∥BC，所以AD⊥AF，然后利用BG⊥AF可判断四边形ADBG为矩形．
（1）解：如图，BG为所作；

（2）证明：∵AB＝AC，D是边BC的中点，
∴AD⊥BC，∠ABC＝∠ACB，
∵射线AF平分∠BAE，
∴∠EAF＝∠BAF，
∵∠EAB＝∠ABC＋∠ACB，
即∠EAF＋∠BAF＝∠ABC＋∠ACB，
∴∠EAF＝∠ACB，
∴AF∥BC，
∴AD⊥AF，
∴∠ADB＝∠DAG＝90°，
∵BG⊥AF，
∴∠BGA＝90°，
∴四边形ADBG为矩形．
【点拨】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了等腰三角形的性质．
举一反三：
【变式】如图,中,对角线､相交于点,若､是线段上两动点,同时分别从､两点都以1cm/s的速度向､运动．
（1）求证:不论、在任何位置,四边形始终是平行四边形;
（2）若cm,cm,当运动时间为何值时,四边形是矩形?

【答案】（1）见详解,（2）当运动时间或时,四边形是矩形．
【分析】
（1）由平行四边形ABCD的对角线互相平分得到AO=CO,BO=DO;由点E、F同时运动且运动相等可以得到AE=CF,则EO=FO,利用对角线互相平分的四边形是平行四边形即可求证,
（2）根据矩形的对角线相等,由此可以得到EF=BD,根据E､F两点的运动路线,可以分两种情况:点E､F未过点O时,有OE= OB,即AO-AE= BO:点E､F过点O时,有OE= OB时,即AE-AO=OE,即可求t的值．
解：（1）设运动时间为t,由题意得:AE=CF=t,
∵四边形ABCD是平行四边形,∴AO=CO,BO=DO,
∴EO=FO,
∴四边形DEBF是平行四边形,
即不论E、F在AC任何位置,四边形DEBF始终是平行四边形．
（2）
图1 图2
由题意可知: ,
,
又∵四边形DEBF是矩形,∴BD=EF,
∴如图1,当OE= OB时,即AO-AE= BO时,有8-t=6,此时t=2s,
如图2,当OE= OB时,即AE-AO=OE,有t-8=6,此时t =14s．
∴当t= 2s或14s时,四边形DEBF是矩形．
【点拨】本题考查了平行四边形的判定与性质以及矩形的判定,熟练掌握平行四边形的判定与性质以及矩形的判定是解题的关键,本题还运用到了分类思想．
类型十、添加一个条件构成矩形
10．如图，，且，是的中点．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）连接、，直接写出添加一个什么条件，使四边形是矩形？（不用说明理由）

【答案】（1）见解析；（2）
【分析】
（1）证出DB＝EC，即可用一组对边平行且相等进行证明；
（2）先证四边形DBEA是平行四边形，再添加条件使对角线相等即可．
【详解】
（1）证明：∵E是AC中点，
∴AC＝2EC．
∵AC＝2DB，
∴DB＝EC．
又∵DB∥EC，
∴四边形DBCE是平行四边形．
（2）解：添加AB＝BC，理由如下：
连接AD、BE，如图，

由（1）可得DB∥AE，DB＝AE，
∴四边形DBEA是平行四边形．
∵BC＝DE，AB＝BC，
∴AB＝DE．
∴四边形DBEA是矩形．
【点拨】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质等知识；熟练掌握矩形的判定和平行四边形的判定是解题的关键．
举一反三：
【变式】如图，在中，点E是AD的中点，连接BE，BE、CD的延长线相交于点F，连接AF、BD．
（1）求证：四边形ABDF是平行四边形；
（2）当与满足条件 时，四边形ABDF是矩形．

【答案】（1）见解析；（2）∠BED=2∠C
【分析】
（1）要证明四边形ABDF是平行四边形，只要证明AB=DF即可，然后根据题目中的条件，利用平行四边形的性质和全等三角形的判定方法可以得到△BEA≌△FED，即可得到AB=DF；
（2）先写出∠C与∠BED之间的关系，然后根据矩形的判定方法和平行四边形的性质，得到∠BAF=90°，再结合（1）中的结论，即可得到四边形ABDF是矩形．
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BA∥CD，
∴∠BAE=∠FDE，
∵点E是AD的中点，
∴AE=DE，
在△BEA和△FED中，
，
∴△BEA≌△FED（ASA），
∴AB=DF，
又∵AB∥DF，
∴四边形ABDF是平行四边形；
（2）∠BED=2∠C时，四边形ABDF是矩形，
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BAE=∠C，
∵∠BED=2∠C，
∴∠BED=2∠BAE，
∵∠BED=∠BAE+∠ABE，
∴∠BAE=∠ABE，
∴EB=EA，
由（1）知四边形ABDF是平行四边形，
∴BE=EF，
∴EA=EF，
∴∠EAF=∠EFA，
∵∠BAE+∠ABE+∠EAF+∠EFA=180°，
∴∠BAE+∠EAF=90°，
∴四边形ABDF是矩形．
【点拨】本题考查矩形的判定、平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确平行四边形的判定方法和矩形的判定方法，利用数形结合的思想解答．
类型十一、证明四边形是矩形
11．如图，将▱ABCD的边AB延长到点E，使BE＝AB，连接DE，交边BC于点F．
（1）求证：△BEF≌△CDF．
（2）连接BD，CE，若∠BFD＝2∠A，求证四边形BECD是矩形．

【分析】
（1）根据平行四边形的性质可得ABCD且AB=CD，进而证明∠BEF=∠FDC,∠FBE=∠FCD, ASA证明△BEF≌△CDF.
（2）根据等边对等角证明FD=FC，进而证明，根据对角线相等的平行四边形是矩形即可证明
证明：(1)∵四边形ABCD为平行四边形,
∴ABCD且AB=CD.
∵BE=AB,
∴BECD且BE=CD.
∴∠BEF=∠FDC,∠FBE=∠FCD,
∴△BEF≌△CDF.
(2)∵BECD且BE=CD.
∴四边形BECD为平行四边形,
∴DF=DE,CF=BC,
∵四边形ABCD为平行四边形,
∴∠FCD=∠A,
∵∠BFD=∠FCD+∠FDC,∠BFD=2∠A,
∴∠FDC=∠FCD,
∴FD=FC.
又DF=DE,CF=BC,
∴BC=DE,
∴▱BECD是矩形.
【点拨】本题考查了平行四边形的性质与判定，矩形的判定，三角形全等的性质与判定，掌握平行四边形的性质与判定是解题的关键．
举一反三：
【变式】如图，将□ABCD的边DC延长到点E，使CE=DC，连接AE，交BC于点F，连接AC、BE．
（1）求证：四边形ABEC是平行四边形；
（2）若∠AFC=2∠ADC，求证：四边形ABEC是矩形．

【分析】
（1）根据平行四边形的性质得到，AB=CD，然后根据CE=DC，得到AB=EC，，利用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”判断即可；
（2）由（1）得的结论得四边形ABEC是平行四边形，再通过角的关系得出FA=FE=FB=FC，AE=BC，可得结论．
证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，AB=CD，
∵CE=DC，
∴AB=EC，，
∴四边形ABEC是平行四边形；
（2）∵由（1）知，四边形ABEC是平行四边形，
∴FA=FE，FB=FC．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC=∠D．
又∵∠AFC=2∠ADC，
∴∠AFC=2∠ABC．
∵∠AFC=∠ABC+∠BAF，
∴∠ABC=∠BAF，
∴FA=FB，
∴FA=FE=FB=FC，
∴AE=BC，
∴四边形ABEC是矩形．
【点拨】本题考查的是平行四边形的判定与性质及矩形的判定，关键是先由平行四边形的性质证三角形全等，然后推出平行四边形，再通过角的关系证矩形．
类型十二、根据矩形的性质和判定求角度
12．如图，在四边形中，对角线，相交于点，，，且．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，水的度数．

【答案】（1）见解析；（2）36°
【分析】
（1）根据平行四边形的判定定理得到四边形ABCD是平行四边形，根据三角形的外角的性质得到∠AOB＝∠DAO＋∠ADO＝2∠OAD，求得∠DAO＝∠ADO，推出AC＝BD，于是得到四边形ABCD是矩形；
（2）根据矩形的性质得到AB∥CD，根据平行线的性质得到∠ABO＝∠CDO，根据三角形的内角得到∠ABO＝54°，于是得到结论．
（1）证明：，，
四边形是平行四边形，
， ，
，
，
，
是矩形；
（2）∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠ABO＝∠CDO，
∵∠AOB：∠ODC＝4：3，
∴∠AOB：∠ABO＝4：3，
∴∠BAO：∠AOB：∠ABO＝3：4：3，
∴∠ABO＝54°，
∵∠BAD＝90°，
∴∠ADB＝90°−54°＝36°．
【点拨】本题考查了矩形的判定和性质，三角形的内角和，熟练掌握矩形的判定和性质是解题的关键．
举一反三：
【变式】如图，已知在△OAB中AO＝BO，分别延长AO，BO到点C、D，使得OC＝AO，OD＝BO，连接AD，DC，CB．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）以AO，BO为一组邻边作平行四边形AOBE，连接CE．若CE⊥AE，求∠AOB的度数．

【答案】（1）见解析；（2）120°．
【分析】
（1）先说明四边形ABCD是平行四边形，可得AC＝2AO、BD＝2BO，进而得到AC=BD，即可说明四边形ABC D是矩形；
（2）如图，连接OE与BD交于F，由直角三角形斜边中线的性质可得EO=AO，即△AEO是等边三角形，再根据等边三角形的性质和平行线的性质即可求出答案．
证明：（1）∵OC＝AO，OD＝BO
∴四边形ABCD是平行四边形
∴AC＝2AO，BD＝2BO
又∵AO＝BO
∴AC＝BD
∴四边形ABCD是矩形；
（2）如图：连接OE与BD交于F
∵四边形AOBE是平行四边形
∴AE＝BO
又∵AO＝BO
∴AO＝AE
∵CE⊥AE
∴∠AEC＝90°
∵OC＝OA
∴OE＝AC＝AO
∴OE＝AO＝AE
∴△AOE是等边三角形，
∴∠OAE＝60°
∵∠OAE＋∠AOB＝180°，
∴∠AOB＝120°．

【点拨】本题主要考查了矩形的判定和性质、平行四边形的性质、等边三角形的判定和性质、直角三角形的性质等知识点，灵活应用所学知识并正确添加辅助线成为解答本题的关键．
类型十三、根据矩形的性质和判定求线段
13．如图，四边形ABCD中，，，点E是AD的中点，连接BE，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，且点G在四边形ABCD内部，延长BG交DC于点F，连接EF．

（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）求证：；
（3）若点，，求DF的长．
【答案】
（1）证明见解析；
（2）证明见解析；
（3）
【分析】
（1）利用平行线的性质可得∠C=90°，再根据三个角是直角的四边形是矩形即可判定；
（2）根据折叠的性质和中点的定义得出EG=ED，再用HL定理证明Rt△EGF≌Rt△EDF即可；
（3）利用DF分别表示BF和FC，再在Rt△BCF中利用勾股定理求解即可．
（1）证明：∵，
∴∠D+∠C=180°，
∵，
∴，
∴四边形ABCD为矩形；
（2）证明：∵将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，
∴△ABE≌△GBE，
∴∠BGE=∠A，AE=GE，
∵∠A=∠D=90°，
∴∠EGF=∠D=90°，
∵点E是AD的中点，
∴EA=ED，
∴EG=ED，
在Rt△EGF和Rt△EDF中，
，
∴Rt△EGF≌Rt△EDF（HL）；
∴；
（3）
解：∵四边形ABCD为矩形，△ABE≌△GBE，
∴∠C=90°，BG=CD=AB=6，
∵；
∴，，
∴在Rt△BCF中，根据勾股定理，
，
即，
解得．
即．
【点拨】本题考查矩形的性质和判定，全等三角形的判定定理，折叠的性质，勾股定理等．（1）掌握矩形的判定定理是解题关键；（2）能结合重点和折叠的性质得出EG=ED是解题关键；（3）中能利用DF正确表示Rt△BCF中，BF和CF的长度是解题关键．
举一反三：
【变式】在平面直角坐标系中，过A(0，4)的直线a垂直于y轴，点M(9，4)为直线a上一点，若点P从点M出发，以每秒2cm的速度沿直线a向左移动，点Q从原点同时出发，以每秒1cm的速度沿x轴向右移动，
（1）几秒后PQ平行于y轴?
（2）在点P、Q运动的过程中，若线段OQ=2AP，求点P的坐标．

【答案】（1）3秒后平行于轴；（2）或．
【分析】
（1）设秒后平行于轴，先求出的长，再根据矩形的判定与性质可得，由此建立方程，解方程即可得；
（2）分①点在点右侧，②点在点左侧两种情况，分别根据建立方程，解方程即可得．
解：（1），
，
设秒后平行于轴，
，
垂直于轴，垂直于轴，平行于轴，
四边形是矩形，
，即，
解得，
即3秒后平行于轴；
（2）由题意得：经过秒后，，
垂直于轴，点在直线上，且点的坐标为，
点的纵坐标为4，
①当点在点右侧时，，
由得：，
解得，
，
此时点的坐标为；
②当点在点左侧时，，
由得：，
解得，
，
此时点的坐标为；
综上，点的坐标为或．
【点拨】本题考查了坐标与图形、矩形的判定与性质等知识点，较难的是题（2），正确分两种情况讨论是解题关键．
类型十四、根据矩形的性质和判定求面积
14．如图，已知平行四边形的对角线、交于点O，是等边三角形，．
（1）求证：平行四边形是矩形；
（2）求平行四边形的面积．

【答案】（1）见解析；（2）
【分析】
（1）根据等边三角形及平行四边形的性质可得OA=OB=OC=OD，从而得AC=BD，即可得到四边形ABCD是矩形；
（2）由（1）可得AC=8cm，由勾股定理可求得BC的长，由矩形的面积公式即可计算出矩形的面积．
（1）证明：∵是等边三角形，
∴OA=OB=4cm，∠OAB=∠OBA=60゜
∵四边形是平行四边形
∴OA=OC=4cm，OB=OD=4cm
∴OA=OB=OC=OD
即AC=BD
∴四边形ABCD是矩形
（2）∵AC=2OA=8cm
∵四边形ABCD是矩形
∴∠B=90゜
∴由勾股定理得：
∴四边形ABCD的面积=
【点拨】本题考查了矩形的判定及性质，勾股定理，等边三角形的性质，平行四边形的性质等知识，等边三角形及平行四边形的性质是关键．
举一反三：
【变式】如图，□ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△ABO是等边三角形，，求□ABCD的面积．

【答案】16．
【分析】根据等边三角形的性质以及平行四边形的性质求得，进而证明四边形是矩形，由勾股定理求得，再根据矩形的面积计算公式求解即可
解：∵△ABO是等边三角形，
∴OA＝OB＝AB＝4，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∴OA＝OC＝OB＝OD，
∴AC＝BD＝8，
∴四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，
由勾股定理得：BC＝＝＝4，
∴矩形ABCD的面积＝4×8＝16．
【点拨】本题考查了等边三角形的性质，平行四边形的性质，矩形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握以上性质定理是解题的关键．