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2021年高考数学一轮复习夯基练习:等比数列及其前n项和(含答案)
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夯基练习 等比数列及其前 n 项和一 、选择题1.等比数列{an}中,a2+a4=20,a3+a5=40,则a6=( )A.16 B.32 C.64 D.1282.已知方程(x2-mx+2)(x2-nx+2)=0的四个根组成以为首项的等比数列,则等于( )A. B.或 C. D.以上都不对 3.设{an}是由正数组成的等比数列,Sn为其前n项和,已知a2a4=1,S3=7,则S5=( )A. B. C. D. 4.在等比数列{an}中,a1=1,a3=2,则a7=( )A.-8 B.8 C.8或-8 D.16或-16 5.已知数列{an}满足3an+1+an=0,a2=-,则{an}的前10项和等于( )A.-6(1-3-10) B.(1-3-10) C.3(1-3-10) D.3(1+3-10)6.已知等比数列{an}的前n项和Sn=a·3n-1+b,则=( )A.-3 B.-1 C.1 D.3 7.设Sn为等比数列{an}的前n项和,8a2+a5=0,则=( ).A.11 B.5 C.-8 D.-118.设Sn是等比数列{an}的前n项和,若=3,则=( )A.2 B. C. D.1或2 9.等差数列{an}的公差是2,若a2,a4,a8成等比数列,则{an}的前n项和Sn=( )A.n(n+1) B.n(n-1) C. D. 10.已知数列{an}为等比数列,Sn是它的前n项和,若a2·a3=2a1,且a4与2a7的等差中项为,则S5=( )A.35 B.33 C.31 D.29 11.已知数列{an}满足log3an+1=log3an+1(n∈N*),且a2+a4+a6=9,则log(a5+a7+a9)的值是( )A.- B.-5 C.5 D. 12.已知等比数列{an}的前n项积为Tn,若a1=-24,a4=-,则当Tn取得最大值时,n的值为( )A.2 B.3 C.4 D.6 二 、填空题13.首项为3的等比数列的第n项是48,第2n-3项 是192,则n=________. 14.在等比数列{an}中,若a1+a2+a3+a4+a5=,a3=,= . 15.已知等比数列{an}为递增数列,且a=a10,2(an+an+2)=5an+1,则数列{an}的通项公式an=________. 16.已知等比数列{an}中,各项都是正数,且a1,a3,2a2成等差数列,则等于________. 三 、解答题17.设{an}是由正数组成的等比数列,Sn是其前n项和,证明:log0.5Sn+log0.5Sn+2>2log0.5Sn+1. 18.在等差数列{an}中,a4=10,且a3,a6,a10成等比数列,求数列{an}前20项的和S20. 19. (2017全国卷1∙文)记Sn为等比数列的前n项和,已知S2=2,S3=-6.(1)求的通项公式;(2)求Sn,并判断Sn+1,Sn,Sn+2是否成等差数列。 20.设数列{an}的各项均为正数,且a2=4a1,an+1=a+2an(n∈N*).(1)证明:数列{log3(1+an)}为等比数列;(2)设数列{log3(an+1)}的前n项和为Tn,求使Tn>520成立时n的最小值.
参考答案1.C.2.答案为:A;解析:不妨设是x2-mx+2=0的根,则其另一根为4,所以m=4+=,对方程x2-nx+2=0,设其根为x1,x2(x1<x2),则x1x2=2,所以等比数列为,x1,x2,4,所以q3==8,所以q=2,所以x1=1,x2=2,所以n=x1+x2=1+2=3,所以==. 3.答案为:B;解析:由a2a4=1⇒a1=,又S3=a1(1+q+q2)=7,联立得:=0,∴q=,a1=4,S5==. 4.答案为:B; 5.答案为:C;6.答案为:A;解析:∵等比数列{an}的前n项和Sn=a·3n-1+b,∴a1=S1=a+b,a2=S2-S1=3a+b-a-b=2a,a3=S3-S2=9a+b-3a-b=6a,∵等比数列{an}中,a=a1a3,∴(2a)2=(a+b)×6a,解得=-3.故选A. 7.答案为:D;8.答案为:B;解析:设S2=k,则S4=3k,由数列{an}为等比数列(易知数列{an}的公比q≠-1),得S2,S4-S2,S6-S4为等比数列,又S2=k,S4-S2=2k,∴S6-S4=4k,∴S6=7k,∴==,故选B. 9.答案为:A; 10.答案为:C;解析:设数列{an}的公比为q,∵a2·a3=a·q3=a1·a4=2a1,∴a4=2.又∵a4+2a7=a4+2a4q3=2+4q3=2×,∴q=.∴a1==16.S5==31. 11.答案为:B;解析:由log3an+1=log3an+1(n∈N*),得log3an+1-log3an=1且an>0,即log3=1,解得=3,所以数列{an}是公比为3的等比数列.因为a5+a7+a9=(a2+a4+a6)q3,所以a5+a7+a9=9×33=35.所以log(a5+a7+a9)=log35=-log335=-5. 12.答案为:C;设等比数列{an}的公比为q,则a4=-24q3=-,所以q3=,q=,易知此等比数列各项均为负数,则当n为奇数时,Tn为负数,当n为偶数时,Tn为正数,所以Tn取得最大值时,n为偶数,排除B,而T2=(-24)2×=24×8=192,T4=(-24)4×6=84×=>192,T6=(-24)6×15=86×9==×<,所以T4最大.故选C. 二 、填空题13.答案为:5;解析:设公比为q,则⇒⇒q2=4,得q=±2.由(±2)n-1=16,得n=5. 14.答案为:31; 15.答案为:2n解析:因为{an}单调递增,所以q>0,又a=a10>0,所以an>0,q>1,由条件得2=5,即2=5,所以q=2或q=(舍),由a=a10得(a1q4)2=a1q9,所以a1=q=2,故an=2n. 16.答案为:3-2;解析:设等比数列{an}的公比为q,由于a1,a3,2a2成等差数列,则2=a1+2a2,即a3=a1+2a2,所以a1q2=a1+2a1q.由于a1≠0,所以q2=1+2q,解得q=1±.又等比数列{an}中各项都是正数,所以q>0,所以q=1+.所以====3-2. 三 、解答题17.证明:设{an}的公比为q,由已知得a1>0,q>0.∵Sn+1=a1+qSn,Sn+2=a1+qSn+1,∴SnSn+2-S=Sn(a1+qSn+1)-(a1+qSn)Sn+1=Sna1+qSnSn+1-a1Sn+1-qSnSn+1=a1(Sn-Sn+1)=-a1an+1<0,∴Sn·Sn+2<S.根据对数函数的单调性可以得到log0.5(SnSn+2)>log0.5S,即log0.5Sn+log0.5Sn+2>2log0.5Sn+1. 18.解:设数列{an}的公差为d,则a3=a4-d=10-d,a6=a4+2d=10+2d,a10=a4+6d=10+6d,由a3,a6,a10成等比数列,得a3a10=a,即(10-d)(10+6d)=(10+2d)2.整理,得10d2-10d=0.解得d=0或d=1.当d=0时,S20=20a4=200;当d=1时,a1=a4-3d=10-3×1=7,于是S20=20a1+d=20×7+190=330. 19.20.解:(1)证明:由已知,得a2=a+2a1=4a1,则a1(a1-2)=0,因为数列{an}的各项均为正数,所以a1=2.因为an+1+1=(an+1)2>0,所以log3(an+1+1)=2log3(an+1).又log3(a1+1)=log33=1,所以数列{log3(1+an)}是首项为1,公比为2的等比数列.(2)由(1)可知,log3(1+an)=2n-1,所以Tn=1+2+22+…+2n-1=2n-1.由Tn>520,得2n>521(n∈N*),得n≥10.则使Tn>520成立时n的最小值为10.