专训1.10 空间几何（新高考地区专用）（解析版） 试卷

专训1.10    空间几何

1．（2020·江西赣州·高三其他模拟）四面体中，底面，，，则四面体的外接球表面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

如图，在四面体中，底面，，，

可得，补形为长方体，则过一个顶点的三条棱长分别为1，1，，

则长方体的对角线长为，则三棱锥的外接球的半径为1．

其表面积为．故选：B．

2．（2020·广西高三一模）如图，在正方体中，，、分别是、的中点，平面分别与、交于、两点，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，

如下图所示：

则点、、、、、，

设平面的法向量为，，，

由，可得，取，则，，，

，点到平面的距离为，

，点到平面的距离为，

所以，.

、分别为、的中点，则，

平面，平面，平面，

平面，平面平面，.

设点、，

由，可得，则，解得，

所以，点，同理可得点，

，，，

，则，

因此，.故选：D.

3．（2020·湖南师大附中高三月考）如图所示，在中，，.若平面外的点P和线段上的点D满足，，则四面体的体积的最大值为（    ）

A． B． C． D．1

【答案】B

【解析】因为,

由余弦定理，可得

所以,

设,则,到平面的距离为,则

则

则

所以当时, 三棱锥的体积的最大值为

故选: B

4．（2020·甘肃省民乐县第一中学高三其他模拟）在四棱锥中，，，，，，，则三棱锥外接球的表面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】如图，取的两个三等分点、，连接、、，

设，连接、.

则，，又，，

所以，四边形为平行四边形，，为的中点，

所以，，

由勾股定理可得，则，

在中，，，

，，又，则为等边三角形，

，则是的外接圆的圆心.

因为，为的中点，，

，，，，，

，又，，平面，

且.

设为三棱锥外接球的球心，连接、、，过作，垂足为，

则外接球的半径满足，

设，则，解得，

从而，故三棱锥外接球的表面积为.

故选：D.

5．（2020·陕西安康·高三三模）已知，是两个不重合的平面，直线，直线，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】如图，直线，直线，，

此时与异面，故充分性不成立，

如图，直线，直线，若，则，

因为，过做一平面，且，则，

所以，所以，故必要性成立，

∴“”是“”的必要不充分条件.

故选：B.

6．（2020·广西高三其他模拟）设，表示平面，l表示直线，A，B，C表示三个不同的点，给出下列命题：①若，，，，则；②若，，，，则；③若，，则；④若，，则与重合.其中，正确的有（    ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】B

【解析】若，，，，根据公里1，得，①正确；

若，，，，则直线既在平面内，又在平面内，

所以，②正确；

若，则直线可能与平面相交于点A，所以时， ，③不正确；

若，，当共线时，与可能不重合，④不正确；

故选：B.

7．（2020·四川高三三模）如图该几何体由半圆柱体与直三棱柱构成，半圆柱体底面直径，，，D为半圆弧的中点，若异面直线BD和所成角的正切值为，则该几何体的体积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】连接，

因为，由直三棱柱性质，知，，

又是半圆弧的中点，∴是正方形，所以，

因为，所以是异面直线BD和AA1所成角，

是棱柱的母线，则，

∴，∴，

半圆柱的体积为，

直三棱柱的体积为，

∴该几何体的体积为．

故选：A．

8．（2020·安徽淮北一中高三其他模拟）鲁班锁运用了中国古代建筑中首创的榫卯结构，相传由春秋时代各国工匠鲁班所作，是由六根内部有槽的长方形木条，按横竖立三方向各两根凹凸相对咬合一起，形成的一个内部卯榫的结构体.鲁班锁的种类各式各样，千奇百怪.其中以最常见的六根和九根的鲁班锁最为著名.下图1是经典的六根鲁班锁及六个构件的图片，下图2是其中的一个构件的三视图（图中单位：mm），则此构件的表面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由三视图可知，该构件是长为100，宽为20，高为20的长方体的上面的中间部分去掉一个长为40，宽为20，高为10的小长方体的一个几何体，如下图所示，

其表面积为：.

故选：B.

9．（2020·山东济宁·高三其他模拟）如图，在四棱锥中，底面为菱形，且，侧面为正三角形，且平面平面，则下列说法正确的是（    ）

A．在棱上存在点，使平面 B．异面直线与所成的角为

C．二面角的大小为 D．平面

【答案】ABC

【解析】如图，取的中点，连接，∵侧面为正三角形，，又底面是菱形，，是等边三角形，，又，平面，

平面，，故A，B正确；

对于C，∵平面平面，，平面，,，是二面角的平面角，

设，则，，

在中，，即，故二面角的大小为，故C正确；

对于D，假设平面，则，又依题意平面平面，，则平面，故，而BD，BM相交，且在平面ABCD内，故平面，与平面矛盾，因此与平面不垂直，故错误.

故选：ABC.

10．（2020·山东省成武第一中学高三二模），是两个平面，，是两条直线，有下列四个命题中其中正确的命题有（    ）

A．如果，，，那么.

B．如果，，那么.

C．如果，，那么.

D．如果，，那么与所成的角和与所成的角相等.

【答案】BCD

【解析】对于命题A，可运用长方体举反例证明其错误：

如图，不妨设为直线，为直线，所在的平面为.

所在的平面为，显然这些直线和平面满足题目条件，但不成立.

命题B正确，证明如下：如图：设过直线的平面与平面相交于直线，则，

由，有，从而可知结论正确.

由平面与平面平行的定义知命题C正确.

由平行的传递性及线面角的定义知命题D正确.

故选：BCD.

11．（2020·东营市第一中学高三月考）如图，在四棱锥中，底面，四边形是直角梯形，，F是的中点，E是上的一点，则下列说法正确的是（    ）

A．若，则平面

B．若，则四棱锥的体积是三棱锥体积的6倍

C．三棱锥中有且只有三个面是直角三角形

D．平面平面

【答案】AD

【解析】对于选项A,因为,所以是的中点,

因为F是的中点,所以,

因为平面,平面,所以平面,故A正确；

对于选项B,因为,所以,

因为,

所以梯形的面积为,,所以,

所以,故B错误；

对于选项C,因为底面,所以,,所以,为直角三角形,

又,所以,则为直角三角形,

所以,,

则,所以是直角三角形,

故三棱锥的四个面都是直角三角形,故C错误；

对于选项D,因为底面,所以,

在中,,

在直角梯形中,,

所以,则,

因为,所以平面,

所以平面平面,故D正确,

故选:AD

12．（2020·海南海口·高三其他模拟）（多选题）如图，在直三棱柱中，，，点D，E分别是线段BC，上的动点（不含端点），且．则下列说法正确的是（    ）

A．平面

B．该三棱柱的外接球的表面积为

C．异面直线与所成角的正切值为

D．二面角的余弦值为

【答案】AD

【解析】在直三棱柱中，四边形是矩形，

因为，所以，不在平面内，平面，

所以平面，A项正确；

因为，所以，

因为，所以，所以，

易知是三棱柱外接球的直径，

所以三棱柱外接球的表面积为，所以B项错误；

因为，所以异面直线与所成角为．

在中，，，

所以，所以C项错误；

二面角即二面角，

以A为坐标原点，以，，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图

则，

，，，

设平面的法向量，

则，即，令可得，

设平面的一个法向量为，

则，即，令可得

故二面角的余弦值为，所以D项正确．

故选：AD.

13．（2020·广西南宁三中高三其他模拟）已知四面体四个顶点都在球O的球面上，若平面ABC，，且，，则球O的表面积为______．

【答案】

【解析】由PB⊥平面ABC，AB⊥AC，

可得图中四个直角三角形，

且PC为△PBC，△PAC的公共斜边，

故球心O为PC的中点，

由AC＝1，AB＝PB＝2，

PC＝3，

∴球O的半径为，

其表面积为：9π．

故答案为9π．

14．（2020·广西高三其他模拟）在正四棱柱中，，，点E在侧棱上，且．设三棱锥的体积为，四棱锥的体积为，则的值为_________．

【答案】

【解析】由题意作出直观图，如图，

则，

，

所以.

故答案为：.

15．（2020·全国高三专题练习）《九章算术》是我国古代著名数学经典，其中对勾股定理的论述，比西方早一千多年，其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小；以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深1寸，锯道长1尺，问这块圆柱形木料的直径是多少？长为0.5丈的圆柱形木材部分镶嵌在墙体中，截面图如图所示（阴影部分为镶嵌在墙体内的部分）.已知弦尺，弓形高寸，估算该木材镶嵌墙内部分的体积约为______立方寸.（注：一丈=10尺=100寸，，答案四舍五入，只取整数）

【答案】317

【解析】如图，设圆半径为寸（下面长度单位都是寸），连接，已知，，

在中，，即，解得，

由得，所以，

图中阴影部分面积为扇形（平方寸），

镶嵌在墙体中木材是以阴影部分为底面，以锯刀长为高的柱体，

所以其体积为（立方寸）

故答案为：317．

16．（2020·山东高三其他模拟）我国古代数学名著《九章算术》中记载，斜解立方为“堑堵”，即底面是直角三角形的直三棱柱（直三棱柱为侧棱垂直于底面的三棱柱）.如图，棱柱为一个“堑堵”，底面的三边中的最长边与最短边分别为，，且，，点在棱上，且，则当的面积取最小值时，异面直线与所成的角的余弦值为________.

【答案】

【解析】设直三棱柱的高为，，则，

因为直角三角形，且，则.

所以，

，

由，则,

即，整理得

由棱柱为一个“堑堵”，则侧棱垂直于底面，且底面是直角三角形.

所以平面,又平面，则

又底面是直角三角形，且最长边为，则

又,所以平面

平面,所以,且，

所以平面,平面,所以

当且仅当,即时，取得等号.

由,所以(或其补角)为异面直线与所成的角.

,

所以

故答案为：