黄金卷13-【赢在高考•黄金20卷】备战2021高考数学全真模拟卷（新高考专用）（解析版）

【赢在高考•黄金20卷】备战2021高考数学全真模拟卷（新高考专用）

第十三模拟

注意事项：

本试卷满分150分，考试时间120分钟．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．

一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)

1．（2020·河南高三月考（理））已知复数为纯虚数，则复数的模等于（    ）

A． B． C．1 D．2

【答案】D

【详解】

，因为复数为纯虚数，所以，解得，

，

故选：D.

2．（2020·黑龙江哈尔滨市·哈师大附中高三期中（理））设集合，集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】

∵，，∴.

故选：C.

3．（2020·全国高三专题练习）如果甲是乙的充要条件，丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件，那么（    ）

A．丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件

B．丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件

C．丙是甲的充要条件

D．丙既不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件

【答案】A

【详解】

因为甲是乙的充要条件，所以甲乙，乙甲；

又因为丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，所以丙乙，但乙丙．

综上所述：丙乙，乙甲，所以丙甲，

又因为甲乙，乙丙，所以甲丙，

根据充分条件和必要条件的定义可得丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件，

所以选项A正确，选项BCD都不正确，

故选：A

4．（2020·四川遂宁市·高三零模（文））已知，则的值为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【详解】

因为，所以，

所以，所以，

所以，

故选：C.

5．（2020·广西高三其他模拟（理））在中，，，，则（    ）

A．2 B． C． D．3

【答案】C

【详解】

解：，∴可得.

，，

，，

∴由正弦定理，可得：，解得.

故选：C.

6．（2020·全国高三其他模拟）已知为的外接圆圆心，且，则的值为（    ）

A． B． C． D．2

【答案】C

【详解】

如图，，，

由为的外心，得向量在向量方向上的投影为，向量在向量方向上的投影为，

即，，从而，

即，因而．

故选：C.

7．（2020·北京人大附中高三三模）等比数列中，且，，成等差数列，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．1

【答案】D

【详解】

在等比数列中，设公比，

当时，有，，成等差数列，

所以，即，解得，

所以，所以，

，当且仅当时取等号，

所以当或时，取得最小值1，

故选：D.

8．（2020·浙江镇海区·镇海中学高三其他模拟）若实数a，b满足，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】

由题得，

所以

当且仅当时取等.

令，则，

所以，

所以函数在单调递增，在单调递减.

所以，

所以，所以，

又，

所以.

所以.

故选：A.

二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）

9．（2020·江苏海安市·高三期中）下列四个函数中，以为周期，且在区间上单调递减的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】AC

【详解】

最小正周期为，在区间上单调递减；

最小正周期为，在区间上单调递增；

最小正周期为，在区间上单调递减；

不是周期函数，在区间上单调递减；

故选：AC

10．（2020·福清西山学校高三期中）已知是面积为的等边三角形，且其顶点都在球的球面上．若球的表面积为，则（    ）

A． B．与平面所成的角为

C．到平面的距离为1 D．二面角的大小为

【答案】ABC

【详解】

如图，因为的顶点都在球的球面上，且是等边三角形，

过作平面于点，则点是等边的中心，也是外心，重心

因为是面积为的等边三角形，所以，解得，

延长交于点，则点是的中点，因为，所以，

又因为平面，平面，所以，因为，

所以平面，又因为平面，所以，故选项A正确；

因为球的表面积为，即，所以，即，

因为等边中，，所以，

，在直角三角形中，，所以到平面的距离为1，故选项C正确；

因为平面于点，所以即为与平面所成的角，

在直角三角形中，，，所以，

所以，故选项B正确；

取的中点连接，因为，所以，

因为平面，平面，所以，因为，

所以平面，所以，结合，可得即为二面角的平面角，由，，所以，，所以，所以，故选项D不正确.

故选：ABC

11．（2020·河北桃城区·衡水中学高三月考）如图为某市2020年国庆节7天假期的楼房认购量与成交量的折线图，小明同学根据折线图对这7天的认购量(单位：套)与成交量(单位：套)作出如下判断，则判断错误的为（    ）

A．日成交量的中位数是16

B．日成交量超过日平均成交量的有2天

C．10月7日认购量的增幅大于10月7日成交量的增幅

D．日认购量的方差大于日成交量的方差

【答案】ABC

【详解】

7天假期的楼房认购量为：91、100、105、107、112、223、276；

成交量为：8、13、16、26、32、38、166．

对于A，日成交量的中位数是26，故A错误；

对于B，因为日平均成交量为

，

日成交量超过日平均成交量的只有10月7日1天，故B错误；

对于C，10月7日认购量的增幅为，10月7日成交量的增幅为，即10月7日认购量的增幅小于10月7日成交量的增幅，故C错误；

对于D，因为日认购量的数据分布较分散些，方差大些，故D正确.

故选：ABC

12．（2020·大名县第一中学高二月考）已知圆为圆上的两个动点，且为弦的中点，.当在圆上运动时，始终有为锐角，则实数的可能取值为（    ）

A．-3 B．-2 C．0 D．1

【答案】AD

【详解】

圆的圆心为，半径为.

为的中点，，所以，

设，则，所以点的轨迹方程为.

即在圆心为，半径为的圆上.

，都在直线上，且，

设线段的中点为，则，

以为圆心，半径为的圆与圆外离时，始终有为锐角，

所以，

即，，所以或，

即或.

所以AD选项正确.

故选：AD

三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

13．（2020·四川绵阳市·高二期末（理））某学校甲､乙､丙､丁4位同学住在同-一个小区.已知从学校到小区有､､三条线路的公共汽车，若他们放学后每位同学乘坐其中任何一条线路的公共汽车回家是等可能性的，则这4位同学中恰有2人乘坐线路公共汽车的概率为_______.

【答案】

【详解】

位同学放学后乘坐公共汽车的情况为：(种)；

位同学中恰有人乘坐线路的情况为：(种)；

则位同学中恰有人乘坐A线路的概率为：.

故答案为：

14．（2020·全国高三其他模拟（文））已知圆与双曲线的渐近线相切，则的离心率为______.

【答案】

【详解】

由得，所以圆心，半径，

双曲线的一条渐近线为，

由题意得圆心到渐近线的距离，所以，所以，所以，

故答案为：，

15．（2020·河南高三其他模拟（理））已知函数，若关于的方程有5个不同的实数解，则实数的取值范围是______.

【答案】

【详解】

设，则，

由，解得，

当时，，函数为增函数，当时，，函数为减函数．

当时，函数取得极大值也是最大值为（）．

方程化为．

解得或．

如图画出函数图象：可得的取值范围是．

故答案为：

16．（2020·海南高三一模）粽子古称“角黍”，是中国传统的节庆食品之一，由粽叶包裹糯米等食材蒸制而成.因各地风俗不同，粽子的形状和味道也不同，某地流行的“五角粽子”，其形状可以看成所有棱长均为的正四棱锥，则这个粽子的表面积为______，现在需要在粽子内部放入一颗咸蛋黄，蛋黄的形状近似地看成球，则当这个蛋黄的体积最大时，其半径与正四棱锥的高的比值为______.

【答案】       

【详解】

每个侧面三角形的面积均为，底面正方形的面积为，

所以四棱锥的表面积为；

球的体积要达到最大，则需要球与四棱锥五个面都相切，

正四棱锥的高为，

设球的半径为，

所以四棱锥的体积，

故，

.

故答案为：；

四、解答题(本大题共6小题，共70分)

17．（2020·上海高三一模）设为常数，函数（）

（1）设，求函数的单调递增区间及频率；

（2）若函数为偶函数，求此函数的值域．

【答案】（1）增区间为，频率；（2）．

【详解】

（1）当时，函数，

令，得，

所以此函数的单调递增区间为，

又由函数的的最小正周期为，所以．

（2）由题意，函数定义域，

因为函数为偶函数，所以对于任意的，均有成立，

即，

即对于任意实数均成立，只有，

此时，因为，所以，

故此函数的值域为．

18．（2020·福建厦门市·厦门双十中学高三期中）在①；②；③（）三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并求解．

问题：已知数列中，，__________．

（1）求；

（2）若数列的前项和为，证明：．

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【详解】

（1）选①：

由可得，

即，

又，所以是首项为4，公差为4的等差数列，

所以，所以；

选②：

由，可得，

即，

又，所以是首项为2，公差为2的等差数列，

所以，所以；

选③：

由（）可得：
当时，

，
当时，，符合，
所以当时，；

（2）证明：由（1）得，

所以，

因为，所以，

又因为随着的增大而增大，所以，

综上．

19．（2020·贵州安顺市·高三其他模拟（文））如图所示，在四棱锥中，侧面是边长为2正三角形，且与底面垂直，底面是的菱形.

（1）证明：；

（2）求点到的距离.

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【详解】

（1）如图所示

取中点为，连接，

∵均为正角形，

∴.

∴，又，

∴平面.

又∵平面，

∴.

（2）∵面面，面面，，

∴面，

∴，

∴，

∴，

∴，

设到平面的距离为，则，

∴，

∴到平面的距离为.

20．（2020·全国高三其他模拟）根据海关总署发布的2020年上半年中国外贸进出口数据显示，中国外贸进出口好于预期，6月份出口､进口双双实现正增长，上半年，民营企业进出口逆势增长，一般贸易进出口比重提升.某公司抓住机遇，不断加大科技攻关投入，提升产品质量，据统计该公司，两类产品2020年1~6月份的盈利情况如表：

（1）从统计的这6个月份中任取3个月份，求产品盈利高于产品盈利的月份数的分布列及数学期望；

（2）已知可用线性回归模型拟合两类产品的盈利之和(单位：万元)与月份代码之间的关系，试求关于的线性回归方程，并预测该公司2020年11月份两类产品的盈利之和.

参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，.

【答案】（1）分布列答案见解析，数学期望：；（2）线性回归方程为，预测该公司2020年11月份两类产品的盈利之和为310万元.

【详解】

（1）由统计数据可知，这6个月份中，产品盈利高于产品盈利的月份有，

则的可能取值为，

；；.

故的分布列为

故.

（2）由题意可得：

故，，

所以

，

，

所以，∴.

所以两类产品的盈利之和与月份代码之间的线性回归方程为，

当时，.

故预测该公司2020年11月份两类产品的盈利之和为310万元.

21．（2020·江西高三零模（理））已知，是椭圆的左、右焦点，圆与椭圆有且仅有两个交点，点在椭圆上.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过y正半轴上一点P的直线l与圆O相切，与椭圆C交于点A，B，若，求直线l的方程.

【答案】（1）；（2）

【详解】

（1）圆与椭圆有且仅有两个交点，

，，

则椭圆方程为，将点代入，

解得，则，

所以椭圆的标准方程为；

（2）由题可知直线l的斜率存在，设斜率为k，，

则直线方程为，设，

直线l与圆O相切，，即①，

联立直线与椭圆方程可得，

则，则，

，

，，

，则②，

联立①②解得，即，

所以所求直线方程为.

22．（2020·安徽高三二模（理））已知函数．

（1）讨论函数的单调性；

（2）若函数存在两个极值点，，求证：．

【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析．

【详解】

解：（1）函数定义域为，，

当，即时，，则函数在上单调递减，

当，即时，由，得或，

又，故，从而的解为，

且，，时，，当，时，；

综上，当时，函数在，，上单调递减，在，上单调递增；

当时，函数在上单调递减；

（2）证明：由（1）可知，，且，

，

要证，即证，

不妨设，则，所以；

又由（1）知，，所以，即为，即为，即为，

令，则，

（a）在上单调递增，

，即，

成立，从而得证．