专题10：2020-2021学年高一年级数学上学期期末复习通关秘笈三角函数的定义解析版
展开弧度制与三角函数的概念
一、任意角与弧度制
1、下列命题中正确的是（ ）．
A．第一象限角一定不是负角 B．小于90°的角一定是锐角
C．钝角一定是第二象限角 D．终边和始边都相同的角一定相等
答案： C
解析： 根据角的定义判断各选项．
详解：为第一象限角且为负角，故A错误；，但不是锐角，故B错误；终边与始边均相同的角不一定相等，它们可以相差，故D错误．钝角一定是第二象限角，C正确．
故选：C．
【点睛】
本题考查角的定义，考查象限角、正角、负角等概念，属于基础题．
2、设终边在y轴的负半轴上的角的集合为M，则( )
A． B．
C． D．
答案： C
解析： 利用终边落在坐标轴上角的表示方法即可求解.
【详解】
终边在y轴的负半轴上的角的集合为：
或.
故选：C
【点睛】
本题考查了终边相同角的表示，属于基础题.
3、与的终边相同的角可表示为（ ）
A． B．
C． D．
答案： C
解析： 根据终边相同角的表示方法进行求解即可.
详解：因为，所以与的终边相同的角可表示为.
故选：C
【点睛】
本题考查了终边相同角的表示方法，属于基础题.
4、下列结论中错误的是（ ）
A．若角的终边过点，则
B．若是第二象限角，则为第一或第三象限角
C．若扇形的周长为6，半径为2，则其中心角的大小为1弧度
D．若，则
答案： A
解析： 根据三角函数的定义、象限角的概念、圆心角的弧度制概念、同角三角函数的基本关系，即可得答案；
详解：对A，，则，故A错误；
对B，，，为第一或第三象限角，故B正确；
对C，，故C正确；
对D，，故D正确；
故选：A.
【点睛】
本题考查三角函数的定义、象限角的概念、圆心角的弧度制概念、同角三角函数的基本关系，考查对概念的理解，属于基础题.
5、若扇形圆心角的弧度数为，且扇形弧所对的弦长也是，则这个扇形的面积为（ ）
A． B． C． D．
答案： A
解析： 分析：求出扇形的半径，然后利用扇形的面积公式求解即可.
详解：由题意得扇形的半径为：
又由扇形面积公式得该扇形的面积为：.
故选：A.
点睛：本题是基础题，考查扇形的半径的求法、面积的求法，考查计算能力，注意扇形面积公式的应用.
6、如图是古希腊著名的天才几何学家希波克拉底（公元前470年～公元前410年）用于求月牙形图形面积所构造的几何图形，先以为直径构造半圆，为弧的中点，为线段的中点，再以为直径构造半圆，则由曲线和曲线所围成的图形为月牙形.若，则该月牙形的面积为（ ）
A．4 B． C． D．2
答案： D
解析： 用月牙形的面积减曲线与弦围城的弓形面积即可.
详解：记月牙形的面积为，曲线与弦围城的弓形面积为，则
.
故选：D
【点睛】
本题考查扇形的面积计算公式，是基础题.
7、已知如图．
（1）写出终边落在射线、上的角的集合；
（2）写出终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合．
答案： （1）终边落在射线上的角的集合为，终边落在射线上的角的集合为；
（2）.
试题分析：（1）利用终边相同的角的定义可分别写出终边落在射线、上的角的集合；
（2）利用终边落在射线、上的角的集合可写出终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合.
详解：（1）终边落在射线上的角的集合是，
终边落在射线上的角的集合；
（2）终边落在阴影部分（含边界）的角的集合是.
【点睛】
本题考查角的集合的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意终边相同的角的概念的合理运用．
一、三角函数的概念
1、下列结论中错误的是（ ）
A．若角的终边过点，则
B．若是第二象限角，则为第一或第三象限角
C．若扇形的周长为6，半径为2，则其中心角的大小为1弧度
D．若，则
答案： A
解析： 根据三角函数的定义、象限角的概念、圆心角的弧度制概念、同角三角函数的基本关系，即可得答案；
详解：对A，，则，故A错误；
对B，，，为第一或第三象限角，故B正确；
对C，，故C正确；
对D，，故D正确；
故选：A.
【点睛】
本题考查三角函数的定义、象限角的概念、圆心角的弧度制概念、同角三角函数的基本关系，考查对概念的理解，属于基础题.
2、如果为第三象限角，则点位于哪个象限（ ）
A．第二象限的角 B．第一象限的角
C．第四象限的角 D．第三象限的角
答案： A
解析： 通过角的范围，求出P的横坐标的符号，纵坐标的符号，然后判断P所在象限．
详解：θ是第三象限的角，则cosθ＜0，tanθ＞0，
所以P点在第二象限．
故选A．
【点睛】
本题考查三角函数值的符号的判断，基本知识的考查．
3、已知角终边上一点，则的值等于（ ）
A． B． C． D．
答案： D
解析： 先求出点到原点的距离，然后按照以及的定义求出结果．
详解：为角终边上的一点
，，
由任意角的三角函数的定义知，，
故选：D．
【点睛】
本题考查任意角的三角函数的定义的应用，考查计算能力．
4、在平面直角坐标系中，已知角的终边经过点.
（1）求的值；
（2）设，角的终边与角的终边关于对称，求的值.
答案： （1）当时，，当时，；（2）
试题分析：（1）由三角函数的定义求解即可，注意讨论与；
（2）角的终边经过点，又角的终边与角的终边关于对称，则角的终边经过点，再利用三角函数的定义求解即可.
详解：解：（1）因为，，所以，
当时，；
当时，.
（2）因为角的终边经过点，
由角的终边与角的终边关于对称可得，角的终边经过点，
又，则，
故.
【点睛】
本题考查了三角函数的定义，重点考查了分类讨论的数学思想方法，属基础题.
5、如图，点P从出发，沿单位圆按顺时针方向运动弧长到达Q点，则Q点坐标为（ ）
A． B． C． D．
答案： A
解析： 由题意推出的大小，然后求出点的坐标，得到结果.
详解：点从出发，沿单位圆按顺时针方向运动弧长到达Q点，
所以，
所以，
即Q点坐标为，
故选：A.
【点睛】
该题考查的是有关单位圆上点的坐标的求解问题，涉及到的知识点有弧长公式，注意转动的方向，明确角的大小之后，点的坐标显而易见，属于基础题目.
6、若角的终边在直线上且，又是终边上一点，且，则 ( )
A．2 B．-2 C．4 D．-4
答案： A
解析： 由题意得点在终边上且在第三象限，故，根据可求得，进而可得结果．
详解：∵点在直线上，即在终边上，
∴，
又，
∴点 在第三象限，
∴．
∵，
∴，
∴,
∴，
∴．
故选A．
【点睛】
本题考查三角函数的定义及其应用，考查理解运用能力，解题时根据角的三角函数值与角终边上的点的坐标间的关系求解，属于容易题．
7、在中，若，则是（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形
答案： B
解析： 根据三角形内角的范围及三角函数在各象限的符号，即可求解.
【详解】
,
,
中有且只有一个钝角，
所以为钝角三角形，
故选：B
【点睛】
本题主要考查了三角函数在各象限的符号，属于容易题.
8、已知角的终边上一点的坐标为，则角的最小正值为________.
答案：
解析： 由得，然后可得
详解：∵角的终边上一点坐标为，即，
故点M在四象限，且，则角的最小正值为.
故答案为：
【点睛】
本题考查的是特殊角的三角函数及三角函数的定义，较简单.
9、已知角的终边经过点，且，则实数的值是( )
A． B． C．或 D．2
答案： A
解析： 由，代入数值计算即可.
详解：，
由余弦的定义知，，
化简得，解得或，
又，所以.
故选：A.
【点睛】
本题考查三角函数的定义，本题涉及.
10、已知点在第一象限，则在内的取值范围是（ ）．
A． B．
C． D．
答案： B
解析： 由第一象限点的坐标的符号列出三角函数的不等式，根据三角函数的性质求解，结合，，求出角的取值范围．
详解：解：由已知点在第一象限得：，，即，，
当，可得，．
当，可得或，．
或，．
当时，或．
，
或．
故选：B．
【点睛】
本题的考点是利用三角函数性质求三角函数的不等式，需要根据题意列出三角函数的不等式，再由三角函数的性质求出解集，结合已知的范围再求出交集，属于中档题．
11、方程 在上有解，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
答案： C
解析： 转化，为，令，
计算的值域即得解.
详解：由于，即
令
故
故选：C
【点睛】
本题考查了转化方程有解为三角函数与二次函数复合函数的值域问题，考查了学生转化划归，数学运算的能力，属于中档题.
12、如图，以为始边作角与，它们的终边分别与单位圆相交于点、，已知点的坐标为.
（1）求的值
（2）若，求的值
答案： (1)(2)
试题分析：(1)由题得cos=，sin=，代入已知即得解.(2),所以所以，求出sin和cos的值即得解.
【详解】
（1）由题得cos=，sin=，所以.
(2),所以，
所以所以3sin-4cos=.
【点睛】
本题主要考查三角函数的坐标定义，考查诱导公式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
13、已知点为角终边上一点.
（1）若角是第二象限角，，，求x的值；
（2）若，求的值.
答案： （1）；（2）.
试题分析：（1）根据三角函数的定义可知，依据角范围，然后简单计算即可.
（2）依题意可知，然后根据，简单计算可得结果.
详解：（1）∵，
∴解得（∵是第二象限角，舍去）,.
（2）若，则，
故.
【点睛】
本题考查三角函数的定义，重在于计算，掌握，属基础题.
三、同角三角函数
1、是第四象限角， ，则等于 ( )
A． B．
C． D．
答案： B
解析： ∵α是第四象限角，∴sinα<0.
∵，
∴sinα＝，
故选B.
2、已知都是锐角，且，，则（ ）
A． B．
C．或 D．或
答案： B
解析： 先求，，然后求的值，根据为锐角求出的值．
【详解】
因为都是锐角，且，
所以
又
故选：B.
【点睛】
本题考查任意角的三角函数的定义，考查计算能力，是基础题．
3、记，那么（ ）
A． B．
C． D．-
答案： A
解析：
，所以
，故选A.
考点：弦切互化.
4、设，，，则的大小关系为( )．
A． B．
C． D．
答案： B
解析：
因为，所以，故，选B
5、已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
答案： A
解析： 由已知条件化弦为切即可得到结果．
详解：
；
故选：A.
【点睛】
本题考查三角函数的化简求值，化弦为切是关键，是中档题．
6、若tan α＝3，则________.
答案：
解析：
由题意知，则
.
点睛：本题考查同角三角函数基本关系式，已知值，求关于的齐次式或分式的一般原则是“分子分母同除以”、“整式变分式（分母为）”、“常数变式子，即利用”.
7、已知，则__________.
答案：
解析： 根据商数关系，求解值，再根据平方关系，化简三角函数值，
详解：由题意
解得
则
故答案为：
【点睛】
本题考查齐次式运算，属于基础题.
8、已知为锐角，则的最小值为______.
答案： 16
解析： 要求最小值，可考虑用不等式或函数单调性，为锐角，则，且，故本题用不等式法求最值.
【详解】
因为为锐角，所以，且，
所以
，
当且仅当时“=”成立，
所以的最小值为16.
故答案为：16
【点睛】
本题将三角函数与不等式结合，同时考查学生的推理和计算能力，属于中档题.
9、若απ，化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
答案： A
解析： 转化，利用同角三角函数关系，即得解.
详解：由于απ，
故选：A
【点睛】
本题考查了同角三角函数关系在三角代数式化简中的应用，考查了学生转化划归，数学运算的能力，属于中档题.
10、已知关于x的方程．
（1）当时，求方程的解；
（2）要使此方程有解，试确定m的取值范围．
答案： ；（2）
解析：
（1）由，则可化为：，将代入解一元二次方程可得解；
（2）分离与，用值域法可得解，即，再用配方法求的值域即可得解．
详解：解：（1），
所以，
当时，方程为：，
所以或，
又，
所以，
所以，
故方程的解集为；
（2）由（1）得，有解，
即有解，
又，
又，
所以，
即，
即.
【点睛】
本题考查了三角函数的运算，二次函数的值域及方程有解问题，属中档题.
11、若对任意实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是____________.
答案：
解析： 根据题意可知，设，，当时，取最小值，即.进而得出结论.
详解：解：由题意可知.
设，.令
当时，取最小值，即.
因对任意实数，不等式恒成立，即恒成立，
则，则，即
故答案为：.
【点睛】
本题考查不等式恒成立问题，考查三角函数化简，结合换元法解决最值，属于中档题.
12、已知，且是方程的两实根，求和的值．
答案： ；．
试题分析：解方程得两个根为和，再结合求得，再结合同角三角函数关系代入求解即可.
详解：解：解方程得两根分别为和．
∵，且，
∴，则，
∴
∴．
．
【点睛】
本题考查同角三角函数关系，考查运算能力，是基础题.
