精品解析：云南省陆良县第八中学2019-2020学年高二上学期期末数学试题（解析版）

陆良八中2019-2020学年上学期高二期末试卷

数 学

一.选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合，，则（   ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

求得集合，根据集合的交集运算，即可求解.

详解】由题意，集合，又由，

所以，故选C.

【点睛】本题主要考查了集合的交集运算，其中解答中正确求解集合A，再利用集合的交集运算求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力.

2. 函数的定义域是(  )

A. （-1，2] B. [-1,2] C. （-1 ，2） D. [-1,2)

【答案】A

【解析】

【分析】

根据二次根式的性质求出函数的定义域即可．

【详解】由题意得：

解得：﹣1＜x≤2，

故函数的定义域是（﹣1，2]，

故选A．

【点睛】本题考查了求函数的定义域问题，考查二次根式的性质，是一道基础题．常见的求定义域的类型有：对数，要求真数大于0即可；偶次根式，要求被开方数大于等于0；分式，要求分母不等于0，零次幂，要求底数不为0;多项式要求每一部分的定义域取交集.

3. 与终边相同的角是 (     )

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

与终边相同的角是.

当1时，

故选D

4. 在等差数列中，若，则（    ）

A. 2 B. 4

C. 6 D. 8

【答案】B

【解析】

【分析】

利用等差数列性质得到，得到答案.

【详解】据已知得：，所以，

故选B

【点睛】本题考查等差数列的性质，是基础的计算题．

5. 若是偶函数且在上减函数，又，则不等式的解集为（   ）

A. 或 B. 或

C. 或 D. 或

【答案】C

【解析】

∵是偶函数，，∴，

∵，∴
∵在上减函数，∴，∴或
∴不等式的解集为或 ，故选C.

6. 已知向量，，，若，则（  ）

A 1 B. 2 C. 3 D. 4

【答案】A

【解析】

【分析】

利用坐标表示出，根据垂直关系可知，解方程求得结果.

【详解】，   

    ，解得：

本题正确选项：

【点睛】本题考查向量垂直关系的坐标表示，属于基础题.

7. 将选项中所示的三角形绕直线旋转一周，可以得到下图所示的几何体的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

由几何体的轴截面特征直接判断即可．

【详解】由题可得：该几何体的轴截面是关于直线对称的，

并且的一侧是选项B中的三角形形状．

故选B

【点睛】本题主要考查了空间思维能力及关于直线旋转的几何体特征，属于基础题．

8. 执行如图所示的程序框图，若输入，则输出的（   ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

按程序框图指引的顺序依次执行，写出各步的执行结果即可得到答案.

【详解】输入，，不成立，；

，成立，跳出循环，输出.故选D.

【点睛】本题考查循环结构程序框图的输出结果.当程序执行到判断框时要注意判断循环条件是否成立，是继续下一次循环，还是跳出循环.

9. 若直线与圆相切，则等于（    ）

A. 0或 B. 或 C. 0或2 D. 或2

【答案】A

【解析】

【分析】

根据圆的方程确定圆心和半径，根据直线与圆相切可知圆心到直线距离等于半径，从而构造出方程，解方程求得结果.

【详解】由题意可知：圆心为，半径

直线与圆相切，则圆心到直线的距离，即

解得：或

本题正确选项：

【点睛】本题考查根据直线与圆相切求解参数的值，关键是明确直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径.

10. 已知则a、b、c的大小关系为（    ）

A. b＜a＜c B. a＜b＜c C. b＜c＜a D. c＜a＜b

【答案】A

【解析】

【分析】

根据指数函数和幂函数的单调性，比较大小即可.

【详解】因为，

根据指数函数是单调增函数，

可得，即可得；

根据幂函数单调增函数，

可得，即可得，

综上所述：.

故选：A.

【点睛】本题考查利用指数函数和幂函数的单调性比较大小，属基础题.

11. 若函数的部分图像如右图所示，则的解析式可能是（   ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

代入特殊值法，分别代入，排除各个选项，即可．

【详解】由可排除B、D，由可排除C，故选A.

【点睛】本道题考查了三角函数的解析式的计算，难度中等．

12. 在长为的线段上任取一点，作一矩形，邻边长分别等于线段、的长，则该矩形面积小于的概率为（ ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

根据几何概型的概率公式，设AC＝x，则BC＝10﹣x，由矩形的面积S＝x（10﹣x）＜16可求x的范围，利用几何概率的求解公式求解．

【详解】设线段的长为，则线段长为，

那么矩形面积为，或，又，

所以该矩形面积小于的概率为.

故选C

【点睛】本题考查几何概型，考查了一元二次不等式的解法，明确测度比为长度比是关键，是中档题．

二.填空题：每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上

13. 求值：_________．

【答案】1

【解析】

【分析】

根据对数运算,化简即可得解.

【详解】由对数运算,化简可得

故答案为:1

【点睛】本题考查了对数的基本运算,属于基础题.

14. 若实数，满足约束条件，则的取值范围是________.

【答案】

【解析】

【分析】

由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．

【详解】由，满足约束条件作出可行域如图，

化目标函数为，

由图可知，当直线过点时直线在轴上的截距最小，

由，解得，，

有最小值为2．

故答案为，

【点睛】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．

15. 数列,,,，,…的一个通项公式为_______．

【答案】

【解析】

【分析】

分别观察分子分母的特点，归纳出通项公式来.

【详解】数列,,,,…，

观察该数列各项的特征是由分数组成，且分数的分子与项数相同，分子与分母相差1，

由此得出该数列的一个通项公式为．

故答案为．

【点睛】本题主要考查利用观察法求解数列的通项公式，发现蕴含的规律是求解的关键.

16. 正方体的内切球与外接球的半径之比为              

【答案】

【解析】

【详解】试题分析：正方体的内切球的直径为，正方体的棱长，外接球的直径为，正方体的对角线长，设出正方体的棱长，即可求出两个半径，求出半径之比．正方体的内切球的直径为正方体的棱长，外接球的直径为正方体的对角线长，设正方体的棱长为2a，所以内切球的半径为a；外接球的直径为2a，半径为a，所以，正方体的内切球与外接球的半径之比为：3，故填写

点评：本题是基础题，考查正方体的外接球与内切球的半径之比，正方体的内切球的直径为正方体的棱长，外接球的直径为正方体的对角线长，是解决本题的关键

三.解答题 ：本大题共6小题，共70分.18至22题每题12分，17题分值10分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. 已知等差数列{an}中，公差大于0，.

（1）求{an}的通项公式an；

（2）求{an}的前n项和Sn.

【答案】（1）；（2）

【解析】

【分析】

（1）根据题意，利用基本量列方程，即可求得数列的通项公式；

（2）利用等差数列的前项和计算公式，代值即可求得.

【详解】设的公差为，根据题意，

则，

即，

解得，

（1）由等差数列通项公式可得

.

（2）由等差数列的前项和公式可得：

.

即.

【点睛】本题考查利用基本量求解等差数列的通项公式，以及前项和，属基础题.

18. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且ccosB+bcosC＝2acosA．

（1）求A；

（2）若a＝2，且△ABC的面积为，求△ABC的周长．

【答案】（1）；（2）6.

【解析】

试题分析：（1）由根据正弦定理可得，利用两角和的正弦公式及诱导公式可得，∴；（2）由的面积为，可得，再利用余弦定理可得，从而可得的周长.

试题解析：（1）∵，∴.

∴，

∴.

∵，∴，∴，∴.

（2）∵的面积为，∴，∴.

由，及，得，∴.

又，∴.

故其周长为.

19. 如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，，，，，为的中点．

（1）求证：BM∥平面ADEF；

（2）求证：平面BDE⊥平面BEC．

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【解析】

【分析】

（1）取DE中点N，连接MN，AN，由三角形中位线定理得，四边形ABMN为平行四边形，即BM∥AN，再由线面平行的判定定理即可得到BM∥平面ADEF；

（2）由已知中正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD，AB＝AD＝2，CD＝4，我们易得到ED⊥BC，解三角形BCD，可得BC⊥BD，由线面垂直的判定定理，可得BC⊥平面BDE，再由面面垂直的判定定理，即可得到平面BDE⊥平面BEC．

【详解】（1）取DE中点N，连接MN，AN，在△EDC中，M，N分别为EC，ED的中点

∴MN∥CD，且MN＝CD，由已知AB∥CD，AB＝AD＝2，CD＝4，∴MN∥AB，且MN＝AB

∴四边形ABMN为平行四边形，∴BM∥AN，又∵AN⊂平面ADEF，BM⊄平面ADEF，

∴BM∥平面ADEF.

（2）∵ADEF为正方形，∴ED⊥AD，又∵平面平面，且平面平面，且ED⊂平面ADEF，

∴ED⊥平面ABCD，∴ED⊥BC，在直角梯形ABCD中，AB＝AD＝2，CD＝4，可得BC＝2，

在△BCD中，BD＝BC＝2，CD＝4，∴BC⊥BD，∴BC⊥平面BDE，

又∵BC⊂平面BEC，∴平面BDE⊥平面BEC

【点睛】本题考查了平面与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定，熟练掌握空间中直线与平面平行和空间的判定、性质、定义是解答本题的关键，属于基础题．

20. 已知函数

（1）求解析式，并比较，的大小；

（2）求的最小正周期和单调增区间.

【答案】（1），；（2）周期为，增区间为

【解析】

【分析】

（1）根据向量数量积的坐标运算，利用余弦的倍角公式，将函数化为余弦型函数，代值计算比较函数值的大小即可；

（2）根据（1）中所求，结合余弦函数的性质，即可求得周期和单调增区间.

【详解】（1）因为，

由余弦的倍角公式可得：

.

故，，

则.

综上所述：，.

（2）由（1）可知

故其最小正周期；

令，

解得.

故的最小正周期为，单调增区间为.

【点睛】本题考查利用余弦的倍角公式，向量数量积的坐标运算求解函数解析式，以及求余弦型三角函数的最小正周期和单调区间，属综合基础题.

21. 某区的区人大代表有教师6 人，分别来自甲、乙、丙、丁四个学校，其中甲校教师记为，，乙校教师记为，，丙校教师记为C，丁校教师记为D.现从这6 名教师代表中选出 3 名教师组成十九大报告宣讲团，要求甲、乙、丙、丁四个学校中，每校至多选出1名.

（1）请列出十九大报告宣讲团组成人员的全部可能结果；

（2）求教师被选中的概率；

【答案】（1）列举结果见详解；（2）

【解析】

【分析】

（1）根据题目要求，列出满足题意的结果即可；

（2）从（1）中结果计算出教师被选中的可能，用古典概型概率计算公式即可解得.

【详解】（1）从6名教师代表中选出3名教师组成十九大政策宣讲团，

组成人员的全部可能结果有：

，，， ，

，，，，

，，，

共有12种不同可能结果.

（2）组成人员的全部可能结果中，被选中的结果有：

，，， ，

共有5种，

根据古典概型的概率计算公式可得，所求概率.

【点睛】本题考查用列举法求古典概型的概率，属基础题.

22. 已知点，圆

（1）若过点A只能作一条圆C的切线，求实数a的值及切线方程；

（2）设直线l过点A但不过原点，且在两坐标轴上的截距相等，若直线l被圆C截得的弦长为2，求实数a的值.

【答案】（1），切线方程：或，切线方程：；（2）或

【解析】

【分析】

（1）由切线条数可确定在圆上，代入圆的方程可求得；根据在圆上一点处的切线方程的结论可直接写得结果；

（2）设直线方程，代入点坐标得到；利用点到直线距离公式求得圆心到直线的距离，根据直线被圆截得的弦长可构造方程求得.

【详解】（1）过点只能作一条圆的切线    在圆上

，解得：

当时，，则切线方程为：，即

当时，，则切线方程为：，即

（2）设直线方程为：   

直线方程为：

圆的圆心到直线距离

，解得：或

【点睛】本题考查过圆上一点的切线方程的求解、根据直线被圆截得的弦长求解参数值的问题；关键是能够熟练掌握直线与圆问题的常用结论：

1.过圆上一点的切线方程为：；

2.直线被圆截得的弦长等于.