专题01 空间向量及其运算（核心素养练习）-【新教材精创】2020-2021学年高二数学新教材知识讲学（人教A版选择性必修第一册）

专题一    空间向量及其运算  

一、核心素养聚焦

考点一  逻辑推理-判断向量共线

例题10.如图所示，已知四边形ABCD，ABEF都是平行四边形且不共面，M，N分别是AC，BF的中点，判断与是否共线．

【解析】法一：因为M，N分别是AC，BF的中点，且四边形ABCD，四边形ABEF都是平行四边形，所以＝＋＋＝＋＋.

又因为＝＋＋＋＝－＋－－，以上两式相加得＝2，

所以∥，即与共线．

法二：因为四边形ABEF为平行四边形，所以连接AE时，AE必过点N.

∴＝－＝2－2

＝2(－)＝2.

所以∥，即与共线．

考点二   数学抽象-空间向量的概念

例题11.如图所示，在平行六面体ABCD­A′B′C′D′中，顶点连接的向量中，与向量相等的向量有________；与向量相反的向量有________．(要求写出所有适合条件的向量)

【答案】，，　，，，

【解析】根据相等向量的定义知，与向量相等的向量有，，.与向量相反的向量有，，，.

考点三  数学运算-求向量夹角

例题12、已知a＋b＋c＝0，|a|＝2，|b|＝3，|c|＝4，则向量a与b之间的夹角〈a，b〉为(　　)

A．30°   B．45°

C．60°   D．以上都不对

【解析】∵a＋b＋c＝0，|a|＝2，|b|＝3，|c|＝4，

∴以这三个向量首尾相连组成△ABC；

令＝c，＝b，＝a，则△ABC三边之长分别为BC＝2，CA＝3，AB＝4；

由余弦定理，得：cos∠BCA＝＝＝－，

又向量和是首尾相连，

∴这两个向量的夹角是180°－∠BCA，

∴cos〈a，b〉＝，

即向量a与b之间的夹角〈a，b〉不是特殊角．

二、学业质量测评

一、选择题

1．已知长方体，下列向量的数量积一定不为0的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】

当长方体为正方体时，根据正方体的性质可知：

，

所以、、.

根据长方体的性质可知：，所以与不垂直，即一定不为.

故选：C

2．如图，在底面为平行四边形的四棱柱中，，是与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（ ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】

.

故选：A

3．在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,化简 (  )

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】

在平行六面体，连接AC，如图，

则,

故选A．

4．平行六面体（底面为平行四边形的四棱柱）所有棱长都为1，且则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】

如图：

由

,

,

故选：C

5．已知空间任一点和不共线的三点、、，下列能得到、、、四点共面的是（    ）

A． B．

C． D．以上都不对

【答案】B

【详解】

设且，

则，，

则，所以，、、为共面向量，则、、、四点共面.

对于A选项，，，、、、四点不共面；

对于B选项，，，、、、四点共面；

对于C选项，，，、、、四点不共面.

故选：B.

6．空间任意四个点A,B,C,D,则等于(　　)

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】

由题意得=()-.

故选D．

7．（多选题）若不共面，则（    ）

A．共面 B．共面

C．共面 D．共面

【答案】BCD

【详解】

∵，∴共面，故B正确；

∵，∴共面，故C正确；

∵，∴共面，故D正确.

对于A选项，若设，则得 ，故无解，因此不共面.

故选：BCD.

8．在正方体中，下列结论正确的是（    ）

A．四边形的面积为 B．与的夹角为60°

C． D．

【答案】ACD

【详解】

如图

由面得，所以四边形的面积为，故A正确；

∵是等边三角形，∴，又∵，∴异面直线与所成的夹角为60°，但是向量与的夹角为120°，故B错误；

由向量加法的运算法则可以得到，∵，∴，故C正确；

向量运算可得，∵在正方体中，面，∴，∴，故D正确.

故选：ACD

二、填空题

9．O为空间中任意一点，A，B，C三点不共线，且，若P，A，B，C四点共面，则实数t＝______．

【答案】

【详解】

P，A，B，C四点共面，且，

，解得.

故答案为:

10．如图，在正四面体中，分别为的中点，是线段上一点，且，若，则的值为_______．

【答案】

【详解】

所以，所以.

11．如图，在直三棱柱中，若，则________．（用表示）

【答案】

【详解】

在直三棱柱中，若，

则

故答案为：

12．已知空间向量，，的模长分别为1，2，3，且两两夹角均为.点为的重心，若，，，，则__________；__________.

【答案】1;    .   

【详解】

解：

取的中点，

又，空间向量，，的模长分别为1，2，3，且两两夹角均为

故答案为： ；

三、解答题

13.在六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1中,化简,并在图中标出化简结果的向量.

【答案】答案见解析．

【详解】

,在图中表示如下图所示．

14．如图，在正三棱柱中，底面的边长为.

（1）设侧棱长为1，试用向量法证明：；

（2）设与的夹角为，求侧棱的长.

【答案】（1）证明见解析；（2）2.

【详解】

（1）证明：，

因为平面，所以，，

又因为为正三角形，

所以，

所以

，

所以，∴；

（2）由（1）知.

又，

所以，

所以，即侧棱的长为2.

15．如图，已知平行六面体中，底面ABCD是边长为1的正方形，，．

(1)求线段的长；

(2)求异面直线与所成角的余弦值；

【答案】（1）（2）

【详解】

（1）设，则，，，

，

,

线段的长为.

（2）设异面直线与所成的角为，则

,

.

.

故异面直线与所成角的余弦值为.