高中数学人教版新课标A必修21.3 空间几何体的表面积与体积优秀课时练习

突破1.3  空间几何体的表面积与体积

【基础巩固】

1．（2020届安徽省蚌埠市高三第三次质检）足球起源于中国东周时期的齐国，当时把足球称为“蹴鞠”.汉代蹴鞠是训练士兵的手段，制定了较为完备的体制.如专门设置了球场，规定为东西方向的长方形，两端各设六个对称的“鞠域”，也称“鞠室”，各由一人把守.比赛分为两队，互有攻守，以踢进对方鞠室的次数决定胜负.1970年以前的世界杯用球多数由举办国自己设计，所以每一次球的外观都不同，拼块的数目如同掷骰子一样没准.自1970年起，世界杯官方用球选择了三十二面体形状的足球，沿用至今.如图Ⅰ，三十二面体足球的面由边长相等的12块正五边形和20块正六边形拼接而成，形成一个近似的球体.现用边长为的上述正五边形和正六边形所围成的三十二面体的外接球作为足球，其大圆圆周展开图可近似看成是由4个正六边形与4个正五边形以及2条正六边形的边所构成的图形的对称轴截图形所得的线段，如图Ⅱ，则该足球的表面积约为(    )

参考数据：，，，

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】如图，在正五边形中，内角为，边长为，

所以，

所以，即；

因为在正六边形中，内角为，边长为，

所以大圆的周长为

设球的半径为，则，，

所以球的表面积为，故选C。

2.（2018广东肇庆三模）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为   （   ）

A.       B.      C.      D.

【答案】D

【解析】该几何体的直观图如图所示，即该几何体是将棱长为的正方体截去三棱锥后得到的几何体，所以其体积.故选D.

3.（2018河北唐山二模）如下图，网格纸上小正方形的边长为，粗实线画出的是某几何体的三视图，则其表面积为（    ）

A.     B.     C.     D.

【答案】.C

【解析】由题意知该几何体是球被切割后剩下的，所以它的表面积由三个部分组成，所以

故选C.

4.（2018广西梧州二模）一个几何体的三视图如图，则该几何体的表面积为（  ）

A.         B.    

C.     D.

【答案】D

【解析】由三视图可知：该几何体为组合体，上方为圆锥，下方为正方体，所以表面积为：

.故选D.

5.（2018东北三省四市二模）如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的表面积为（   ）

A.     B.      C.       D.  

【答案】A

【解析】该几何体是一个直三棱柱，底面是直角三角形.根据三视图的知识可得，解得，则直三棱柱的底面直角边的长分别为，，直三棱柱的高为，所以其表面积为

.故选A.

6.（2018河南八市下学期第一次测评） 某无盖容器的三视图如下所示，其中正视图和侧视图是全等的等腰梯形，腰长为3，俯视图是半径为1和2的两个同心圆，则它的表面积是（    ）

A.    B.     C.     D.

【答案】B

【解析】几何体为一圆台，母线长为3，侧面展开图为圆环，对应圆心角为，所以表面积是 ，故选B.

7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（   ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

由三视图知，一个直三棱柱，去掉一个小直三棱柱 ，所以表面积两个底12，主视侧面6，右侧面，左侧面，增加的，故总面积.故选C.

8．（传统文化与棱台体积）我国古代名著《张丘建算经》中记载：“今有方锥下广二丈，高三丈，欲斩末为方亭，令上方六尺，问亭方几何？”大致意思是：有一个正四棱锥下底边长为二丈，高三丈，现从上面截去一段，使之成为正四棱台状方亭，且正四棱台的上底边长为六尺，则该正四棱台的体积是（   ）（注：1丈=10尺）

A．1946立方尺 B．3892立方尺 C．7784立方尺 D．11676立方尺

【答案】B

【解析】

由题意可知正四棱锥的高为30.所截得正四棱台的下底面棱长为20，上底面棱长为6，

设棱台的高为，由可得，

解得，可得正四棱台体积为

，故选B.

9．（推理与球体积）我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰:置积尺数,以十六乘之,九而一,所得开立方除之,即立圆径.“开立圆术”相当于给出了已知球的体积,求其直径的一个近似公式,人们还用过一些类似的近似公式,根据判断,下列近似公式中最精确的一个是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由球体的体积公式得，，，

，，，与最为接近，故选C.

10．（2020届黑龙江省齐齐哈尔高三二模）如图是某几何体的三视图，俯视图中圆的两条半径长为2且互相垂直，则该几何体的体积为________.

【答案】20π

【解析】由三视图知，该几何体是由一个半径为2的半球的四分之三和一个底面半径2、高为4的圆

柱组合而成，其体积为。

【能力提升】

11.（2018山西晋中适应性调研）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（   ）

A.           B.              C.           D.

【答案】.D

【解析】由题目中三视图及各边长度可知，直观图如图所示，根据长度，可知底面为等腰直角三角形，先计算以等腰直角三角形（腰为）为底面，高为的三棱柱的体积：，而缺少部分以等腰直角三角形（腰为）为底面，高为的三棱锥，体积为，故所求几何体体积为.故选D.

12．（2018湖南衡阳二模）已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的所有棱中，最短的棱其长为(    )

A. 2      B.       C. 1     D.

【答案】C

【解析】由三视图可知圆几何体是长方体中的三棱锥，其中为所在棱的中点.从图中可以看出棱最短，因为，所以最短的棱长为.故选C.

13．（补形求体积）在四面体中，是边长为的等边三角形，，，，则四面体的体积为（  ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】如图，延长至，使得，连接，

因为，故为等腰三角形，

又，故，

所以即，故，

因为，所以，所以，

因，平面，平面，

所以平面，

所以，

因为的中点，所以，

因为，故为直角三角形，

所以，

又，而，故即为直角三角形，

所以，所以，故选C.

14．（2020·湖南省长沙市明达中学高三二模（理）魏晋时期数学家刘徽在他的著作九章算术注中，称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的几何体为“牟合方盖”，刘徽通过计算得知正方体的内切球的体积与“牟合方盖”的体积之比应为：若正方体的棱长为2，则“牟合方盖”的体积为　　

A．16 B． C． D．

【答案】C

【解析】正方体的棱长为2，则其内切球的半径，

正方体的内切球的体积，

又由已知，。

【高考真题】

15．（2019年高考天津卷理数）已知四棱锥的底面是边长为的正方形，侧棱长均为．若圆柱的一个

底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为

_____________．

【答案】

【解析】由题意，四棱锥的底面是边长为的正方形，侧棱长均为，借助勾股定理，可知四棱锥的高为.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，故圆柱的高为，圆柱的底面半径为，故圆柱的体积为.

【名师点睛】根据棱锥的结构特点，确定所求的圆柱的高和底面半径.注意本题中圆柱的底面半径是棱锥底面对角线长度的一半、不是底边棱长的一半.

16.(2019全国III文16）学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型.如图，该模型为长方体

挖去四棱锥O­−EFGH后所得的几何体，其中O为长方体的中心，E，F，G，H分别为所

在棱的中点，，3D打印所用原料密度为0.9 g/cm3，不考虑打印损耗，制作该

模型所需原料的质量为___________g.

【解析】 该模型为长方体，挖去四棱锥后所得的几何体，其中为长方体的中心，，，，，分别为所在棱的中点，，，所以该模型体积为：

，

打印所用原料密度因为为，不考虑打印损耗，

所以制作该模型所需原料的质量为：．

17．(2018浙江)某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：）是

【答案】C

【解析】由三视图可知，该几何体是一个底面为直角梯形的直四棱柱，所以该几何体的体积．故选C．

18．（2016年山东）一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示.则该几何体的体积为

【答案】．C

【解析】由三视图可知，四棱锥的底面是边长为1的正方形，高为1，其体积．设半球的半径为，则，即，所以半球的体积．故该几何体的体积．故选C．

19．（2015重庆）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为

A．    B．     C．        D．

【答案】．．A

【解析】这是一个三棱锥与半个圆柱的组合体，

，选A．