高中数学4.1 圆的方程学案

4. 1.1　圆的标准方程

【教学目标】

１．掌握圆的标准方程的特点，能根据所给有关圆心、半径的具体条件准确地写出圆的标准方程，能运用圆的标准方程正确地求出其圆心和半径，解决一些简单的实际问题．

２．通过圆的标准方程的推导，培养学生利用求曲线的方程的一般步骤解决一些实际问题的能力．

３．通过圆的标准方程，解决一些如圆拱桥的实际问题，说明理论既来源于实践，又服务于实践，可以适时进行辩证唯物主义思想教育．

【教学重难点】

教学重点：(1)圆的标准方程的推导步骤；(2)根据具体条件正确写出圆的标准方程．

教学难点：运用圆的标准方程解决一些简单的实际问题．

【教学过程】

（一）情景导入、展示目标

前面，大家学习了圆的概念，哪一位同学来回答？

1：具有什么性质的点的轨迹称为圆？

平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆(教师在黑板上画一个圆)．

2：图2-9中哪个点是定点？哪个点是动点？动点具有什么性质？圆心和半径都反映了圆的什么特点？

圆心C是定点，圆周上的点M是动点，它们到圆心距离等于定长|MC|=r，圆心和半径分别确定了圆的位置和大小．

（二）检查预习、交流展示

求曲线的方程的一般步骤是什么？其中哪几个步骤必不可少？

求曲线方程的一般步骤为：

(1)建立适当的直角坐标系，用(x，y)表示曲线上任意点M的坐标，简称建系设点；图2-9

(2)写出适合条件P的点M的集合P={M|P(M)|}，简称写点集；

(3)用坐标表示条件P(M)，列出方程f(x，y)=0，简称列方程；

(4)化方程f(x，y)=0为最简形式，简称化简方程；

(5)证明化简后的方程就是所求曲线的方程，简称证明．

其中步骤(1)(3)(4)必不可少．

（三）合作探究、精讲精练

探究一：如何建立圆的标准方程呢？

1．建系设点

由学生在黑板上画出直角坐标系，并问有无不同建立坐标系的方法．教师指出：这两种建立坐标系的方法都对，原点在圆心这是特殊情况，现在仅就一般情况推导．因为C是定点，可设C(a，b)、半径r，且设圆上任一点M坐标为(x，y)．

2．写点集

根据定义，圆就是集合P={M||MC|=r}．

3．列方程

由两点间的距离公式得：

4．化简方程

将上式两边平方得： (x-a)+(y-b) =r　　　　　　　　(1)

方程(1)就是圆心是C(a，b)、半径是r的圆的方程．我们把它叫做圆的标准方程．

探究二：圆的方程形式有什么特点？当圆心在原点时，圆的方程是什么？

这是二元二次方程，展开后没有xy项，括号内变数x，y的系数都是1．点(a，b)、r分别表示圆心的坐标和圆的半径．当圆心在原点即C(0，0)时，方程为 x+y=r．

教师指出：圆心和半径分别确定了圆的位置和大小，从而确定了圆，所以，只要a，b，r三个量确定了且r＞0，圆的方程就给定了．这就是说要确定圆的方程，必须具备三个独立的条件．注意，确定a、b、r，可以根据条件，利用待定系数法来解决．

例1　 写出下列各圆的方程：(请三位同学演板)

(1)圆心在原点，半径是3；

(3)经过点P(5，1)，圆心在点C(8，-3)；

解析：要求能够用圆心坐标、半径长熟练地写出圆的标准方程．

解：(1)x+y=9；(2)(x-3)+(y-4)=5；

点评： 圆的标准方程与圆心坐标、半径长密切相关，应熟练掌握．

变式训练１： 说出下列圆的圆心和半径：(学生回答)

(1)(x-3)+(y-2)=5；　　　(2)(x+4)+(y+3)=7；　　　(3)(x+2)+ y=4

答案：(1) 圆心是(3,2),半径是；(2) 圆心是(－４,－３),半径是；(3) 圆心是(－２,０),半径是２．

例２　 (1)已知两点P(4，9)和P2(6，3)，求以PP为直径的圆的方程；(2)试判断点M(6，9)、N(3，3)、Q(5，3)是在圆上，在圆内，还是在圆外？

解析：分析一：从确定圆的条件考虑，需要求圆心和半径，可用待定系数解决；分析二：从图形上动点P性质考虑，用求曲线方程的一般方法解决．

解：(1) 解法一：(学生口答)

设圆心C(a，b)、半径r，则由C为PP的中点得：

又由两点间的距离公式得：

∴所求圆的方程为：(x-5)+(y-6)=10

解法二：(给出板书)

∵直径上的四周角是直角，∴对于圆上任一点P(x，y)，有PP⊥PP．

化简得：x+y-10x-12y+51=0．

即(x-5)+(y-6)=10为所求圆的方程．

解(2)：(学生阅读课本)

分别计算点到圆心的距离：

因此，点M在圆上，点N在圆外，点Q在圆内．

点评：1．求圆的方程的方法

(1)待定系数法，确定a，b，r；

(2)轨迹法，求曲线方程的一般方法．

2．点与圆的位置关系

设点到圆心的距离为d，圆半径为r：

(1)点在圆上 d=r；

(2)点在圆外 d＞r；

(3)点在圆内 d＜r．

变式训练２：求证：以A(x，y)、B(x，y)为直径端点的圆的方程为(x-x)(x-x)+(y-y)(y-y)=0．

证明：略．

（四）反馈测试

导学案当堂检测

　　（五）总结反思、共同提高

1．圆的方程的推导步骤；

2．圆的方程的特点：点(a，b)、r分别表示圆心坐标和圆的半径；

3．求圆的方程的两种方法：(1)待定系数法；(2)轨迹法．

【板书设计】

探究一：圆的标准方程

1．建系设点

2．写点集

3．列方程

4．化简方程

探究二：圆的方程形式特点

例1　

变式训练１

例２　

变式训练２

课堂小结

【作业布置】

导学案课后练习与提高

4.１.1　圆的标准方程

课前预习学案

一．预习目标

回忆圆的定义，初步了解用方程建立圆的标准方程．

二．预习内容

1：圆的定义是怎样的？

2：圆的特点是什么？

三．提出疑惑

同学们，通过你的自主学习，你还有那些疑惑，请填在下面的表格中

课内探究学案

    一．学习目标

１．掌握圆的标准方程的特点，能根据所给有关圆心、半径的具体条件准确地写出圆的标准方程，能运用圆的标准方程正确地求出其圆心和半径，解决一些简单的实际问题．

２．通过圆的标准方程的推导，培养学生利用求曲线的方程的一般步骤解决一些实际问题的能力．

３．通过圆的标准方程，解决一些如圆拱桥的实际问题，说明理论既来源于实践，又服务于实践，可以适时进行辩证唯物主义思想教育．

学习重点：(1)圆的标准方程的推导步骤；(2)根据具体条件正确写出圆的标准方程．

学习难点：运用圆的标准方程解决一些简单的实际问题．

二．学习过程

探究一：如何建立圆的标准方程呢？

1．建系设点

2．写点集

3．列方程

4．化简方程

探究二：圆的方程形式有什么特点？当圆心在原点时，圆的方程是什么？

例1　 写出下列各圆的方程：(请四位同学演板)

(1)圆心在原点，半径是3；

(3)经过点P(5，1)，圆心在点C(8，-3)；

变式训练１： 说出下列圆的圆心和半径：(学生回答)

(1)(x-3) +(y-2)=5；

(2)(x+4) +(y+3) =7；

(3)(x+2)+ y=4

例２　 (1)已知两点P(4，9)和P(6，3)，求以PP为直径的圆的方程；(2)试判断点M(6，9)、N(3，3)、Q(5，3)是在圆上，在圆内，还是在圆外？

变式训练２：求证：以A(x，y)、B(x，y)为直径端点的圆的方程为(x-x)(x-x)+(y-y)(y-y)=0．

三．反思总结

四．当堂检测

１．圆(x＋1)2+(y－2)2=4的圆心、半径是  （     ）

A．(1,－2),4            B．(1,－2),2         C．(－1,2),4           D．(－1,2),2

２．过点A(4,1)的圆C与直线相切于点 B(2,1)．则圆C的方程为                .

3．一个等腰三角形底边上的高等于5，底边两端点的坐标是(-4，0)和(4，0)，求它的外接圆的方程．

参考答案:１．Ｄ　　２．　　

课后练习与提高

１．圆的周长是（　　　）

Ａ．　　　Ｂ．　　　Ｃ．２　　　Ｄ．　

２．点Ｐ（）与圆的位置关系是(      )

Ａ．在圆外　　　　Ｂ．在圆内　　　　Ｃ．在圆上　　　　Ｄ．不确定

３．已知圆Ｃ与圆关于直线对称，则圆Ｃ的方程为（　　　）

Ａ．　　　　　　　Ｂ．　　

Ｃ．　　　　　　　Ｄ．

４．已知圆C的圆心是直线x-y+1=0与x轴的交点，且圆C与直线x+y+3=0相切。则圆C的方程为                      ．

５.已知圆心在x轴上，半径为的圆O位于y轴左侧，且与直线x+y=0相切，则圆O的方程是       　　　．

６．赵州桥的跨度是37.4m，圆拱高约为7.2m，求这座圆拱桥的拱圆的方程．