数学必修2第四章 圆与方程4.3 空间直角坐标系精品测试题

突破4.3  空间直角坐标系

【基础巩固】

1.．在空间直角坐标系中，点M的坐标是(4,7,6)，则点M关于y轴对称的点在xOz平面上的射影的坐标为(　　)

A．(4,0,6)  B．(－4,7，－6)  C．(－4,0，－6)  D．(－4,7,0)

【答案】：C

【解析】：点M关于y轴的对称点是M′(－4,7，－6)，点M′在坐标平面xOz上的射影是(－4,0，－6)，故选C.

2．关于空间直角坐标系O－xyz中的一点P(1,2,3)有下列说法：

①OP的中点坐标为；

②点P关于x轴对称的点的坐标为(－1，－2，－3)；

③点P关于坐标原点对称的点的坐标为(1,2，－3)；

④点P关于xOy平面对称的点的坐标为(1,2，－3)．

其中正确说法的个数是(　　)

A．2    B．3    C．4    D．1

【答案】：A

【解析】：①显然正确；点P关于x轴对称的点的坐标为(1，－2，－3)，故②错；点P关于坐标原点对称的点的坐标为(－1，－2，－3)，故③错；④显然正确．

3．设点P(a，b，c)关于原点对称的点为P′，则|PP′|＝(　　)

A.  B．2 C．|a＋b＋c|  D．2|a＋b＋c|

【答案】：B

【解析】：P(a，b，c)关于原点对称的点为P′(－a，－b，－c)，则|PP′|＝＝2.

4．已知点A（1，a，－5），B（2a，－7，－2）（a∈R）则|AB|的最小值是（    ）

A．3  B．3       C．2  D．2

【答案】B

【解析】|AB|2＝（2a－1）2＋（－7－a）2＋（－2＋5）2＝5a2＋10a＋59＝5（a＋1）2＋54．∴a＝－1时，|AB|2的最小值为54．∴|AB|min＝＝3．故选B．

5．点（2，0，3）在空间直角坐标系中的（    ）

A．y轴上   B．xOy面上       C．xOz面上  D．第一象限内

【答案】C

【解析】因为该点的y坐标为0，根据坐标平面上点的特点可知该点在xOz面上．故选C．

6．空间两点A(2,5,4)，B(－2,3,5)之间的距离等于________．

【答案】

【解析】|AB|＝＝.

7．如图，以长方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点D为坐标原点，过D的三条棱所在的直线为坐标

轴，建立空间直角坐标系，若的坐标为（4，3，2），则的坐标__________．

【答案】（﹣4，3，2）

【解析】如图，以长方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点D为坐标原点，过D的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，∵的坐标为（4，3，2），∴A（4，0，0），C1（0，3，2），∴（﹣4，3，2）．故答案为：（﹣4，3，2）．

8.如图，在空间直角坐标系中，PA⊥平面OAB，PA＝OA＝2，∠AOB＝30°.

(1)求点P的坐标；

(2)若|PB|＝，求点B的坐标．

【解析】(1)过A作AE⊥OB于E，则AE＝1，OE＝，

所以点A的坐标为(1，，0)，所以点P的坐标为(1，，2)．

(2)因为点B在y轴上，因此可设点B的坐标为B(0，b,0)，

则|PB|＝＝，解得b＝，

所以点B的坐标为(0，，0)．

【能力提升】

9.如图，在长方体ABCD ­A1B1C1D1中，E，F分别是棱BC，CC1上的点，|CF|＝|AB|＝2|CE|，|AB|∶|AD|∶|AA1|＝1∶2∶4.试建立适当的坐标系，写出E，F点的坐标．

【解析】以A为坐标原点，射线AB，AD，AA1的方向分别为正方向建立空间直角坐标系，如图所示．

10.如图，在正方体中，分别是的中点，棱长为1． 试建立适当的空间直角坐标系，写出点的坐标．

【解析】建立如图所示坐标系．

方法一：点在面上的射影为，竖坐标为．所以．

在面上的射影为的中点，竖坐标为1．所以．

方法二：，，，为的中点，为的中点．

故点的坐标为即，点的坐标为，即．

11.如图，已知正方体ABCD ­A′B′C′D′的棱长为a，M为BD′的中点，点N在A′C′上，且|A′N|＝3|NC′|，试求|MN|的长．

因为|A′N|＝3|NC′|，所以N为A′C′的四等分点，从而N为O′C′的中点，故N.

根据空间两点间的距离公式，可得|MN|＝＝a.

12．如图所示，V­ABCD是正棱锥，O为底面中心，E，F分别为BC，CD的中点．已知|AB|

＝2，|VO|＝3，建立如图所示空间直角坐标系，试分别写出各个顶点的坐标．

【答案】V（0，0，3），A（－1，－1，0），B（1，－1，0），C（1，1，0），

D（－1，1，0）．

【解析】∵底面是边长为2的正方形，∴|CE|＝|CF|＝1．

∵O点是坐标原点，∴C（1，1，0），

同样的方法可以确定B（1，－1，0），A（－1，－1，0），D（－1，1，0）．

∵V在z轴上，∴V（0，0，3）．

13．如图，在棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1中，以正方体的三条棱所在直线为轴建立空间直角坐标系Oxyz．

（1）若点P在线段BD1上，且满足3|BP|＝|BD1|，试写出点P的坐标，并写出P关于y轴的对称点P′的坐标；

（2）在线段C1D上找一点M，使点M到点P的距离最小，求出点M的坐标．

【答案】（1）P′；（2）当m＝时，|MP|取得最小值，此时点M为．

【解析】（1）由题意知P的坐标为，

P关于y轴的对称点P′的坐标为．

（2）设线段C1D上一点M的坐标为（0，m，m），

则有|MP|＝＝＝．

当m＝时，|MP|取得最小值，所以点M为．