江西省信丰中学2020届高三数学上学期第十五次周考理A层13班2（含解析） 试卷

江西省信丰中学2020届高三数学上学期第十五次周考（理A层）（13班）

一．选择题（50分）

1．将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为(    )．

A．18     B．24     C．30     D．36

2．从6人中选4人分别到北京、哈尔滨、广州、成都四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且在这6人中甲、乙不去哈尔滨游览，则不同的选择方案共有（    ）

 A.300种          B.240种         C.144种        D.96种

3. 从甲、乙等名志愿者中选出名，分别从事，，，四项不同的工作，每人承担一项．若甲、乙二人均不能从事工作，则不同的工作分配方案共有（   ）

A.种 B. C.种 D.种

4．某车队准备从甲、乙等7辆车中选派4辆参加救援物资的运输工作，并按出发顺序前后排成一队，要求甲、乙至少有一辆参加，且若甲、乙同时参加，则它们出发时不能相邻，那么不同排法种数为（  ）

   (A)360           (B)520           (C)600          (D)720

5如图，提供四种不同颜色给图中的A,B,C,D,E,F六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法用（    ）

（A）288种     （B）264种     （C）240种     （D）168种 

6．已知双曲线的两条渐近线与抛物线（）的准线分别交于A，B两点，O为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB的面积为，则     (   ）

   A．2          B．       C．1      D．3

7．某电视台曾在某时间段连续播放5个不同的商业广告，现在要在该时间段新增播一个商业广告与两个不同的公益宣传广告，且要求两个公益宣传广告既不能连续播放也不能在首尾播放，则在不改变原有5个不同的商业广告的相对播放顺序的前提下，不同的播放顺序共有（  ）

A. 60种             B. 120种              C.  144种           D.  300种

8已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，平面，，，若球的表面积为，则三棱锥的侧面积的最大值为（）

A． B． C． D．

9已知椭圆的左右焦点为，点为其上动点，点，则的最大值为（    ）

A．      B．       C．      D．

10.过椭圆上一点H作圆x2+y2=2的两条切线，点A，B为切点，过A，B的直线l与x轴，y轴分布交于点P，Q两点，则△POQ面积的最小值为（　　）

　 A． B． C． 1 D．

二．填空题（25分）

11. 将序号分别为1，2，3，4，5的5张电影票全部分给4人，每人至少1张．如果分给同一人的2张电影票连号，那么不同的分法种数是     ．

12．用0，1，2，3，4这五个数字组成无重复数字的五位数，其中恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间的五位数的个数是______________.

13

的展开式中的常数项为_______.

14．如图，三棱锥的顶点，，，都在同一球面上，过球心且，是边长为2等边三角形，点、分别为线段，上的动点（不含端点），且，则三棱锥体积的最大值为_______．

15．如图，在直角梯形中，，，，，，在线段上，是线段的中点，沿把平面折起到平面的位置，使平面，则下列命题正确的编号为______.

①点到平面的距离为；

②设折起后几何体的棱的中点，则平面；

③；

④四棱锥的内切球的表面积为.

三．解答题（36分）

16.如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，为等边三角形，，是的中点.

（1）证明：平面；

（2）求直线与平面所成角的正弦值.

17如图1，在△PBC中，∠C=90°，PC=4，BC=3，PD：DC=5：3，AD⊥PB，将△PAD沿AD边折起到SAD位置，如图2，且使SB=．

（Ⅰ）求证：SA⊥平面ABCD；

（Ⅱ）求平面SAB与平面SCD所成锐二面角的余弦值．

18.如图，椭圆C1：＋＝1(a>b>0)的离心率为，x轴被曲线

C2：y＝x2－b截得的线段长等于C1的长半轴长．

(1)求C1，C2的方程；

(2)设C2与y轴的交点为M，过坐标原点O的直线l与C2相交

于点A，B，两直线MA，MB分别与C1相交于点D，E.

①证明：MD⊥ME；

②记△MAB，△MDE的面积分别为S1，S2.问：是否存在直线l，使得＝？请说明理

由．

2019年高三（13）班第十五次周考卷参考答案 

一.选择题

二.填空题

11.96   12.28   13—5    14.    15  .①②③④

三.解答题

16.（1）取PA的中点N，连结MN，DN，

∵M，N分别是PB，PA的中点，

∴MN∥AB，且MNAB＝1，

∵DN，DM＝2，∴DN2+MN2＝DM2，

∴DN⊥MN，∴AB⊥DN，

∵AB⊥AD，AD∩DN＝D，∴AB⊥平面PAD.

（2）如图，连结BD，CM，由（Ⅰ）知AB⊥平面PAD，∴AB⊥PA，

在Rt△PAB中，PB＝2，同理PC，

在梯形ABCD中，BC，BD＝2，

∵PC＝BC，M为PB的中点，∴CM⊥PB，

由题意得S△PCB，

1，

设O为AD的中点，连结PO，由题意得PO⊥AD，

∵平面PAD⊥平面ABCD，PO⊂平面PAD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，

∴PO⊥平面ABCD，

设点D到平面PBC的距离为d，

∵VP﹣BCD＝VD﹣PCB，∴，解得d．

∵DM＝2，∴直线DM与平面PBC所成角的正弦值sinθ

17解答： （Ⅰ）证明：在直角三角形PBC中，PC=4，BC=3，PD：DC=5：3，

所以PB=5，PD=2.5，DC=1.5，

因为∠PAD=∠C=90°，∠P=∠P，

所以△PAD∽△PCB，

所以，

所以PA=2，AB=PB﹣PA=3，AD=1.5，

△SAB中，SA=PA=2，SB=，

所以SA2+AB2=SB2，

所以SA⊥AB

因为AD∥PB，

所以SA⊥AD，

因为AB∩AD=A，

所以SA⊥平面ABCD；

（Ⅱ）解：在图2中，延长BA，CD相交于P，连接SP，取SP的中点M，连接MA，MD，则

因为PA=SA，PD=SD，

所以MA⊥SP，MD⊥SP，

所以∠AMD为平面SAB与平面SCD所成锐二面角的平面角，

因为SA⊥AD，AD⊥PB，SA∩PB=A，

所以AD⊥平面SPB，

因为MA⊂平面SPB，

所以AD⊥MA．

在直角三角形SPA中，PA=SA=2，M为SP的中点，

所以SP=2，MA=，

在△SPD中，PD=SD=2.5，M为SP中点，所以MD=，

所以cos∠AMP==，

所以平面SAB与平面SCD所成锐二面角的余弦值为．

18.(1)解　由题意知，e＝＝，从而a＝2b，

又2＝a，所以a＝2，b＝1.

故C1，C2的方程分别为＋y2＝1，y＝x2－1.

(2)①证明　由题意知，直线l的斜率存在，设为k，

则直线l的方程为y＝kx，由

得x2－kx－1＝0.

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

则x1，x2是上述方程的两个实根，

于是x1＋x2＝k，x1x2＝－1.

又点M的坐标为(0，－1)，

所以kMA·kMB＝·＝

＝＝＝－1.

故MA⊥MB，即MD⊥ME.

②解　设直线MA的斜率为k1，

则直线MA的方程为y＝k1x－1.

由解得或

故点A的坐标为(k1，k－1)．

又直线MB的斜率为－，

同理可得点B的坐标为(－，－1)．

于是S1＝|MA|·|MB|

＝·|k1|··|－|

＝.

由得(1＋4k)x2－8k1x＝0，

解得或

故点D的坐标为(，)．

又直线ME的斜率为－，

同理可得点E的坐标为(，)．

于是S2＝|MD|·|ME|＝.

因此＝(4k＋＋17)．

由题意知，(4k＋＋17)＝，

解得k＝4或k＝.

又由点A，B的坐标可知，k＝＝k1－，

所以k＝±.

故满足条件的直线l存在，且有两条，

其方程分别为y＝x，y＝－x.