江西省信丰中学2020届高三数学上学期第九次周考理A层13班2（含解析） 试卷

江西省信丰中学2020届高三数学上学期第九次周考（理A层）（13班）

一。选择题（50分）

1．如图，ABCD­A1B1C1D1是长方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论正确的是(　)

A．A，M，O三点共线   B．A，M，O，A1不共面

C．A，M，C，O不共面   D．B，B1，O，M共面

2下列四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号是(　　)

A．①③   B．②③

C．①④   D．②④

3已知直线a，b异面，给出以下命题：

①一定存在平行于a的平面α使b⊥α；

②一定存在平行于a的平面α使b∥α；

③一定存在平行于a的平面α使b⊂α；

④一定存在无数个平行于a的平面α与b交于一定点．

则其中论断正确的是(　　) 

A．①④   B．②③

C．①②③   D．②③④

4.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,O是底面ABCD的中心,E,F分别是CC1,AD的中点,则异面直线OE与FD1所成角的余弦值为(  )

A..              B.              C. D.

5．如图所示，在正方体中，点是棱上的一个动点，平面交棱于点．则下列命题中假命题是                       （     ）

（A）存在点，使得//平面

（B）存在点，使得平面 

（C）对于任意的点，平面平面

（D）对于任意的点，四棱锥的体积均不变

6. 已知函数.那么对于任意的，函数的最大值与最小值分别为（   ）

A.      B.     C.     D.

7.已知三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC内的射影为△ABC的中心，则AB1与底面ABC所成角的正弦值等于 (　　)

A.           B.        C.    D. 

8.如右图所示，正三棱锥Ｖ－ＡＢＣ中，Ｄ，Ｅ，Ｆ分别是VC，VA,AC的中点，Ｐ为ＶＢ上任意一点，则直线ＤＥ与ＰF所成的角的大小是（　  ）

A.     　    B.        C.    　D.随Ｐ点的变化而变化

9. 高为的四棱锥的底面是边长为1的正方形，点、A、 B、C、D均在半径为1的同一球面上，则底面ABCD的中心与顶点S之间的距离为（  ）    

  A．            B.               C．           D.

10已知二面角的平面角是锐角，内一点到的距离为3，点到棱的距离为4，那么的值等于 ( )

  A．           B．            C．          D．

二．填空题（20分）

11如图，三棱锥V­ABC的底面为正三角形，侧面VAC与底面垂直且VA＝VC，已知其主视图的面积为，则其左视图的面积为________．

12.已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，是球的直径．若平面 平面，三棱锥的体积为9，则球的表面积为________

13如图,四棱锥O-ABCD中,AC垂直平分BD,||=2,||=1,

则()·()的值是     .

14．如图所示，正方体ABCD﹣A′B′C′D′的棱长为1，E，F分别是棱AA′，CC′的中点，过直线EF的平面分别与棱BB′、DD′分别交于M，N两点，设BM=x，x∈[0，1]，给出以下四个结论：

①平面MENF⊥平面BDD′B′；

②直线AC∥平面MENF始终成立；

③四边形MENF周长L=f（x），x∈[0，1]是单调函数；

④四棱锥C′﹣MENF的体积V=h（x）为常数；

以上结论正确的是　　　　　　．

三．解答题（48分）

15．如图所示，三棱柱ABC ­A1B1C1，底面是边长为2的正三角形，侧棱A1A⊥底面ABC，点E，F分别是棱CC1，BB1上的点，点M是线段AC上的动点，EC＝2FB＝2.

(1)当点M在何位置时，BM∥平面AEF?

(2)若BM∥平面AEF，判断BM与EF的位置关系，说明理由；并求BM与EF所成的角的余弦值．

16．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为1的正方形，PD⊥底面ABCD，PD=AD，E为PC的中点，F为PB上一点，且EF⊥PB．

（1）证明：PA∥平面EDB；

（2）证明：PB⊥平面EFD；

（3）求三棱锥B﹣ADF的体积．

17如图所示的几何体ABCDFE中，△ABC，△DFE都是等边三角形，且所在平面平行，四边形BCED是边长为2的正方形，且所在平面垂直于平面ABC.

(1)求几何体ABCDFE的体积；

(2)证明：平面ADE∥平面BCF.

18.     在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面ABB1A1为矩形，AB=2，AA1=2，D是AA1的中点，BD与AB1交于点O，且CO⊥ABB1A1平面．

（1）证明：BC⊥AB1；

（2）若OC=OA，求直线CD与平面ABC所成角的正弦值．

2019年高三（13）班第九次周考卷参考答案

一．选择题

二．填空题11   12  13 3  14 ①②④

三．解答题

15解：(1)法一：如图(1)所示，取AE的中点O，连接OF，过点O作OM⊥AC于点M.

因为侧棱A1A⊥底面ABC，所以侧面A1ACC1⊥底面ABC.

又因为EC＝2FB＝2，

所以OM∥FB∥EC且OM＝EC＝FB，

所以四边形OMBF为矩形，BM∥OF.

因为OF⊂平面AEF，BM⊄平面AEF，

故BM∥平面AEF，此时点M为AC的中点．

法二：如图(2)所示，取EC的中点P，AC的中点Q，连接PQ，PB，BQ.

因为EC＝2FB＝2，

所以PE綊BF，

所以PQ∥AE，PB∥EF，

所以PQ∥平面AFE，PB∥平面AEF，

因为PB∩PQ＝P，PB，PQ ⊂平面PBQ，

所以平面PBQ∥平面AEF.

又因为BQ⊂平面PBQ，

所以BQ∥平面AEF.

故点Q即为所求的点M，此时点M为AC的中点．

(2)由(1)知，BM与EF异面，∠OFE(或∠MBP)就是异面直线BM与EF所成的角或其补角．

易求AF＝EF＝，MB＝OF＝，OF⊥AE，

所以cos∠OFE＝＝＝，

所以BM与EF所成的角的余弦值为.

16．明：（1）连接AC交BD于点G，连接EG．（1分）

因为四边形ABCD是正方形，所以点G是AC的中点，

又因为E为PC的中点，因此EG∥PA．（2分） 

而EG⊂平面EDB，所以PA∥平面EDB．（4分）

（2）证明：∵PD⊥底面ABCD且DC⊂底面ABCD，∴PD⊥DC

∵PD=DC，可知△PDC是等腰直角三角形，而DE是斜边PC的中线，

∴DE⊥PC①

同样由PD⊥底面ABCD，得PD⊥BC

∵底面ABCD是正方形，有DC⊥BC，∴BC⊥平面PDC

而DE⊂平面PDC，∴BC⊥DE②

由①和②推得DE⊥平面PBC  而PB⊂平面PBC，∴DE⊥PB

又EF⊥PB且DE∩EF=E，所以PB⊥平面EFD…（9分）

（3）解：过点F作FH∥PD，交BD于H．

因为PD⊥底面ABCD，FH∥PD，所以FH⊥底面ABCD． 由题意，可得，，．

由Rt△PFE∽Rt△PCF，得，．

由Rt△BFH∽Rt△BPD，得，．

所以，（10分）

所以，即三棱锥B﹣ADF的体积为…（12分）

17解：(1)取BC的中点O，ED的中点G，连接AO，OF，FG，AG.

∵AO⊥BC，AO⊂平面ABC，平面BCED⊥平面ABC，

∴AO⊥平面BCED.同理FG⊥平面BCED.

∵AO＝FG＝，

∴VABCDFE＝×4××2＝.

(2)证明：由(1)知AO∥FG，AO＝FG，

∴四边形AOFG为平行四边形，

∴AG∥OF.

又∵DE∥BC，DE∩AG＝G，DE⊂平面ADE，AG⊂平面ADE，FO∩BC＝O，FO⊂平面BCF，BC⊂平面BCF，

∴平面ADE∥平面BCF.

18（I）证明：由题意，因为ABB1A1是矩形，

D为AA1中点，AB=2，AA1=2，AD=，

所以在直角三角形ABB1中，tan∠AB1B==，

在直角三角形ABD中，tan∠ABD==，

所以∠AB1B=∠ABD，又∠BAB1+∠AB1B=90°，∠BAB1+∠ABD=90°， 

所以在直角三角形ABO中，故∠BOA=90°， 

即BD⊥AB1，又因为CO⊥侧面ABB1A1，AB1⊂侧面ABB1A1，

所以CO⊥AB1所以，AB1⊥面BCD，因为BC⊂面BCD，所以BC⊥AB1．

（Ⅱ）解：如图，分别以OD，OB1，OC所在的直线为x，y，z轴，以O为原点，建立空间直角坐标系，则A（0，﹣，0），B（﹣，0，0），C（0，0，），B1（0，，0），D（，0，0），

又因为=2，所以

所以=（﹣，，0），=（0，，），=（，，），=（，0，﹣），

设平面ABC的法向量为=（x，y，z），

则根据可得=（1，，﹣）是平面ABC的一个法向量，

设直线CD与平面ABC所成角为α，则sinα=，

所以直线CD与平面ABC所成角的正弦值为．…