四川省广元市苍溪县实验中学校2020届高三数学下学期适应性考试试题3理
展开四川省广元市苍溪县实验中学校2020届高三数学下学期适应性考试试题（3）理
第I卷 选择题（60分）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，集合，则
A． B． C． D．
2．若复数（）是纯虚数，则复数在复平面内对应的点位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．设向量，，若，则
A． B．-1 C． D．
4．如图所示的折线图为某小区小型超市今年一月份到五月份的营业额和支出数据（利润营业额支出），根据折线图，下列说法中错误的是
A．该超市这五个月中的营业额一直在增长； B．该超市这五个月的利润一直在增长；
C．该超市这五个月中五月份的利润最高； D．该超市这五个月中的营业额和支出呈正相关.
5．在中，D在边上，且，E为的中点，则
A． B． C． D．
6．某中学在高三上学期期末考试中，理科学生的数学成绩，若已知，则从该校理科生中任选一名学生，他的数学成绩大于120分的概率为
A． B． C． D．
7．已知抛物线C：的焦点为F，M为C上一点，若，则（O为坐标原点）的面积为
A． B． C． D．
8．设，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，给出下列四个命题：
①若，，则，为异面直线；②若，，，则；
③若，，则；④若，，，则.
则上述命题中真命题的序号为
A．①② B．③④ C．②③ D．②④
9．为得到函数的图象，只需要将函数的图象
A．向左平行移动个单位 B．向右平行移动个单位
C．向左平行移动个单位 D．向右平行移动个单位
10．已知，，，则a，b，c的大小为
A． B． C． D．
11．设、分别是椭圆的焦点，过的直线交椭圆于、两点，且，，则椭圆的离心率为
A． B． C． D．
12．已知是自然对数的底数，不等于1的两正数满足，若，则的最小值为
A．-1 B． C． D．
第II卷 非选择题（90分）
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．的展开式中项的系数为_______．
14．圆关于直线对称的圆的标准方程为__________．
15．已知数列满足，，则______.
16．已知坐标原点为O，过点作直线n不同时为零的垂线，垂足为M，则的取值范围是______．
三．解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分
17．（12分）在中，内角的对边分别为，且.
（1）求角C；
（2）若，求周长的最大值.
18．（12分）在贯彻中共中央国务院关于精准扶贫政策的过程中，某单位定点帮扶甲、乙两个村各50户贫困户.为了 做到精准帮扶，工作组对这100户村民的年收入情况、劳动能力情况、子女受教育情况、危旧房情况、 患病情况等进行调查，并把调查结果转化为各户的贫困指标和，制成下图，其中“”表示甲村贫困户，“”表示乙村贫困户.若，则认定该户为“绝对贫困户”，若，则认定该户为“相对贫困户”，若，则认定该户为“低收入户”；若，则认定该户为“今年能脱贫户”，否则为“今年不 能脱贫户”.
（1）从甲村50户中随机选出一户，求该户为“今年不能脱贫的绝对贫困户”的概率；
（2）若从所有“今年不能脱贫的非绝对贫困户”中选3户，用表示所选3户中乙村的户数，求的分布 列和数学期望；
（3）试比较这100户中，甲、乙两村指标的方差的大小（只需写出结论）.
19．（12分）如图，在多面体中，底面是梯形，,，
平面平面，四边形是菱形，.
（1）求证：；
（2）求二面角的平面角的正切值.
20．（12分）已知椭圆的中心在原点，左焦点、右焦点都在轴上，点是椭圆上的动点，的面积的最大值为，在轴上方使成立的点只有一个．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点的两直线，分别与椭圆交于点，和点，，且，比较与的大小．
21．（12分）已知函数.
（1）若，则当时，讨论的单调性；
（2）若，且当时，不等式在区间上有解，求实数的取值范围.
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
以直角坐标系的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，并且在两种坐标系中取相同的长度单位.若将曲线（为参数）上每一点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），然后将所得图象向右平移2个单位，再向上平移3个单位得到曲线C.直线l的极坐标方程为.
（1）求曲线C的普通方程；
（2）设直线l与曲线C交于A，B两点，与x轴交于点P，线段AB的中点为M，求.
23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）
已知函数.
（1）当时，求的解集；
（2）当时，恒成立，求实数的取值范围.
理科数学参考答案
1．C 2．B 3．C 4．B 5．D 6．D 7．A 8．C 9．D 10．A 11．B 12．D
13．40 14． 15． 16．
17．（1）由得．
根据正弦定理，得，化为，
整理得到，因为，
故，又，所以．
(2)由余弦定理有，故，
整理得到，故，
当且仅当时等号成立，所以周长的最大值为．
18．（1）由图知，在甲村50户中，“今年不能脱贫的绝对贫困户”有5户，
所以从甲村50户中随机选出一户，该户为“今年不能脱贫的绝对贫困户”的概率为
（2）由图知，“今年不能脱贫的非绝对贫困户”有10户，其中甲村6户，乙村4户，依题意，
的可能值为0，1，2，3.从而
，，
，.
所以的分布列为：
故的数学期望.
（3）这100户中甲村指标的方差大于乙村指标的方差.
19．(1）题意，在等腰梯形中，
∵，，，
连接，∵四边形ACEF是菱形，，
(2） 取的中点，连接，因为四边形是菱形，且.
所以由平面几何易知，∵，∴.
故此可以、、分别为、、轴建立空间直角坐标系，各点的坐标依次为：
设平面BEF和平面DEF的法向量分别为
∵
同理，
故二面角的平面角的正切值为
20．（1）根据已知设椭圆的方程为，.
在轴上方使成立的点只有一个，
∴在轴上方使成立的点是椭圆的短轴的端点.
当点是短轴的端点时，由已知得，解得.
∴椭圆的方程为.
（2）.
若直线的斜率为0或不存在时，且或且.
由，
得.
若的斜率存在且不为0时，设：，
由得，
设，，则，，
于是 .
同理可得.
∴.∴.
综上.
21．（1）函数的定义域为，由得，
所以．
当时，，在内单调递减；
当时，或，
所以，在上单调递减，在上单调递增；
当时，或，
所以，在上单调递减，在上单调递增．
（2）由题意，当时，在区间上的最大值．
当时，，
则.
①当时，，
故在上单调递增，；
②当时，设的两根分别为，
则，所以在上，
故在上单调递增，．
综上，当时，在区间上的最大值，
解得，所以实数的取值范围是．
22．（1）将曲线（为参数）上每一点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），得到， 然后将所得图像向右平移2个单位，再向上平移3个单位得到（为参数），消去参数得圆C的普通方程为.
（2）由得，即，因为，所以，
即直线l的直角坐标方程为：，倾斜角为，点，
设直线l的参数方程为，代入圆C的普通方程并整理得：，
因为，设、两点对应的参数分别为，，则点对应的参数为，
由韦达定理得，，则.
23．（Ⅰ）当时，由，可得，
①或②或③
解①求得，解②求得，解③求得，综上可得不等式的解集为．
（Ⅱ）∵当时，恒成立，即，
当时，；
当时，
若，即时，，，所以;
若，即时，，，所以;
若，即时，时，不等式不成立
综上，．
