2020届江苏省南京师范大附中高三下学期6月高考模拟数学试题

 2020届江苏省南京师范大附中

高三下学期6月高考模拟(1)数学试题

第Ⅰ卷（必做题，共160分）

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上．）

1. 已知集合，，则__________．

【答案】

【解析】

【分析】

利用并集的知识求得.

【详解】集合，，所以.

故答案为：

【点睛】本小题主要考查并集的概念和运算，属于基础题.

2. 设是虚数单位，复数，若，则__________．

【答案】

【解析】

【分析】

根据复数的乘法法则将复数化为一般形式，根据复数相等可求得的值.

【详解】复数，，，

因此，.

故答案为：.

【点睛】本题考查利用复数相等求参数，同时也考查了复数乘法法则的应用，考查计算能力，属于基础题.

3. 将6个数据1，2，3，4，5，a去掉最大的一个，剩下的5个数据的平均数为1.8，则__________．

【答案】

【解析】

【分析】

利用平均数的计算公式列方程，解方程求得的值.

【详解】若是最大的数，则， 不符合题意.

故是最大的数，

则，解得.

故答案为：

【点睛】本小题主要考查平均数的计算，属于基础题.

4. 下图是一个算法流程图，则输出的的值是__________．

【答案】

【解析】

【分析】

列举出算法循环的每一步，由此可得出输出的的值.

【详解】第一次循环，成立，，；

第二次循环，成立，，；

第三次循环，成立，，；

以此类推，执行最后一次循环，成立，，；

不成立，输出.

故答案为：.

【点睛】本题考查利用程序框图计算输出结果，考查计算能力，属于中等题.

5. 从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数为0的概率是________．

【答案】

【解析】

①个位数为1,3,5,7,9时，十位数为2,4,6,8；个位数为0,2,4,6,8时，十位数为1,3,5,7,9，共45个．

②个位数为0时，十位数为1,3,5,7,9，共5个，个位数为0的概率是＝.

6. 函数的定义域为__________．

【答案】

【解析】

分析】

由二次根式的被开方数非负，对数的真数大于零，列不等式组，可求得函数的定义域

【详解】解：由题意得，得，

解得，

所以函数的定义域为，

故答案为：

【点睛】此题考查求复合函数的定义域，考查对数不等式的解法，属于基础题

7. 曲线的一个对称中心的坐标为，则的最小值为__________．

【答案】

【解析】

【分析】

令，求出最小的即可.

【详解】令，可得，

，当最小

故答案为：

【点睛】本题考查了三角函数的对称中心，考查了运算求解能力，属于基础题.

8. 设双曲线的左焦点到左准线的距离与它到右准线的距离的比为，则双曲线的右顶点、右焦点到它的一条渐近线的距离分别为，，则__________．

【答案】

【解析】

【分析】

先由题意，得到左准线为：；右准线为；左右焦点分别记作，，根据题中条件，得到，记该双曲线的右顶点为，过点作于点，过点作于点，其中为双曲线的一条渐近线；根据三角形相似，即可得出结果.

【详解】因为双曲线的左准线为：；右准线为；

左右焦点分别记作，，

又左焦点到左准线的距离与它到右准线的距离的比为，

所以，整理得，

记该双曲线的右顶点为，如图，过点作于点，过点作于点，其中为双曲线的一条渐近线；

则易知，

所以.

故答案为：.

【点睛】本题主要考查双曲线性质的简单应用，熟记双曲线的性质即可，属于常考题型.

9. 已知在体积为的圆柱中，，分别是上、下底面直径，且，则三棱锥的体积为__________．

【答案】

【解析】

设上，下底面圆的圆心分别为，，圆的半径为

由已知，，则

是中点

到平面的距离与到平面的距离相等

故，

设三棱锥的高为

则，

10. 已知，，则不等式解集为__________．

【答案】

【解析】

【分析】

先由结合函数的解析式，求得的取值范围，再结合函数的解析式可得出原不等式的解集.

【详解】令，由得，且.

当时，由可得，即，

，解得；

当时，，此时不等式无解.

所以，，且.

当时，由可得，即，解得；

当时，，，不等式无解.

综上所述，不等式的解集为.

故答案为：.

【点睛】本题考查分段函数不等式的求解，考查了分类讨论思想的应用，考查计算能力，属于中等题.

11. 直线是曲线的切线，则的最小值为__________．

【答案】2

【解析】

【分析】

设直线与曲线相切于点，根据导数的几何意义求出切线方程，可得，再根据基本不等式可得的最小值.

【详解】设直线与曲线相切于点，

当时，直线不是曲线的切线，故,

由得，

所以切线方程为，

即，

所以，

所以，

当且仅当时，等号成立，所以．

故答案为：2.

【点睛】本题考查了导数的几何意义，考查了基本不等式求最值，属于基础题.

12. 各项为正且公差不为0的等差数列的第1项、第2项、第6项恰好是等比数列的连续三项（顺序不变），设，若对于一切的，，则的最小值为__________．

【答案】

【解析】

【分析】

根据等差数列的第1项、第2项、第6项恰好是等比数列的连续三项，利用等比中项得到，化简得到，从而求得，然后利用裂项相消法求得，再由，得到求解.

【详解】设等差数列的公差为d，

由得，

因为，

所以，

所以，

，

所以，则，

因为，

所以，

故的最小值为．

故答案为：

【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式，等比中项，裂项相消法求和以及数列不等式问题，还考查了运算求解的能力，属于中档题.

13. 在中，，为钝角，是边上的两个动点，且，若的最小值为，则__________．

【答案】

【解析】

【分析】

取的中点得，，再将用向量表示并结合的最小值为得，即到直线的距离为，再根据几何关系即可求得

【详解】取的中点，取，，

，

因为的最小值，

所以．

作，垂足为，如图，

则，又，所以，

因为，

所以由正弦定理得：，，

所以

．

故答案为：.

【点睛】本题考查向量的数量积运算，正弦定理解三角形，余弦的差角公式等，是中档题.

14. 设a，b是两个实数，，直线和圆交于两点A，B，若对于任意的，均存在正数m，使得的面积均不小于，则的最大值为__________．

【答案】

【解析】

【分析】

设O到直线l的距离为d，利用三角形的面积均不小于列不等式，由此求得的取值范围，再利用点到直线的距离公式转化为关于的不等式.根据的取值范围，求得的取值范围，由此求得关于的不等式，结合导数求得的最大值.

【详解】设O到直线l的距离为d，则，

解得，即，

所以，

因为，时，

，，

所以，

因为存在满足条件，

所以，

化简得，且，

由得，

所以，

因为，解不等式无解，

所以在上单调递减，

所以．

故的最大值为．

故答案为：

【点睛】本小题主要考查直线和圆的位置关系，考查利用导数求最值，属于难题.

二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）

15. 如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⏊PD，E，F分别为AD，PB的中点．求证：

（1）EF//平面PCD；

（2）平面PAB⏊平面PCD．

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【解析】

【分析】

（1）取BC中点G，连结EG，FG，推导出，，从而平面平面，由此能得出结论；

（2）推导出，从而平面PAD，即得，结合得出平面PCD，由此能证明结论成立.

【详解】（1）取BC中点G，连结EG，FG，∵E，F分别是AD，PB的中点，

∴，，

∴面，面，

∵，∴平面平面，

∵平面，∴平面.

（2）因底面ABCD为矩形，所以，

又因为平面平面ABCD，

平面平面，平面ABCD，所以平面PAD．

因为平面PAD，所以.

又因为，，所以平面PCD．

因为平面PAB，所以平面平面PCD．

【点睛】本题考查线线垂直、线面平行、面面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.

16. 已知，均为锐角，且．

（1）求的值；

（2）若，求的值．

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】

（1）对所给等式利用两角差的正切公式展开化简可求出，再利用二倍角公式及同角三角函数的关系进行化简求值；（2）利用同角三角函数的关系求出、，角写为，再利用两角和的正切公式展开求值.

【详解】（1）由，得，即，

解得，或，因为为锐角，

所以，．

（2）因为，均为锐角，所以，

所以，，

．

【点睛】本题考查同角三角函数的关系、三角恒等变换，涉及两角和与差的正切公式、二倍角的余弦公式，属于中档题.

17. 一种机械装置的示意图如图所示，所有构件都在同一平面内，其中，O，A是两个固定点，米，线段AB是一个滑槽（宽度忽略不计），米，，线段OP，OQ，PQ是三根可以任意伸缩的连接杆，，O，P，Q按逆时针顺序排列，该装置通过连接点Q在滑槽AB中来回运动，带动点P运动，在运动过程中，始终保持．

（1）当点Q运动到B点时，求OP的长；

（2）点Q在滑槽中来回运动时，求点P的运动轨迹的长度．

【答案】（1）米；（2）米．

【解析】

【分析】

（1）当Q运动到B时，由条件可求得 在直角中，再利用，可得的长.

（2）以O为坐标原点，AO所在的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系,设出，

两点坐标，写出直线的方程，找出点轨迹的两个临界，即可得出P的运动轨迹的长度.

【详解】（1）在中，，设，则，

当点Q运动到B点时，，

所以．

答：当点Q运动到B点时，OP的长为米．

（2）以O为坐标原点，AO所在的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，

设，，则．

因为线段AB的方程为，，

所以，，

因此，，

整理得，

由得，

设直线和直线的交点为M，

直线和直线的交点为N，

则点P的运动轨迹为线段MN，易解得，，

所以．

答：点Q在滑槽中运动时，点P的运动轨迹的长度为米．

【点睛】本题主要考查了解三角形的实际应用，涉及直线的方程，弄清楚模型是关键，属于难题.

18. 在平面直角坐标系中，已知椭圆，直线．

（1）若椭圆C的一条准线方程为，且焦距为2，求椭圆C的方程；

（2）设椭圆C的左焦点为F，上顶点为A，直线l过点F，且与FA垂直，交椭圆C于M，N（M在x轴上方），若，求椭圆C的离心率；

（3）在（1）的条件下，若椭圆C上存在相异两点P，Q关于直线l对称，求的取值范围（用k表示）．

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】

【分析】

（1）利用准线、焦距以及列方程组，解方程组求得的值，进而求得椭圆方程.

（2）求得直线的方程并与椭圆方程联立，写出根与系数关系，结合得到关于的方程，由此求得椭圆的离心率.

（3）设，，PQ的中点，利用点差法求得，根据点在椭圆C的内部列不等式，由此求得的取值范围.

【详解】（1）设椭圆C的半焦距为c，

因为椭圆C的一条准线方程为，且焦距为2，

所以，

解得，椭圆C的方程为．

（2）如图，因为，，

所以，

因为直线l过点F，且与FA垂直，

所以直线l的方程为，

与椭圆C的方程联立得，

因为l过左焦点F，

所以恒成立，

设，，则（*），

因为，

所以，

代入（*）得，

消去并化简得，

因为，

所以，

即，

因为，

所以，解得，

所以．

（3）如图，设，，PQ中点，

则，两式相减并化简得

，即，

因为，

所以，

又，

所以，

因为点在椭圆C的内部，

所以，化简得．

故的取值范围为．

【点睛】本小题主要考查椭圆方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.

19. 已知函数，，其中．

（1）当时，求函数在上的零点个数；

（2）对任意的，有恒成立，求实数的取值范围．

【答案】（1）在上只有一个零点；（2）.

【解析】

【分析】

（1）求得，利用导数分析函数在上的单调性，结合零点存在定理可得出结论；

（2）令，求得，对实数的取值分、、三种情况讨论，利用导数分析函数在区间上的单调性，验证不等式是否恒成立，由此可得出实数的取值范围.

【详解】（1）时，，，

令，则，

当时，，当时，，

所以在上单调递减，在上单调递增，所以，

所以，在R上单调递增，

由于，，所以在R上只有一个零点．

（2）令，

则对任意的，恒成立，注意到，

因为，所以．

①若，当时，，，所以在上单调递增，

当时，，符合题意．

②若，当时，，，所以在上单调递减，

当时，，与矛盾，不符合题意．

③当时，由（1）知，在上单调递增，且只有一个零点，

设该零点为，则，

当时，，

即时，，，

则

，

当，即时，，

当，时，，

所以时，，与矛盾，不符合题意．

故实数的取值范围是．

【点睛】本题考查利用导数研究函数的零点个数，同时也考查了利用导数求解函数不等式恒成立问题，考查计算能力，属于难题.

20. 若无穷数列和无穷数列满足：存在正常数A，使得对任意的，均有，则称数列与具有关系．

（1）设无穷数列和均是等差数列，且，，问：数列与是否具有关系？说明理由；

（2）设无穷数列是首项为1，公比为的等比数列，，，证明：数列与具有关系，并求A的最小值；

（3）设无穷数列是首项为1，公差为的等差数列，无穷数列是首项为2，公比为的等比数列，试求数列与具有关系的充要条件．

【答案】（1）数列与不具有关系；理由见解析；（2）证明见解析，A的最小值为1；（3）数列与具有关系的充要条件为，．

【解析】

【分析】

（1）先假设数列与具有关系，根据题意，推出矛盾，即可得出结论；

（2）根据等比数列的通项公式，得到，即可得出数列与具有关系．设A的最小值为，，结合题中条件，即可求出结果；

（3）先由等差数列与等比数列的通项公式得出两数列通项，设，，根据数列与具有关系，即存在正常数A，使得对任意的，均有．分，；，；，；，四种情况讨论，结合导数的方法，以及反证法，分别求解，即可得出结果.

【详解】（1）因为，，

若数列与具有关系，

则对任意的，均有，

即，亦即，

但时，，

所以数列与不具有关系．

（2）证明：因为无穷数列是首项为1，公比为的等比数列，

所以，

因为，

所以，

所以，

所以数列与具有关系．

设A的最小值为，，

因为，所以．

若，则当时，，

则，这与“对任意的，均有”矛盾，

所以，即A的最小值为1．

（3）因为数列是首项为1，公差为的等差数列，

无穷数列是首项为2，公比为的等比数列，

所以，，

设，，

则，，．

数列与具有关系，即存在正常数A，

使得对任意的，均有．

（Ⅰ）当，时，，取，

则，数列与具有关系；

（Ⅱ）当，时，假设数列与具有关系，

则存在正常数A，使得对任意的，均有．

因为，

所以，对任意的，，

即，，

所以，

这与“对任意的，均有”矛盾，不合；

（Ⅲ）当，时，假设数列与具有关系，

则存在正常数A，使得对任意的，均有．

因为，

所以，对任意的，，

即，，

所以，，

这与“对任意的，均有”矛盾，不合；

（Ⅳ）当，时，假设数列与具有关系，

则存在正常数A，使得对任意的，均有．

因为，

所以，对任意的，，

所以，

所以，

设，，

则对任意的，．

因为，，

所以，对任意的，，

下面先证明：存在，当时，．

即证．

设，则，

所以时，，在区间上递增，

同理在区间上递减，

所以，

所以．

因此，，

所以，当时，，

设，则当时，，

即当时，，又，

所以，即，

解得，

这与对任意的，矛盾，不合．

综上所述，数列与具有关系的充要条件为，．

【点睛】本题主要考查等差数列与等比数列的应用，涉及导数的方法求最值，以及反证思想的应用，综合性较强，难度较大.

第Ⅱ卷（附加题，共40分）

【选做题】本题包括A，B，C三小题，请选定其中两题作答，每小题10分共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

A．选修4－2：矩阵与变换

21. 已知二阶矩阵的逆矩阵．

（1）求矩阵；

（2）设直线在矩阵对应的变换的作用下得到直线，求的方程．

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】

（1）利用逆矩阵的计算公式可求得矩阵；

（2）设直线上一点，则直线上一点，根据矩阵的乘法可计算得出，代入，化简可得出直线的方程.

【详解】（1）由，知其行列式为：．

得；

（2）设直线上一点，则直线上一点，

在矩阵的作用变换下，，

所以，所以．

，，即直线的方程为．

【点睛】本题考查二阶逆矩阵的求解，同时也考查了矩阵变换，考查计算能力，属于中等题.

B．选修4－4：坐标系与参数方程

22. 已知直线P的参数方程为（t为参数）,曲线C的参数方程为（s为参数）．设P为曲线C上的动点，求点P到直线l的距离的最小值.

【答案】.

【解析】

【详解】直线的普通方程为.

因为点在曲线上，设，

从而点到直线的距离，

当时，.

因此当点的坐标为时，曲线上点到直线的距离取到最小值.

C．选修4－5：不等式选讲

23. 已知：a，b，且，求证：．

【答案】证明见解析.

【解析】

【分析】

构造柯西不等式，即可得出结果.

【详解】由柯西不等式，得，

∴．

当且仅当，

即，，时取等号．

【点睛】本题考查了柯西不等式的应用，考查了运算求解能力，属于一般题目.

【必做题】第24题、第25题，每题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

24. 某中学有位学生申请、、三所大学的自主招生．若每位学生只能申请其中一所大学，且申请其中任何一所大学是等可能的．

（1）求恰有人申请大学的概率；

（2）求被申请大学的个数的概率分布列与数学期望．

【答案】（1）；（2）分布列见解析，．

【解析】

【分析】

（1）所有可能的方式有种，利用组合计数原理计算出恰有人申请大学的种数，利用古典概型的概率公式可计算出所求事件的概率；

（2）由题意可知，随机变量的可能取值有、、，然后分别求出相应的概率，列出分布列，根据数学期望公式进行求解即可；

【详解】（1）所有可能的方式有种，恰有人申请大学的申请方式有种，

从而恰有人申请大学的概率为；

（2）由题意可知，随机变量的可能取值有、、，

则，，.

所以，随机变量的分布列如下表所示：

.

【点睛】本题考查运用概率、离散型随机变量的期望知识解决实际问题，考查计算能力，属于中档题．

25. 设整数，集合，是的两个非空子集．记为所有满足中的最大数小于中的最小数的集合对的个数．

（1） 求；（2）求．

【答案】（1）,（2）

【解析】

试题分析：（1）当时，，

其非空子集为：，

则所有满足题意的集合为为：共5对，所以；

（2）设中的最大数为，其中，整数，

则中必含元素，另元素1，2，…， 可在中，故的个数为：，

中必不含元素1，2，…，，另元素可在中，但不能都不在中，故的个数为：,所以集合对的个数为：，所以．

考点：集合，组合数公式，重点考查分析问题能力

【方法点睛】新信息题都很有创意，本题定义了A，B两个集合，首先要求A、B必须是集合P的非空子集，其次满足中的最大数小于中的最小数，这样的集合对的个数为，不妨研究当时，的情况，可用列举法一一列出，得到，显然解决新信息题目最重要的是读懂题目提供的信息，按照新的规则去处理问题即可.