2021年高考数学模拟考试卷十三含解析

高考数学模拟考试卷（十三）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）已知集合，，则　　

A．， B． C．， D．

2．（5分）若复数满足，其中为虚数单位，则对应的点满足方程　　

A． B． 

C． D．

3．（5分）若双曲线的虚轴长为，则其渐近线的方程是　　

A． B． C． D．

4．（5分）永定土楼，位于中国东南沿海的福建省龙岩市，是世界上独一无二的神奇的山区民居建筑，是中国古建筑的一朵奇葩年7月，成功列入世界遗产名录．它历史悠久、风格独特，规模宏大、结构精巧．土楼具体有圆形，方形，五角形，八角形，日字形，回字形，吊脚楼等类型．现有某大学建筑系学生要重点对这七种主要类型的土楼依次进行调查研究．要求调查顺序中，圆形要排在第一个或最后一个，方形、五角形相邻．则共有　　种不同的排法．

A．480 

B．240 

C．384 

D．1440

5．（5分）已知，则　　

A． B．10 C． D．45

6．（5分）已知是边长为4的等边三角形，为的中点，点在边上，且，设与交于点，当变化时，记，则下列说法正确的是　　

A．随的增大而增大 

B．先随的增大而增大后随的增大而减少 

C．随的增大而减少 

D．为定值

7．（5分）设点，在圆外，若圆上存在点，使得，则实数的取值范围是　　

A． B． C． D．

8．（5分）已知函数，若，，，则，，的大小关系正确的是　　

A． B． C． D．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中。有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的对2分，有选错的得0分。

9．（5分）使“”成立的一个充分不必要条件是　　

A． B．或 C． D．

10．（5分）已知两种不同型号的电子元件（分别记为，的使用寿命均服从正态分布，，，，，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是　　

参考数据：若，则，

A． 

B． 

C． 

D．对于任意的正数，有

11．（5分）设是椭圆上一点，，是椭圆的左、右焦点，焦距为，若是直角，则　　

A．为原点） B． 

C．△的内切圆半径 D．

12．（5分）在棱长为2的正四面体中，点，，分别为棱，，的中点，则　　

A．平面 

B．过点，，的截面的面积为 

C．与的公垂线段的长为 

D．与平面所成角的大小小于二面角的大小

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．（5分）已知单位向量、的夹角为，与垂直，则　　．

14．（5分）已知数列的首项，前项和为，且满足，则数列的通项公式　　．

15．（5分）已知圆锥的顶点为，底面圆心为，底面半径为，高为1，和是底面圆周上两点，则圆锥的侧面展开图的圆心角为　　；面积的最大值为　　．

16．（5分）已知直线过抛物线的焦点，且与轴交于点，是抛物线上一点，为坐标原点，的中点满足，则　　，点的坐标为　　．

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（10分）在条件①，②，③中任选一个，补充到下面问题中，并给出问题解答．

问题：在中，角，，的对边分别为，，，，，，_____，求．

18．（12分）已知数列的前项和为，，．

（1）求证：是等差数列；

（2）求数列中最接近2020的数．

19．（12分）据调查，目前对于已经近视的小学生，有两种配戴眼镜的选择，一种是佩戴传统的框架眼镜；另一种是佩戴角膜塑形镜，这种眼镜是晚上睡觉时佩戴的一种特殊的隐形眼镜（因其在一定程度上可以减缓近视的发展速度，越来越多的小学生家长选择角膜塑形镜控制孩子的近视发展），市从该地区小学生中随机抽取容量为100的样本，其中因近视佩戴眼镜的有24人（其中佩戴角膜塑形镜的有8人，其中2名是男生，6名是女生）．

（1）若从样本中选一位学生，已知这位小学生戴眼镜，那么，他戴的是角膜塑形镜的概率是多大？

（2）从这8名戴角膜塑形镜的学生中，选出3个人，求其中男生人数的分布列；

（3）若将样本的频率当做估计总体的概率，请问，从市的小学生中，随机选出20位小学生，求佩戴角膜塑形镜的人数的期望和方差．

20．如图，在四棱锥中，，，，为的中点，．

（1）求证：；

（2）若，，求直线与平面所成角的正弦值的最大值．

20．（12分）已知点，，动点满足直线与的斜率之积为．记动点的轨迹为曲线．

（1）求曲线的方程，并说明曲线是什么样的曲线；

（2）设，是曲线上的两个动点，直线与交于点，且．

①求证：点在定直线上；

②求证：直线与直线的斜率之积为定值．

22．（12分）已知函数．

（1）当时，讨论的单调性；

（2）设是函数的导函数，讨论函数在，上的零点个数．

高三模拟考试卷（十三）答案

1．解：，即，，

则，则，，

故选：．

2．解：设，，，

，故，

故选：．

3．解：双曲线的渐近线方程为：，

虚轴长为，所以，所以其渐近线的方程：．

故选：．

4．解：根据题意，分2步进行分析：

①将方形、五角形看成一个整体，与除圆和方形、五角形之外的4个图形全排列，有种情况，

②将圆形安排在第一个或最后一个，有2种情况，

则有种不同的排法，

故选：．

5．解：，

则，

故选：．

6．解：因为是边长为4的等边三角形，为的中点，

所以，

由向量数量积的几何意义可知：

．

即为定值．

故选：．

7．解：如图所示，

上存在点使得，

则的最大值大于或者等于时，一定存在点，使得，

当与圆相切时，取得最大值，

此时，，

解得：，

又在圆外，，

综上可得，．

故选：．

8．解：因为，

所以，

所以为偶函数，

因为，

当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，

因为，，，且

因为，

故，

，

所以，

则．

故选：．

9．解：由，

解得，

，．

故选：．

10．解：对于，，故正确；

对于，由正态分布密度曲线，可知，则，故正确；

对于，由正态分布密度曲线，可知，则，故错误；

对于，对于任意的正数，直线左侧的正态密度曲线所含面积大于的正态密度曲线所含面积，

故有，故正确．

故选：．

11．解：设,,，

因为,所以在直角三角形中有①,

由椭圆的定义可得②,

联立①②解得,

所以三角形的面积为,故正确；

因为是斜边的中线，所以,故正确；

设三角形的内切圆半径为，则,

所以,故正确；

为椭圆上的一点，当点为椭圆的右顶点时，,

但是此时,所以点不可能为椭圆的右顶点，故错误，

故选：．

12．解：对于，因为，平面，所以平面，所以对；

对于，取为中点，与都平行，且等于一半，

所以，，同理，，，

又取为点，连接、，得，，所以平面，所以，

所以，于是为正方形，所以过点，，的截面为正方形，

其面积为1，所以错；

对于，因为，所以，同理，

所以，为与的公垂线段，其长为，所以对；

对于，由知平面，平面，所以与平面所成角为；

二面角的平面角为；

因为，所以，于是，所以对．

故选：．

13．解：根据题意，单位向量、的夹角为，则，

若与垂直，则，

解可得：，

故答案为：．

14．解：，

当时，，所以，

当时，，

两式相减可得，即，

所以，，

又，满足上式，

所以，

所以数列是首项为，公比为的等比数列，

所以．

故答案为：．

15．解：圆锥的顶点为，高为1，底面半径为，所以母线长为，

如图所示：

所以圆锥侧面展开图是扇形，且扇形的圆心角为．

由于和为底面圆周上两个动点，由于，所以为等腰三角形，

计算的面积为，

由于，，所以当时，三面积的最大值为2．

故答案为：，2．

16．解：令直线中，可得，由题意可得抛物线的焦点为，，

所以，所以，

即抛物线的方程为：，

因为，所以平分，

作轴于，作轴于，交抛物线的准线于，

则，

所以，

由平分，

所以，可得，

则在以线段为直径的圆上，

设，，则，将，

代入，且，

所以，

解得：，可得，

所以的坐标，

故答案为，．

17．解：若选择条件①，因为，

由正弦定理，可得，

因为，所以，可得，

因为，可得，

因为，所以，

所以，

又由余弦定理可得，，

所以．

若选择条件②，因为，

所以，可得，

因为，所以．

下同选①．

若选择条件③，，

因为，所以，所以，

因为，所以，所以，

所以，所以，所以．

下同选①．

18．（1）证明：，

由，得，

因为，

所以是以为首项，为公差的等差数列．

（2）解：由（1）得，

即，

则，

当时，也成立，

所以，

则，

当时，；

当时，，

所以数列中最接近2020的数是1980．

19．解：（1）设“这位小学生佩戴眼镜”为事件，

“这位小学生佩戴的眼镜是角膜塑形镜”为事件，

则所求的概率为：（1分）

所以，（3分）

所以若从样本中选一位学生，已知这位小学生戴眼镜，

则他戴的是角膜塑形镜的概率是．（4分）

（2）依题意可知：其中男生人数的所有可能取值分别为：0，1，2，（5分）

其中：；

；

，（8分）

所以男生人数的分布列为：

（9分）

（3）由已知可得：，（10分）

则：，，

所以佩戴角膜塑形镜的人数的期望是1.6，方差是1.472．（12分）

20．解：（1）证明：取中点，连接，，

，分别为，的中点，

，

又，

，

故四边形为平行四边形，，

，，

，，，，平面，

平面，

又平面，；

（2）由（1）知，平面，，故平面，

，为中点，

，

以为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立如图所示的空间直角坐标系，

设的长为，则，0，，，0，，，0，，，1，，

，

设平面的一个法向量为，则，则可取，

，

与平面所成角的正弦值为，当且仅当，即时等号成立，

直线与平面所成角的正弦值的最大值为．

20．1解：（1）由题意可得：，

化简可得：，

所以曲线的中心在原点，焦点在轴上的椭圆，不含，两点；

（2）证明：①由题设知，直线，的斜率存在且不为0，

设直线的方程为，

由，可知直线的斜率为，方程为，

联立方程，消去整理可得：，

解得，则，即，

所以直线的斜率为，

则直线的方程为：，代入，解得，

故点在直线上；

②由（1），得，，

所以，

结合，得为定值，

即直线与直线的斜率之积为定值．

22．解：（1）的定义域为，

，

令，

则，

当时，，

令，解得，

所以函数在上单调递减，在上单调递增，且（3），

所以在上恒成立，所以函数在上单调递增．

（2）①当，即时，

当时，，故在上单调递减，

（1），（e），

当（e），即，即时，在，上恒成立，

所以时，在，上无零点，

当（e），即，即时，（1）（e），

由零点存在性定理可知，此时在，上有零点，

又因为函数在，上单调递减，所以此时在，上有一个零点．

②当，即时，

当时，，所以在上单调递增，

（1），（e），

当（1），即时，（1）（e），

由零点存在性定理，知此时在，上有零点，

因为在，上单调递增，故在，上仅有1个零点．

当时，（1），此时在，上无零点．

③当，即时，

当时，，当时，，

则函数在上单调递减，在上单调递增，

故．

令（a），则（a），

所以（a）在，上单调递减，且，，

所以（a）在，上先增后减，

又，

所以，故，此时在，上无零点．

综上所述，当或时，在，上有1个零点；

当时，在，上无零点．