四川省广元市苍溪县实验中学校2020届高三数学下学期适应性考试试题6理

四川省广元市苍溪县实验中学校2020届高三数学下学期适应性考试试题（6）理

第I卷 选择题（60分）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设集合，，则的值是

A． B． C． D．

2．若复数（，是虚数单位）是纯虚数，则复数的虚部为

A． B． C．3 D．

3．已知向量，，，若与共线，则的值为

A．4 B．8 C．0 D．2

4．PM2.5是空气质量的一个重要指标，我国PM2.5标准采用世卫组织设定的最宽限值，即PM2.5日均值在35μg/m3以下空气质量为一级，在35μg/m3～75μg/m3之间空气质量为二级，在75μg/m3以上空气质量为超标.如图是某市2019年12月1日到10日PM2.5日均值（单位：μg/m3）的统计数据，则下列叙述不正确的是

A．这10天中，12月5日的空气质量超标   B．这10天中有5天空气质量为二级

C．从5日到10日，PM2.5日均值逐渐降低   D．这10天的PM2.5日均值的中位数是47

5．在中，D在边上，且，E为的中点，则

A．     B．     C．     D．

6．已知随机变量，其正态分布密度曲线如图所示，若向正方形中随机投掷个点，则落入阴影部分的点个数的估计值为 附：若随机变量，则，.

A． B．  C． D．

7．已知，，，则

A． B． C． D．

8．已知是三条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题为真命题的是

A．若，则   B．若，则

C．若，则      D．若，则

9．已知F是抛物线的焦点，A，B为抛物线C上两点，且．则线段的中点到y轴的距离为

A．3     B．2    C．    D．

10．在中，，则为

A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形

11．已知抛物线：在点处的切线与曲线：相切，若动直线分别与曲线、相交于、两点，则的最小值为

A． B． C． D．

12．过点的直线与圆相切于M，N两点，且这两点恰好在椭圆上，设椭圆的右顶点为A，若四边形为平行四边形，则椭圆的离心率为

A． B． C． D．

二、填空题第II卷 非选择题（90分）

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．在二项式的展开式中，含的项的系数是___________

14．经过点且圆心在直线上的圆的方程是____.

15．已知直线恒过定点，且点在直线上，则的最大值为_____________

16．定义为数列的“均值”,已知数列的“均值”，记数列的前项和为，若对任意正整数恒成立，则实数的范围为__________．

三．解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分

17．（12分）在中，角，、的对边分别为，，，且.

（Ⅰ）求；

（II）若，且，求的面积.

18．（12分）2012年12月18日，作为全国首批开展空气质量新标准监测的74个城市之一，郑州市正式发布数据.资料表明，近几年来，郑州市雾霾治理取得了很大成效，空气质量与前几年相比得到了很大改善.郑州市设有9个监测站点监测空气质量指数（），其中在轻度污染区、中度污染区、重度污染区分别设有2,5,2个监测站点，以9个站点测得的的平均值为依据，播报我市的空气质量.

（Ⅰ）若某日播报的为118，已知轻度污染区的平均值为74，中度污染区的平均值为114，求重度污染区的平均值；

（Ⅱ）如图是2018年11月的30天中的分布，11月份仅有一天在内.

①郑州市某中学利用每周日的时间进行社会实践活动，以公布的为标准，如果小于180，则去进行社会实践活动.以统计数据中的频率为概率，求该校周日进行社会实践活动的概率；

②在“创建文明城市”活动中，验收小组把郑州市的空气质量作为一个评价指标，从当月的空气质量监测数据中抽取3天的数据进行评价，设抽取到不小于180的天数为，求的分布列及数学期望.

19．（12分）已知四棱锥，底面为菱形， ,H为上的点，过的平面分别交于点，且平面．

（Ⅰ）证明： ；

（II）当为的中点， ，与平面所

成的角为，求二面角的余弦值．

20．已知椭圆的离心率为，直线与椭圆有且只有一个交点.

（Ⅰ）求椭圆的方程和点的坐标；

（II）设为坐标原点，与平行的直线与椭圆交于不同的两点，直线与直线交于点，试判断是否为定值，若是请求出定值，若不是请说明理由.

21．是自然对数的底数，，已知函数，.

（Ⅰ）若函数有零点，求实数的取值范围；

（II）对于，证明:当时，.

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。

22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）

在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），在以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为．

（Ⅰ）求曲线的直角坐标方程和直线的普通方程；

（II）若直线与曲线相交于，两点，求的面积．

23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）

已知函数

（Ⅰ）若，，求不等式的解集；

（Ⅱ）若，，且，求证：．

理科数学参考答案

1．B 2．C 3．A 4．C 5．D 6．C 7．C 8．B 9．B 10．B 11．D              12．D

13．10      14．      15．1  16．

17．（1）∵，∴.∵，∴.

（2）∵∴，

∴，即，即.∵，∴.∵，∴.

∴.

18．（Ⅰ）设重度污染区的平均值为，则，解得.

即重度污染区平均值为172.

（Ⅱ）①由题意知，在内的天数为1，

由图可知，在内的天数为17天，故11月份小于180的天数为，

又，则该学校去进行社会实践活动的概率为.

②由题意知，的所有可能取值为0，1，2，3，且

，，

，，

则的分布列为

数学期望 .

19．（1）证明：连结交于点，连结．因为为菱形，所以，且为、的中点，因为，所以，

因为且平面，所以平面，

因为平面，所以．

因为平面， 平面，且平面平面，

所以，所以．

（2）由（1）知且，因为，且为的中点，

所以，所以平面，所以与平面所成的角为，

所以，所以，因为，所以．

分别以， ， 为轴，建立如图所示空间直角坐标系，设，则

，

所以．

记平面的法向量为，则，

令，则，所以，

记平面的法向量为，则，

令，则，所以，

记二面角的大小为，则．

所以二面角的余弦值为 ．

20．（I）由椭圆的离心率e===，则b2=a2，

则，消去x，整理得：y2﹣16y+16﹣a2=0，①由△=0，解得：a2=4，b2=3，

所以椭圆的标准方程为：+=1；所以=，则T（1，），

（Ⅱ）设直线l′的方程为y=x+t，由，解得P的坐标为（1﹣，+），

所以|PT|2=t2，设设A（x1，y1），B（x2，y2），联立，消去y整理得x2+tx+﹣1=0，

则x1+x2=﹣t，x1x2=，△=t2﹣4（﹣1）＞0，t2＜12，

y1=x1+t，y2=x2+t，|PA|==|﹣x1|，

同理|PB|=|﹣x2|，|PA|•|PB|=|（﹣x1）（﹣x2）|=|﹣（x1+x2）+x1x2|，|﹣（﹣t）+|=t2，所以==，

所以=为定值．

21．（1）由函数有零点知，方程有实数解，因为，所以．设，，

则的取值范围转化为函数在上的值域．

因为，所以当，时，函数在上单调递增，当时，函数在上单调递减，

故函数在时，取得最大值，

又上，，所以函数在上的值域为，．当时，，所以函数在上的值域为，.

从而函数有零点时，实数的取值范围为，

（2）可以转化为证明两个不等式①，②.设，所以，

当时，，函数在上单调递减，当时，

，函数在上单调递增．故函数在时，取得最小值

，所以．得证①

设，有，当时，．函数在上单调递减；当时，函数，在上单调递增．故函数在时，取得最小值．

所以，得．（仅当时取等号）

又由为增函数，得②.合并①②得证．

22．（1）由曲线的极坐标方程为，得，所以曲线的直角坐标方程是．

由直线的参数方程为（为参数），得直线的普通方程

（2）由直线的参数方程为（为参数），得（为参数），

代入，得，设，两点对应的参数分别为，，则，，

所以，

因为原点到直线的距离，所以．

23．（Ⅰ）时，或或，

解得，故不等式的解集为；

（Ⅱ）时，当且仅当时，取等.

∵，∴，

当且仅当时取等．

故．