山东省枣庄市2021届高三下学期4月模拟考试（二模）数学（含答案）

这是一份山东省枣庄市2021届高三下学期4月模拟考试（二模）数学（含答案），共17页。试卷主要包含了单项选择题， 多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

枣庄市2021届高三下学期4月模拟考试（二模）
数学试题
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）
1．已知集合A＝，B＝，则AB＝
A．(0，2] B．[0，2] C．{1，2} D．{0，1，2}
2．命题“，”的否定为
A．， B．，
C．， D．，
3．已知函数，则＝
A． B．2e C． D．
4．已知点(1，1)在抛物线C：上，则C的焦点到其准线的距离为
A． B． C．1 D．2
5．大数学家欧拉发现了一个公式：，i是虚数单位，e为自然对数的底数．此公式被誉为“数学中的天桥”．根据此公式，
（注：底数是正实数的实数指数幂的运算律适用于复数指数幂的运算）
A．1 B．﹣1 C．i D．﹣i
6．若，则＝
A．20 B．﹣20 C．15 D．﹣15
7．医用口罩由口罩面体和拉紧带组成，其中口罩面体分为内、中、外三层．内层为亲肤材质（普通卫生纱布或无纺布），中层为隔离过滤层（超细聚丙烯纤维熔喷材料层），外层为特殊材料抑菌层（无纺布或超薄聚丙烯熔喷材料层）．根据国家质量监督检验标准，医用口罩的过滤率是重要的指标，根据长期生产经验，某企业在生产线状态正常情况下生产的医用口罩的过滤率x~N(0.9372，0.01392)．若x~N(，2)(＞0)，则P(﹣2＜x≤＋2)＝0.9545，P(﹣3＜x≤＋3)＝0.9973，0.9772550≈0.3164．有如下命题：
甲：P(x≤0.9)＜0.5；乙：P(x＜0.4)＞P(x＞1.5)；丙：P(x＞0.9789)＝0.00135；丁：假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的50只口罩中过滤率大于＋2的数量，则P(X≥1)≈0.6．其中假命题是
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
8．已知椭圆C与双曲线有相同的左焦点F1、右焦点F2，点P是两曲线的一个交点，且．过F2作倾斜角为的直线交C于A，B两点（点A在x轴的上方），且，则的值为
A． B． C． D．
二、 多项选择题（本大题共4小题，每小题5分， 共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）
9．已知，，，则
A． B． C． D．
10．已知函数，则
A．在[，]上的最小值是1
B．的最小正周期是
C．直线是图象的对称轴
D．直线与的图象恰有2个公共点
11．列昂纳多·斐波那契(Leonardo Fibonacci，1170—1250年)是意大利数学家，1202年斐波那契在其代表作《算盘书》中提出了著名的“兔子问题”，于是得斐波那契数列，斐波那契数列可以如下递推的方式定义：用表示斐波那契数列的第n项，则数列满足：，．斐波那契数列在生活中有着广泛的应用，美国13岁男孩Aidan Dwyer观察到树枝分叉的分布模式类似斐波那契数列，因此猜想可按其排列太阳能电池，找到了能够大幅改良太阳能科技的方法．苹果公司的Logo设计，电影《达芬奇密码》等，均有斐波那契数列的影子．下列选项正确的是
A．
B．
C．
D．
12．如图，正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，点P是△B1CD1
内部（不包括边界）的动点．若BD⊥AP，则线段AP长度的
可能取值为
A． B．
C． D．
三、填空题（本大题共4小题， 每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）
13．已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示，为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2％的学生进行调查，则抽取的高中生中近视人数为 ．
14．如图，由四个全等的三角形与中间的一个小正方形EFGH拼成的一个大正方形ABCD中，，设，则的值为 ．

第13题 第14题
15．写出一个图象关于直线对称且在[0，2]上单调递增的偶函数＝ ．
16．2020年11月23日国务院扶贫办确定的全国832个贫困县全部脱贫摘帽，脱贫攻坚取得重大突破．为了使扶贫工作继续推向深入，2021年某原贫困县对家庭状况较困难的农民实行购买农资优惠政策．
（1）若购买农资不超过2 000元，则不给予优惠；
（2）若购买农资超过2 000元但不超过5 000元，则按原价给予9折优惠；
（3）若购买农资超过5 000元，不超过5 000元的部分按原价给予9折优惠，超过5 000元的部分按原价给予7折优惠．
该县家境较困难的一户农民预购买一批农资，有如下两种方案：
方案一：分两次付款购买，实际付款分别为3 150元和4 850元；
方案二：一次性付款购买．
若采取方案二购买这批农资，则比方案一节省 元．
四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分10分）
已知数列中，，且．记，求证：
（1）是等比数列；
（2）的前项和满足．








18．（本小题满分12分）
若(，)的部分图象如图所示，，．
（1）求的解析式；
（2）在锐角△ABC中，若A＞B，，求，并证明．


19．（本小题满分12分）
如图，正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，点F在棱CC1上，过B，D1，F三点的正方体的截面与直线AA1交于点E．
（1）找到点E的位置，作出截面（保留作图痕迹），并说明理由；
（2）已知CF＝a，求将正方体分割所成的上半部分的体积与下半部分的体积之比．


20．（本小题满分12分）
天问一号火星探测器于2021年2月10日成功被火星捕获，实现了中国在深空探测领域的技术跨越．为提升探测器健康运转的管理水平，西安卫星测控中心组织青年科技人员进行探测器遥控技能知识竞赛，已知某青年科技人员甲是否做对每个题目相互独立，做对A，B，C三道题目的概率以及做对时获得相应的奖金如表所示．

规则如下：按照A，B，C的顺序做题，只有做对当前题目才有资格做下一题．
（1）求甲获得的奖金X的分布列及均值；
（2）如果改变做题的顺序，获得奖金的均值是否相同？如果不同，你认为哪个顺序获得奖金的均值最大？（不需要具体计算过程，只需给出判断）


21．(本题满分12分)
已知动点M与两个定点O(0，0)，A(3，0)的距离的比为，动点M的轨迹为曲线C．
（1）求C的轨迹方程，并说明其形状；
（2）过直线上的动点P(3，p)(p≠0)分别作C的两条切线PQ、PR（Q、R为切点），N为弦QR的中点，直线l：分别与x轴、y轴交于点E、F，求△NEF的面积S的取值范围．
















22．(本题满分12分)
已知函数，且．
（1）求实数的值，并判断在(0，)上的单调性；
（2）对确定的，求在[，]上的零点个数．







山东省枣庄市2021届高三第二次模拟测试
数学试题
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）
1．已知集合A＝，B＝，则AB＝
A．(0，2] B．[0，2] C．{1，2} D．{0，1，2}
答案：C
解析：集合A＝＝(0，)，B＝＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，所以AB＝{1，2}，故选C．
2．命题“，”的否定为
A．， B．，
C．， D．，
答案：C
解析：全称量词的否定，首先全称量词改为存在量词，其次否定结论，故选C．
3．已知函数，则＝
A． B．2e C． D．
答案：A
解析：，故选A．
4．已知点(1，1)在抛物线C：上，则C的焦点到其准线的距离为
A． B． C．1 D．2
答案：B
解析：因为点(1，1)在抛物线C上，所以1＝2p，p＝，故C的焦点到其准线的距离为，故选B．
5．大数学家欧拉发现了一个公式：，i是虚数单位，e为自然对数的底数．此公式被誉为“数学中的天桥”．根据此公式，
（注：底数是正实数的实数指数幂的运算律适用于复数指数幂的运算）
A．1 B．﹣1 C．i D．﹣i
答案：D
解析：，故选D．
6．若，则＝
A．20 B．﹣20 C．15 D．﹣15
答案：B
解析：，，故选B．
7．医用口罩由口罩面体和拉紧带组成，其中口罩面体分为内、中、外三层．内层为亲肤材质（普通卫生纱布或无纺布），中层为隔离过滤层（超细聚丙烯纤维熔喷材料层），外层为特殊材料抑菌层（无纺布或超薄聚丙烯熔喷材料层）．根据国家质量监督检验标准，医用口罩的过滤率是重要的指标，根据长期生产经验，某企业在生产线状态正常情况下生产的医用口罩的过滤率x~N(0.9372，0.01392)．若x~N(，2)(＞0)，则P(﹣2＜x≤＋2)＝0.9545，P(﹣3＜x≤＋3)＝0.9973，0.9772550≈0.3164．有如下命题：
甲：P(x≤0.9)＜0.5；乙：P(x＜0.4)＞P(x＞1.5)；丙：P(x＞0.9789)＝0.00135；丁：假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的50只口罩中过滤率大于＋2的数量，则P(X≥1)≈0.6．其中假命题是
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
答案：D
解析：对于丁，P(X≥1)＝，故假命题是丁，选D．
8．已知椭圆C与双曲线有相同的左焦点F1、右焦点F2，点P是两曲线的一个交点，且．过F2作倾斜角为的直线交C于A，B两点（点A在x轴的上方），且，则的值为
A． B． C． D．
答案：A
解析：首先求出椭圆C的离心率是e＝，因为，所以，＞2，所以，解得，故选A．
二、 多项选择题（本大题共4小题，每小题5分， 共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）
9．已知，，，则
A． B． C． D．
答案：BCD
解析：首先可得0＜b＜1，当，时，，故A错误；经判断，其他选项均正确，故选BCD．
10．已知函数，则
A．在[，]上的最小值是1
B．的最小正周期是
C．直线是图象的对称轴
D．直线与的图象恰有2个公共点
答案：ACD
解析：，，而，故的最小正周期是，B错误；当x[，]时，，此时[，]，所以[1，2]，故A正确；
，作出的图像，再作出直线的图像，可以判断出C、D都正确，故选ACD．
11．列昂纳多·斐波那契(Leonardo Fibonacci，1170—1250年)是意大利数学家，1202年斐波那契在其代表作《算盘书》中提出了著名的“兔子问题”，于是得斐波那契数列，斐波那契数列可以如下递推的方式定义：用表示斐波那契数列的第n项，则数列满足：，．斐波那契数列在生活中有着广泛的应用，美国13岁男孩Aidan Dwyer观察到树枝分叉的分布模式类似斐波那契数列，因此猜想可按其排列太阳能电池，找到了能够大幅改良太阳能科技的方法．苹果公司的Logo设计，电影《达芬奇密码》等，均有斐波那契数列的影子．下列选项正确的是
A．
B．
C．
D．
答案：BD
解析：选项A，，，显然，A错误；选项C，当n＝3时，，，故，C错误．故选BD．
12．如图，正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，点P是△B1CD1
内部（不包括边界）的动点．若BD⊥AP，则线段AP长度的
可能取值为
A． B．
C． D．
答案：ABC
解析：根据BD⊥平面ACC1A1，设O1为A1C1与B1D1的交点，则平面ACC1A1平面B1CD1＝O1C，故点P在线段O1C上运动，求得O1A＝O1C＝，AC＝，点A到O1C的距离为，故≤AP＜，故选ABC．
三、填空题（本大题共4小题， 每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）
13．已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示，为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2％的学生进行调查，则抽取的高中生中近视人数为 ．

答案：20
解析：2000×50%×2%＝20（人）
14．如图，由四个全等的三角形与中间的一个小正方形EFGH拼成的一个大正方形ABCD中，，设，则的值为 ．

答案：
解析：连接BD交AF于点M，令BF＝1，则AF＝3，
tan∠FBM＝tan(∠ABF﹣45°)＝，所以FM＝，AM＝，
根据等和线知识可得．
15．写出一个图象关于直线对称且在[0，2]上单调递增的偶函数＝ ．
答案：答案不唯一，开放性试题，符合题意的均给分
解析：；；，[4k﹣2，4k＋2]，Z；，[4k﹣2，4k＋2]，Z等（符合题意的均给分，注意不正确）
16．2020年11月23日国务院扶贫办确定的全国832个贫困县全部脱贫摘帽，脱贫攻坚取得重大突破．为了使扶贫工作继续推向深入，2021年某原贫困县对家庭状况较困难的农民实行购买农资优惠政策．
（1）若购买农资不超过2 000元，则不给予优惠；
（2）若购买农资超过2 000元但不超过5 000元，则按原价给予9折优惠；
（3）若购买农资超过5 000元，不超过5 000元的部分按原价给予9折优惠，超过5 000元的部分按原价给予7折优惠．
该县家境较困难的一户农民预购买一批农资，有如下两种方案：
方案一：分两次付款购买，实际付款分别为3 150元和4 850元；
方案二：一次性付款购买．
若采取方案二购买这批农资，则比方案一节省 元．
答案：700
解析：3150÷0.9＝3500，(4850﹣4500)÷0.7＋5000＝5500，3500＋5500＝9000，
4500＋4000×0.7＝7300，3150＋4850﹣7300＝700．
四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分10分）
已知数列中，，且．记，求证：
（1）是等比数列；
（2）的前项和满足．
解：（1）证明：由，得，
又，所以是以2为首项，2为公比的等比数列，
（2）由（1）知，，
于是，


因为，所以．

18．（本小题满分12分）
若(，)的部分图象如图所示，，．
（1）求的解析式；
（2）在锐角△ABC中，若A＞B，，求，并证明．

解：（1）由，得，又，故，
由，得，
所以，
即，
由，结合函数图象可知，所以，
所以有，即，又，所以，
从而，因此，；
（2）由，得，
又，故，
于是，
又，所以，
又在上单调递增，，
所以．

19．（本小题满分12分）
如图，正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，点F在棱CC1上，过B，D1，F三点的正方体的截面与直线AA1交于点E．
（1）找到点E的位置，作出截面（保留作图痕迹），并说明理由；
（2）已知CF＝a，求将正方体分割所成的上半部分的体积与下半部分的体积之比．

解：（1）在正方形中，过F作FG∥DC，且交棱于点G，
连接AG，在正方形内过作，且交棱于点E，
连接，则四边形就是要作的截面，
理由：由题意，平面，
，平面平面，
应有，
同理，，所以四边形应是平行四边形，
由作图过程，又
所以，所以四边形ABFG是平行四边形，
所以AG∥BF，AG＝BF，
由作图过程，，又EA∥，
所以四边形是平行四边形，所以
又，所以，且，
所以四边形是平行四边形，四边形就是要作的截面；
方法不唯一，其他方法正确的一律给分，
（2）由题意，，由（1）的证明过程，可得，
连接，则平面将正方体分割所成的上半部分的几何体可视为四棱锥与四棱锥的组合体，

该正方体的体积所以
20．（本小题满分12分）
天问一号火星探测器于2021年2月10日成功被火星捕获，实现了中国在深空探测领域的技术跨越．为提升探测器健康运转的管理水平，西安卫星测控中心组织青年科技人员进行探测器遥控技能知识竞赛，已知某青年科技人员甲是否做对每个题目相互独立，做对A，B，C三道题目的概率以及做对时获得相应的奖金如表所示．

规则如下：按照A，B，C的顺序做题，只有做对当前题目才有资格做下一题．
（1）求甲获得的奖金X的分布列及均值；
（2）如果改变做题的顺序，获得奖金的均值是否相同？如果不同，你认为哪个顺序获得奖金的均值最大？（不需要具体计算过程，只需给出判断）
解：（1）分别用A，B，C表示做对题目A，B，C的事件，则A，B，C相互独立，
由题意，X的可能取值为0，1000，3000，6 000
P(X＝0)＝P()＝0.2；P(X＝1000)＝P(A)＝0.8×0.4＝0.32
P(X＝3000)＝＝0.8×0.6×0.6＝0.288
P(X＝6000)＝P(ABC)＝0.8×0.6×0.4＝0.192
所以甲获得的奖金X的分布列为：

E(X)＝0×0.2＋1000×0.32＋3000×0.288＋6000×0.192＝2336；
（2）改变做题的顺序，获得奖金的均值互不相同，
决策的原则是选择期望值E(X)大的做题顺序，这称为期望值原则，做对的概率大表示题目比较容易，做对的概率小表示题目比较难．猜想：按照由易到难的顺序做题，即按照题目A，B，C的顺序做题，得到奖金的期望值最大．
21．(本题满分12分)
已知动点M与两个定点O(0，0)，A(3，0)的距离的比为，动点M的轨迹为曲线C．
（1）求C的轨迹方程，并说明其形状；
（2）过直线上的动点P(3，p)(p≠0)分别作C的两条切线PQ、PR（Q、R为切点），N为弦QR的中点，直线l：分别与x轴、y轴交于点E、F，求△NEF的面积S的取值范围．
解：（1）设，由，得，
化简得，即，
故C是以(﹣1，0)为圆心，半径为2的圆，
（2）设，又，则DP的中点为，
以线段DP为直径的圆的方程为，
整理得
由题意，Q、R在以DP为直径的圆上，
又Q、R在C：上，
由，得，
所以，切点弦QR所在直线的方程为
可见QR恒过坐标原点O(0，0)，
由消去x并整理得
设，则，
点N纵坐标，
因为，显然，
所以点N与点D(﹣1，0)，O(0，0)均不重合，
因为N为弦QR的中点，且D(﹣1，0)为圆C的圆心，
由圆的性质，可得DN⊥QR，即DN⊥ON，
所以点N在以OD为直径的圆上，圆心为G(，0)，半径r＝，
因为直线分别与x轴、y轴交于点E、F，
所以，因此，
圆心到直线的距离，
设△NEF的边EF上的高为h，则点N到直线的距离h的最小值为；点N到直线的距离h的最大值为．
S的最小值，最大值．
因此△NEF的面积S的取值范围是．
22．(本题满分12分)
已知函数，且．
（1）求实数的值，并判断在(0，)上的单调性；
（2）对确定的，求在[，]上的零点个数．
解：（1）函数的定义域为R，
所以，由题意，，即
于是，
当时，
所以在(0，)上单调递增；
（2）因为，所以与在上有相同的零点，

当时，

又，所以，
所以，当时，单调递减，
又
由零点存在性定理及的单调性，知在上有且仅有一个零点，
所以在上恰有一个零点．