安徽省滁州市定远县民族中学2021届高三5月模拟检测 数学（理）（含答案）

2021届高三下学期5月模拟检测

高三理科数学

一、单选题（本大题共12小题，共60分）

1. 已知全集，，则集合

A.  B.  C.  D.

2. 己知i是虚数单位，复数，下列说法正确的是

A. z的虚部为 B. z对应的点在第一象限
C. z的实部为 D. z的共轭复数为

3. 已知向量满足，则

A. 3 B.  C. 7 D.

4. 函数且的图象大致是

A.  B.
C.  D.

5. 执行如图程序框图，输出的结果为   

A. 1     B.       C.                   D.
 

6. 自2021年1月1日起，中华人民共和国民法典开始施行，为了解某市市民对中华人民共和国民法典的了解情况，决定发放份问卷，并从中随机抽取200份进行统计，已知该问卷满分100分，通过对随机抽取的200份问卷成绩进行统计得到了如图所示的频率分布直方图，估计这份问卷中成绩不低于80分的份数为   

A. 840 B. 720 C. 600 D. 540

7. “杨辉三角”是中国古代重要的数学成就，它比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年，如图是由“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵，记为图中虚线上的数1，3，6，10，构成的数列的第n项，则的值为

A. 5049           B. 5050               C. 5051      D. 5101

8. 已知函数的图象经过点，且将图象向左平移个长度单位后恰与原图象重合．若对任意的，，都有成立，则实数t的最大值是

A.  B.  C.  D.

9. 饕餮纹，青铜器上常见的花纹之一，盛行于商代至西周早期，最早出现在距今五千年前长江下游地区的良渚文化玉器上．有人将饕餮纹的一部分画到了方格纸上，如图所示，每个小方格的边长为1，有一点P从A点出发，每次向右或向下跳一个单位长度，且向右或向下跳是等可能性的，那么它经过3次跳动后，恰好是沿着饕餮纹的路线到达点B的概率为

A.  B.  C.  D.

10. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，实轴长为6，渐近线方程为，动点M在双曲线左支上，点N为圆上一点，则的最小值为   

A. 8 B. 9 C. 10 D. 11

11. 我国古代九章算术里，记载了一个“商功”的例子：今有刍童，下广二丈，袤三丈，上广三丈，袤四丈，高三丈．问积几何其意思是：今有上下底面皆为长方形的草垛如图所示，下底宽2丈，长3丈，上底宽3丈，长4丈，高3丈．问它的体积是多少该书提供的算法是：上底长的2倍与下底长的和与上底宽相乘，同样下底长的2倍与上底长的和与下底宽相乘，将两次运算结果相加，再乘以高，最后除以则这个问题中的刍童的体积为

A. 立方丈 B. 立方丈 C. 53立方丈 D. 106立方丈

12. 已知，，，，则a，b，c的大小关系为   

A.  B.  C.  D.

二、单空题（本大题共4小题，共20分）

13. 设向量，，如果向量与平行，则______．
14. 已知实数x，y满足不等式组，若目标函数取得最大值时的唯一最优解是，则实数a的取值范围为______．
15. 已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，点P在其右支上，的内切圆为，，垂足为点M，O为坐标原点，则__________．
16. 设是定义在R上的偶函数，，都有，且当时，，若函数在区间内恰有三个不同零点，则实数a的取值范围是__________．

三、解答题(本大题共6小题,共70分。其中22、23为选考题。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。)

17. （12分）设等差数列的前n项和为，且，．
    Ⅰ求数列的通项公式及前n项和公式
    Ⅱ求证：．
    
    
    
    
    
    
     
18. （12分）已知四棱锥，底面ABCD为菱形，，H为PC上的点，过AH的平面分别交PB，PD于点M，N，且平面AMHN．
    
    Ⅰ证明：；
    Ⅱ当H为PC的中点，，PA与平面ABCD所成的角为，求二面角的余弦值．
    
    
    
    
    
    
     
19. （12分）在某市高中某学科竞赛中，某一个区4000名考生的参赛成绩统计如图所示．
    
    求这4000名考生的竞赛平均成绩同一组中数据用该组区间中点作代表；
    由直方图可认为考生竞赛成绩z服从正态分布，其中，分别取考生的平均成绩和考生成绩的方差，那么该区4000名考生成绩超过分的人数估计有多少人？
    如果用该区参赛考生成绩的情况来估计全市的参赛考生的成绩情况，现从全市参赛考生中随机抽取4名考生，记成绩不超过分的考生人数为，求精确到
    附：，；
         ，则，；
         ．
     
20. （12分）已知椭圆的离心率为，经过点设椭圆G的右顶点为A，过原点O的直线l与椭圆G交于P，Q两点点Q在第一象限，且与线段AB交于点M．
    Ⅰ求椭圆G的标准方程；
    Ⅱ是否存在直线l，使得的面积是的面积的3倍？若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由．
     
21. （12分）已知函数

Ⅰ讨论极值点的个数；

Ⅱ若是的一个极值点，且，证明：

 

22. 【选修4 - 4：坐标系与参数方程】（10分）

在直角坐标系中xOy中，曲线C的参数方程为为参数，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为．
设P是曲线C上的一个动点，当时，求点P到直线l的距离的最大值；
若曲线C上所有的点均在直线l的右下方，求a的取值范围．

 

23. 【选修：不等式选讲 】（10分）

已知函数．

解关于x的不等式；

设，若关于x的不等式的解集非空，求a的取值范围．

答案解析

1.D
【解析】，，，
故A，
故C，故选：D．
2.D

【解析】，
的实部为1，虚部为；
z对应的点的坐标为，在第四象限
z的共轭复数为．
故ABC错误，D正确故选D．

3.B

【解析】向量满足，
，
，
，
，故选：B
4.B

【解析】函数且是偶函数，故排除A．
当时，，
得，令，
作出与图象如图：

可知两个函数有一个交点，就是函数在上有一个极值点，故排除D．
，故排除C．故选B．
5.C

【解析】由程序框图知，第一次循环，，，故，；
第二次循环，，，故，；
第三次循环，，，故，不成立，循环结束，输出，
故选C．
6.A

【解析】由频率分布直方图知，随机抽取的200份问卷中成绩不低于80分的频率为，
则这3000份问卷中成绩不低于80分的概率为，所以可估计这3000份问卷中成绩不低于80分的份数为．故选A．
7.B

【解析】设第n个数为，
则，
，
，
，
，
叠加可得，
，故选：B．
8.A

【解析】由函数的图象经过点得，解得，
又图象向左平移个长度单位后恰与原图象重合，所以，解得，结合，可得，
所以．
对任意的，，都有成立，即对任意的，，，
由于在上单调递增，且最小值为，最大值为，所以时满足题意；
由于在上单调递减，且最小值为，最大值为，所以时满足题意；
当时，，不满足题意，故，即实数t的最大值是．故选A．
9.B
【解析】点P从A点出发，每次向右或向下跳一个单位长度，
则有右，右，右，右，右，下，右，下，右下，右，右，
右，下，下，下，右，下，下，下，右，下，下，下共8种不同的跳法线路，
符合题意的只有下，下，右这1种，所以三次跳动后，
恰好是沿着饕餮纹的路线到达点B的概率为．故选B．
10.B

【解析】由题意可得，即，
渐近线方程为，即有，即，
可得双曲线方程为，焦点为，．
由双曲线的定义可得．
由圆可得圆心，半径，．
如图，连接，交双曲线于M，交圆于N，

可得取得最小值，且，
则的最小值为．故选B．
11.B

【解析】由题意知，刍童的体积为

立方丈，故选B．
12.D

【解析】已知，
则，
，
，
则，，，
故．
故选D．
13.
 

【解析】，，
与平行，，
解得，
则．
故答案为：．
14.
 

【解析】不等式的可行域，如图所示
令，则可得，当z最大时，直线的纵截距最大，画出直线将a变化，
结合图象得到当时，直线经过时纵截距最大

故答案为
15.1
 

【解析】

如图延长，使交于点H．
由双曲线的定义可得．
因为OM为的中位线，所以．
故答案为1．

16.
 

【解析】设是定义在R上的偶函数，，都有，
，
，
的周期为4，
函数在区间内恰有三个不同零点，
令，
与有3个交点，
结合题意画出函数在上的图象
与函数的图象，
若，要使与的图象，恰有3个交点，如图，

则
即，
解得
即，
若，要使与的图象，恰有3个交点，如图，

则
即
解得，
即，
综上a的取值范围是
17.Ⅰ解：由题意，设等差数列的公差为d，则
，
即，解得．
，．
．
Ⅱ证明：由知，
当时，．
当时，





．
故得证．
 

18.Ⅰ证明：连接AC交BD于O，
因为ABCD为菱形，所以，且O为AC、BD的中点，
，．
，且面PAC、面PAC．
面PAC．
面PAC，．
平面AMHN，且面平面，面PBD，
．
．
Ⅱ解：由Ⅰ得且，，且O为AC中点，
，又，面ABCD，面ABCD，
面ABCD， 与平面 ABCD 所成的角为．
可得，，
，．
以O为原点，建立如图的空间直角坐标系．

记，0，，0，，
，，
0，，
，，，
设平面 AMHN的法向量为y，，
由，取，可得．
设平面PAB的法向量为，
由，取，可得
，
所以二面角  的余弦值为：．
 

19.解：由题意知：，
名考生的竞赛平均成绩为．
依题意z服从正态分布，其中，，，
服从正态分布，
而，
．
竞赛成绩超过的人数估计为人人．
全市竞赛考生成绩不超过的概率为．
而，
．
 

20.解：Ⅰ由题意可知：，解得．
椭圆G的标准方程为．
Ⅱ设，则，可知，．
若使的面积是的面积的3倍，只需使得，
即，即．
由，，
直线AB的方程为．
点M在线段AB上，，整理得，
点Q在椭圆G上，，
把式代入式可得，
判别式小于零，该方程无解．
不存在直线l，使得的面积是的面积的3倍．
 

21.Ⅰ解：，
若，则，所以当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
是的一个极值点；
若，令，解得，，
当，即时，恒成立，则没有极值点；
当，即时，或时，，时，，
此时有两个极值点；
当，即时，或时，，时，，
此时有两个极值点；
综上，时，无极值点；时，有一个极值点；或时，有两个极值点．
Ⅱ证明：由Ⅰ知，或，又，则，
则，
令，，则，
，，则时，，时，，
则是的极大值点，，
故，即．
 

22.解：由，得，
化成直角坐标方程得，
直线l的方程为，依题意，设，
则P到直线l的距离，
当，即，时，，
故点P到直线l的距离的最大值为．
因为曲线C上的所有点均在直线l的右下方，
，恒成立，即 其中恒成立，
，又，解得，
故a取值范围
 

23.解：由得，
即或解得或由，
得，不成立．无实数解．
原不等式的解集为．
的解集非空，
即有解，当时，由得，，
当时，无解．
当时，不等式
化为函数在上为单调递减函数，
当时，的最小值为．
．
当时，由
得，而时，等号成立．
的最小值为．
综上所述，a的取值范围是．