四川省广元市苍溪县实验中学校2020届高三数学下学期适应性考试试题5理

四川省广元市苍溪县实验中学校2020届高三数学下学期适应性考试试题（5）理

第I卷 选择题（60分）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合,,则=

A． B． C． D．

2．已知复数z满足，则

A．1 B． C． D．2

3．某公司生产，，三种不同型号的轿车，产量之比依次为，为检验该公司的产品质量，用分层抽样的方法抽取一个容量为的样本，若样本中种型号的轿车比种型号的轿车少8辆，则

A．96 B．72 C．48 D．36

4．已知向量，的夹角为，且，，则

A． B．3 C． D．

5．为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点

A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度

C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度

6．若实数x，y满足条件，目标函数，则z 的最大值为

A． B．1 C．2 D．0

7．(+)(2-)5的展开式中33的系数为

A．-80 B．-40 C．40 D．80

8．已知双曲线：的一条渐近线过点，则的离心率为

A． B．

C． D．3

9．若不等式对于一切恒成立，则的最小值是  

A．0 B． C． D．

10．某简单几何体的三视图如图所示,若该几何体的所有顶点都在球的球面上,则球的体积是

A．    B．       C．     D．

11．已知是长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是

A． B． C． D．

12．函数在区间上的零点个数为

A．2 B．3 C．4 D．5

第II卷 非选择题（90分）

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知直线：，：，且，则k的值______.

14．不等式在区间上的解集为__________．

15．已知直线与双曲线的一条渐近线交于点，双曲线的左、右顶点分别为，，若，则双曲线的离心率为_____.

16．已知函数（）为奇函数，，若函数与图像的交点为，，…，，则=________.

三、解答题三．解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分

17．（12分）的内角的对边分别为，已知.

（1）求的大小；

（2）若，求面积的最大值.

18．（12分）2020年春季，某出租汽车公司决定更换一批新的小汽车以代替原来报废的出租车，现有采购成本分别为万元/辆和万元/辆的两款车型，根据以往这两种出租车车型的数据，得到两款出租车车型使用寿命频数表如下：

（1）填写下表，并判断是否有的把握认为出租车的使用寿命年数与汽车车型有关？

（2）从和的车型中各随机抽取车，以表示这车中使用寿命不低于年的车数，求的分布列和数学期望；

（3）根据公司要求，采购成本由出租公司负责，平均每辆出租车每年上交公司万元，其余维修和保险等费用自理.假设每辆出租车的使用寿命都是整数年，用频率估计每辆出租车使用寿命的概率，分别以这辆出租车所产生的平均利润作为决策依据，如果你是该公司的负责人，会选择采购哪款车型？

附：，.

19．（12分）如图，在三棱柱中，平面，分

20．别为的中点，，.

（1）求证：平面；

（2）求二面角的余弦值；

20．（12分）已知定点S( -2，0) ，T(2，0)，动点P为平面上一个动点，且直线SP、TP的斜率之积为.

（1）求动点P的轨迹E的方程；

（2）设点B为轨迹E与y轴正半轴的交点，是否存在直线l，使得l交轨迹E于M，N两点，且F(1，0)恰是△BMN的垂心?若存在，求l的方程;若不存在，说明理由.

21．（12分）已知函数，.

（1）求的极值；   （2）若方程有三个解，求实数的取值范围.

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。

22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）

在直角坐标系中，曲线C的参数方程为（为参数），直线l的方程为y=kx.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系；

（1）求曲线C的极坐标方程；

（2）曲线C与直线l交于A、B两点，若，求k的值.

23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知，且．

（1）求证：；

（2）当时，不等式恒成立，求的取值范围．

理科数学参考答案

1．C 2．C 3．B 4．C 5．D 6．C 7．C 8．C 9．C 10．B 11．B              12．C

13．  14．  15．或  16．3m

17．（1）由正弦定理得：

    ，又   

，即

由得：

（2）由余弦定理得：

又（当且仅当时取等号）   

即三角形面积的最大值为：

18．（1）填表如下：

由列联表可知，

故有的把握认为出租车的使用寿命年数与汽车车型有关.

（2）由题意可知，型车使用寿命不低于年的车数占，低于年的车数占；型车使用寿命不低于年的车数占，低于年的车数占.且可能的取值为.

，，，

的分布列为：

其数学期望.

（3）用频率估计概率，这辆款出租车的平均利润为：

（万元），

这辆款出租车的平均利润为：（万元），

故会选择采购款车型.

19．解：（1）在三棱柱中，平面，四边形为矩形.

又分别为的中点，

又，

平面，平面平面.

（2）由（1）知，由平面，平面.

如图建立空间直角坐称系.

由题意得

设平面的法向量为，

，，

令，则，平面的法向量，

又平面的法向量为，.

所以二面角的余弦值为.

20．（1）设，由已知有，

整理得动点P的轨迹E的方程为

（2）由（1）知，的方程为，所以

又，所以直线的斜率，

假设存在直线，使得是的垂心，则.

设的斜率为，则，所以.

设的方程为，.

由，得，

由，得，

.

因为，所以，因为，

所以，

即，

整理得，

所以，

整理得，解得或，

当时，直线过点，不能构成三角形，舍去；

当时，满足，

所以存在直线：，使得是的垂心.

21．（1）的定义域为，，

当时，在上递减，在上递增，所以在处取得极小值，

当时，，所以无极值，

当时，在上递增，在上递减，所以在处取得极大值.

（2）设，即，

.

①若，则当时，，单调递减，当时，，单调递增，至多有两个零点.

②若，则，（仅）.单调递增，至多有一个零点.

③若，则，当或时，，单调递增；当时，，单调递减，要使有三个零点，必须有成立.

由，得，这与矛盾，所以不可能有三个零点.

④若，则.当或时，，单调递增；当时，，单调递减，要使有三个零点，必须有成立，

由，得，由及，得，

.

并且，当时，，，

，.

综上，使有三个零点的的取值范围为.

22．（1），

所以曲线的极坐标方程为. 

（2）设直线的极坐标方程为，其中为直线的倾斜角，

代入曲线得设所对应的极径分别为.

，

，

满足，

或的倾斜角为或，则或．

23．解：（1）由柯西不等式得．

∴，当且仅当时取等号．∴；

（2），

要使得不等式恒成立，即可转化为，

当时，，可得，

当时，，可得，

当时，，可得，

∴的取值范围为：．