四川省广元市苍溪县实验中学校2020届高三数学下学期适应性考试试题1理
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第I卷 选择题（60分）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知为虚数单位，复数满足，则复数在复平面内对应的点在
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．已知集合，，则中元素的个数为
A．3 B．2 C．1 D．0
3．已知条件，条件直线与直线平行，则是的
A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．函数的大致图象是
A．B．C． D．
5．已知数列 是公比为 的等比数列，且 ， ， 成等差数列，则公比 的值为
A． B． C． 或 D． 或
6．的展开式中的系数为( )
A．－30 B．－40 C．40 D．50
7．已知类产品共两件，类产品共三件，混放在一起，现需要通过检测将其区分开来，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件类产品或者检测出3件类产品时，检测结束，则第一次检测出类产品，第二次检测出类产品的概率为
A． B． C． D．
8．设长方体的长、宽、高分别为，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为
A．3a2 B．6a2 C．12a2 D．24a2
9．给甲、乙、丙、丁四人安排泥工、木工、油漆三项工作，每项工作至少一人，每人做且仅做一项工作，甲不能安排木工工作，则不同的安排方法共有
A．12种 B．18种 C．24种 D．64种
10．关于函数有下述四个结论：
①是偶函数；②的最大值为；
③在有个零点；④在区间单调递增.
其中所有正确结论的编号是
A．①② B．①③ C．②④ D．①④
11．已知双曲线，点是直线上任意一点，若圆与双曲线的右支没有公共点，则双曲线的离心率取值范围是
A． B． C． D．
12．已知函数，，若成立，则的最小值是
A． B． C． D．
第II卷 非选择题（90分）
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知随机变量服从正态分布，则___________.
14．已知实数，满足，则的最大值为______.
15．已知，则满足的的取值范围为_______．
16．函数的值域为_________．
三．解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分
17．（12分）△的内角的对边分别为,且．
(I)求角的大小
（II）若,△的面积,求△的周长．
18．（12分）某百货商店今年春节期间举行促销活动，规定消费达到一定标准的顾客可进行一次抽奖活动，随着抽奖活动的有效开展，参与抽奖活动的人数越来越多，该商店经理对春节前天参加抽奖活动的人数进行统计，表示第天参加抽奖活动的人数，得到统计表格如下：
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | |
5 | 8 | 8 | 10 | 14 | 15 | 17 |
(I)经过进一步统计分析，发现与具有线性相关关系．请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程；
（II）该商店规定：若抽中“一等奖”，可领取600元购物券；抽中“二等奖”可领取300元购物券；抽中“谢谢惠顾”，则没有购物券．已知一次抽奖活动获得“一等奖”的概率为，获得“二等奖”的概率为．现有张、王两位先生参与了本次活动，且他们是否中奖相互独立，求此二人所获购物券总金额的分布列及数学期望．
参考公式：，，，．
19．（12分）如图在直角中，为直角，，，分别为，的中点，将沿折起，使点到达点的位置，连接，，为的中点．
（Ⅰ）证明：面；
（Ⅱ）若，求二面角的余弦值．
20．（12分）已知抛物线和圆，倾斜角为45°的直线过抛物线的焦点，且与圆相切．
（Ⅰ）求的值；
（II）动点在抛物线的准线上，动点在上，若在点处的切线交轴于点，设．求证点在定直线上，并求该定直线的方程．
21．（12分）已知函数
（Ⅰ）若讨论的单调性;
（II）当时,若函数与的图象有且仅有一个交点,求的值(其中表示不超过的最大整数,如.
参考数据:
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
在平面直角坐标系中，圆的参数方程（为参数），在极坐标系（与平面直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴的非负半轴为极轴）中，直线的方程为.
（Ⅰ）求圆的普通方程及直线的直角坐标方程；
（II）若圆心到直线的距离等于2，求的值.
23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）
已知函数．
（Ⅰ）解不等式；
（II）若对于，，有，，求证：．
理科数学参考答案
1．B 2．C 3．C 4．C 5．D 6．C 7．D 8．B 9．C 10．D 11．B 12．A
13． 14． 15． 16．
17．（I）∵，∴．
∴，
∴，
∴，∴，∴．
（II）依题意得：∴，
∴，∴， ∴，
∴的周长为．
18．（I）依题意：，
，，，
，，
则关于的线性回归方程为．
（II）二人所获购物券总金额的可能取值有、、、、元，它们所对应的概率分别为：
，，，
，．
所以，总金额的分布列如下表：
0 | 300 | 600 | 900 | 1200 | |
总金额的数学期望为元．
19．证明：（Ⅰ ）取中点，连结、，
∵ ，，∴ 四边形是平行四边形，
∵ ，，，∴ ，
∴ ，∴，在中，，
又∵ 为的中点，∴，
又∵ ，∴．
解：（Ⅱ）∵，，，
∴ ，
以为原点，、、所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，
设，则，，，，
∴ ，，，
设面的法向量，则，取，得，
同理，得平面的法向量，设二面角的平面角为，
则，∴ 二面角的余弦值为．
20．解：（1）依题意设直线的方程为，
由已知得：圆的圆心，半径，因为直线与圆相切，
所以圆心到直线的距离，即，解得或（舍去）．
所以；
（2）依题意设，由（1）知抛物线方程为，
所以，所以，设，则以为切点的切线的斜率为，
所以切线的方程为．
令，，即交轴于点坐标为，
所以， ，
，．设点坐标为，则，
所以点在定直线上．
21．解：（1）
对于函数
当时，则在单调递减；
当时，令，则，解得
在单调递减；
令，解得，所以在单调递增．
（2）且两函数有且仅有一个交点 ，则方程
即方程在只有一个根
令，则
令，则
在单调递减，在上单调递增，故
注意到在无零点，在仅有一个变号的零点
在 单调递减，在单调递增，注意到
根据题意为 的唯一零点即
消去，得：
令，可知函数在上单调递增
，
22．（Ⅰ）消去参数，得到圆的普通方程为.
由，得.所以直线的直角坐标方程为.
（Ⅱ）依题意，圆心到直线的距离等于2，即，解得.
23．（1）由得，
则或或
解得，或，或，即，
所以不等式的解集为.
（2）证明：由，，
所以.
