【精品试题】高考数学一轮必刷题 专题70 不等式的证明、柯西不等式与均值不等式（含解析）

专题70 不等式的证明、柯西不等式与均值不等式
1．（广西桂林市，贺州市，崇左市2019年高三下学期3月联合调研考试数学理）选修4-5：不等式选讲
设函数.
（1）若，，求的解集；
（2）若的最小值为8，求的最大值.
2．（天津市耀华中学2019届高三第二次校模拟考试数学理）已知数列的前项和是，且
（Ⅰ）求数列的通项公式
（Ⅱ）求证：对任意的，不等式成立。
3．（山东省威海市2019届高三二模考试数学理）已知正实数满足.
(Ⅰ)求证：；
(Ⅱ) 若对任意正实数，不等式恒成立，求实数的取值范围.
4．（天津市2019年3月九校联考高三数学理）已知数列是公比为的等比数列，且是与的等比中项，其前项和为；数列是等差数列，，其前项和满足(为常数，且).
(1)求数列的通项公式及的值；
(2)设.求证：当时，.
5．（山西省太原市2019届高三模拟试题一理）已知函数.
（1）求不等式的解集；
（2）若存在实数，使得成立的的最大值为，且实数，满足，证明：.
6．（河南省濮阳市2019届高三第二次模拟考试数学理）已知函数.
（Ⅰ）当时，讨论函数的单调性；
（Ⅱ）当，时，，其中，证明：.
7．（川省华文大教育联盟2019届高三第二次质量检测考试数学理）已知函数，且不等式的解集为M.
(1)求；
(2)若，求证：．
8．（东北三省三校（哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学)2019届高三第一次模拟数学理）选修4-5：不等式选讲
已知函数.
（1）若不等式对恒成立，求实数的取值范围；
（2）设实数为（1）中的最大值，若实数满足，求的最小值.
9．（重庆市南开中学2019届高三第三次教学质量检测考试数学理）已知函数的最小值为.
（1）求；
（2）若正实数，，满足，求证：.
10．（广西南宁市2019届高三毕业班第一次适应性测试数学理）已知函数f（x）＝|ax﹣1|﹣|2x+a|的图象如图所示．
（1）求a的值；
（2）设g（x）＝f（x）+f（x﹣1），g（x）的最大值为t，若正数m，n满足m+n＝t，证明：．

11．（河南省顶级名校2018－2019年度高三第四次联合质量测评数学理）设不等式的解集为M．
(1)求集合M；
(2)已知，求证：．
12．（北京市顺义区2019届高三第二次统练数学理）在数列中，若（，，为常数），则称为“平方等差数列”．
（Ⅰ）若数列是“平方等差数列”，，写出的值；
（Ⅱ）如果一个公比为的等比数列为“平方等差数列”，求证：；
（Ⅲ）若一个“平方等差数列”满足，设数列的前项和为．是否存在正整数，使不等式对一切都成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
13．（四川省攀枝花市2019届高三第二次统一考试数学理）[选修4-5：不等式选讲]
已知函数.
（I）求函数的定义域；
（II）证明：当时，.
14．（广西壮族自治区柳州市2019届高三毕业班3月模拟考试数学理）选修4-5：不等式选讲
（1）如果关于的不等式无解，求实数的取值范围；
（2）若为不相等的正数，求证：.
15．（黑龙江省哈尔滨市第三中学2019届高三第一次模拟考试（内考)数学理）《选修4-5：不等式选讲》
设，且.
求证：（1）
（2）.
16．（江西省重点中学盟校2019届高三第一次联考数学理）若关于的不等式在实数范围内有解.
（1）求实数的取值范围；
（2）若实数的最大值为，且正实数满足，求证：.
17．（2019年四川省达州市高考理科数学一诊）设函数．
解不等式：；
记函数的最小值为a，已知，，且，求证：．
18．（广东省广雅中学、执信、六中、深外四校2020届高三8月开学联考数学理）已知，，，满足．
（1）求证：；
（2）求证：．
19．（江苏省徐州市2018-2019学年高三考前模拟检测）选修4-2：不等式选讲
设正数满足，求证：.
20．（湖南省衡阳市2019届高三第三次联考三模（理）已知不等式的解集为 ．
（1）求；
（2）若，且．证明：
21．（江苏省苏锡常镇四市2019届高三教学情况调查（二)数学试题含附加题）已知正数，b，c满足＋b＋c＝2，求证：．
22．（陕西省西安地区陕师大附中、西安高级中学等八校2019届高三4月联考数学理）已知均为实数，且 .
（Ⅰ）求的最小值；
（Ⅱ）若对任意的恒成立，求实数的取值范围.
23．（安徽省江淮十校2019届高三第三次联考理）已知函数.
（1）若对任意的，恒有成立，求实数的取值范围；
（2）设，且，时函数的最小值为3，求的最小值.
24．（江苏省南通市2019届高三下学期4月阶段测试）已知均为正数，且，求的最小值，并指出取得最小值时的值．
25．（贵州省2019年普通高等学校招生适应性考试理）已知函数.
（1）解关于的不等式；
（2）若函数的最大值为，设，为正实数，且，求的最大值.
26．（辽宁省凌源市2019届高三第一次联合模拟考试数学理）已知函数．
(Ⅰ)若不等式对恒成立，求实数的取值范围；
(Ⅱ)设实数为(Ⅰ)中的最大值，若实数满足，求的最小值．
27．（山东省潍坊市2019届高三下学期高考模拟一模考试数学理）已知函数的最大值为.
（1）求实数的值；
（2）若，设，，且满足，求证：.











专题70 不等式的证明、柯西不等式与均值不等式
1．（广西桂林市，贺州市，崇左市2019年高三下学期3月联合调研考试数学理）选修4-5：不等式选讲
设函数.
（1）若，，求的解集；
（2）若的最小值为8，求的最大值.
【答案】（1）；（2）
【解析】
（1）因为，，所以，
当时，，∴.
当时，；
当时，，∴.
综上所述：.
（2）∵，
又根据柯西不等式知
（当且仅当时取等号），
故的最大值为.
2．（天津市耀华中学2019届高三第二次校模拟考试数学理）已知数列的前项和是，且
（Ⅰ）求数列的通项公式
（Ⅱ）求证：对任意的，不等式成立。
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）见解析.
【解析】
（Ⅰ）∵且，即
两边同除以得
∴数列是以1为首项，以2为公差的等差数列．
∴，∴，
当时，
当时，
∴．
（Ⅱ）
设数列的前项积为，则
经检验时也成立
要证不等式成立，
只需证不等式成立．
两边平方即为即证，显然成立．
3．（山东省威海市2019届高三二模考试数学理）已知正实数满足.
(Ⅰ)求证：；
(Ⅱ) 若对任意正实数，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(Ⅰ)见解析.(Ⅱ) .
【解析】
(Ⅰ)
所以.
(Ⅱ)对正实数有，
所以，解得，当且仅当时等号成立．
因为对任意正实数，恒成立，
所以恒成立．
当时，不等式化为，整理得，所以不等式无解；
当时，不等式化为，解得；
当时，不等式化为，整理得，不等式恒成立．
综上可得的取值范围是．
4．（天津市2019年3月九校联考高三数学理）已知数列是公比为的等比数列，且是与的等比中项，其前项和为；数列是等差数列，，其前项和满足(为常数，且).
(1)求数列的通项公式及的值；
(2)设.求证：当时，.
【答案】(Ⅰ)，；(Ⅱ)证明见解析.
【解析】
(Ⅰ)由题意可得，即，
解得，故数列的通项公式为.
.
(Ⅱ)结合(Ⅰ)的结果可知：，
则，
，
，
，
当n=1时，；
当n>1时，.
故题中的结论成立.
5．（山西省太原市2019届高三模拟试题一理）已知函数.
（1）求不等式的解集；
（2）若存在实数，使得成立的的最大值为，且实数，满足，证明：.
【答案】(1) (2)见证明
【解析】
（1）解：，，
由绝对值得几何意义可得和上述不等式中的等号成立，
不等式的解集为；
（2）由绝对值得几何意义易得的最小值为3，
，，，，
，，，
，，，
，
，

6．（河南省濮阳市2019届高三第二次模拟考试数学理）已知函数.
（Ⅰ）当时，讨论函数的单调性；
（Ⅱ）当，时，，其中，证明：.
【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）见解析
【解析】
（Ⅰ）依题意，，.
当时，.
所以当时，，当时，.
所以函数在上单调递减，在上单调递增.
当时，令，解得或.
若，则，所以函数在上单调递增；
若，则，
所以当时，，当时，，当时，，所以函数在和上单调递增，在上单调递减；
若，则，
所以当时，，当时，，当时，，所以函数在和上单调递增，在上单调递减.
（Ⅱ）依题意，得，所以.
要证，即证，即证，即证,
即证，所以只需证时，成立即可.
令，则.
令，则.
所以在上单调递增.
所以，即，所以.
所以在上单调递增.所以，
所以，即.
7．（川省华文大教育联盟2019届高三第二次质量检测考试数学理）已知函数，且不等式的解集为M.
(1)求；
(2)若，求证：．
【答案】（1）；（2）见解析
【解析】
（1）解：当时，不等式变为，
解得，此时.
当时，不等式变为，此不等式恒成立，
此时.
当时，不等式变为，解得，此时，
综上，不等式的解集M是；
（2）证明：由题意，得，则，
设，

故
8．（东北三省三校（哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学)2019届高三第一次模拟数学理）选修4-5：不等式选讲
已知函数.
（1）若不等式对恒成立，求实数的取值范围；
（2）设实数为（1）中的最大值，若实数满足，求的最小值.
【答案】（1） ；（2）
【解析】
（1）因为函数恒成立，
解得 ；
（2）由第一问可知，即
由柯西不等式可得：

化简：
即
当且紧当：时取等号，
故最小值为．
9．（重庆市南开中学2019届高三第三次教学质量检测考试数学理）已知函数的最小值为.
（1）求；
（2）若正实数，，满足，求证：.
【答案】（1）；（2）详见解析.
【解析】
解：（1），
由于函数y=,是减函数，y=,是减函数，y=，是增函数，
故当时，取得最小值.
（2）

.
10．（广西南宁市2019届高三毕业班第一次适应性测试数学理）已知函数f（x）＝|ax﹣1|﹣|2x+a|的图象如图所示．
（1）求a的值；
（2）设g（x）＝f（x）+f（x﹣1），g（x）的最大值为t，若正数m，n满足m+n＝t，证明：．

【答案】（1）；（2）见解析
【解析】
（1）解：由，得，即.
由，得，所以.
（2）证明：由（1）知，
所以 ，
显然的最大值为6，即.
因为，
所以.
因为（当且仅当，时取等号），
所以.
11．（河南省顶级名校2018－2019年度高三第四次联合质量测评数学理）设不等式的解集为M．
(1)求集合M；
(2)已知，求证：．
【答案】（1）（2）见解析
【解析】
（1）原不等式等价于或或
解得：或
所以原不等式的解集为
（2）由（1）知，当时，，
所以，
从而
可得
12．（北京市顺义区2019届高三第二次统练数学理）在数列中，若（，，为常数），则称为“平方等差数列”．
（Ⅰ）若数列是“平方等差数列”，，写出的值；
（Ⅱ）如果一个公比为的等比数列为“平方等差数列”，求证：；
（Ⅲ）若一个“平方等差数列”满足，设数列的前项和为．是否存在正整数，使不等式对一切都成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）见解析（Ⅲ）
【解析】
（Ⅰ）由是“平方等差数列”，
于是，
所以
（Ⅱ）设数列是等比数列，所以（为公比且）
则
若为“平方等差数列”，则有
因为为与无关的常数，所以
即
（Ⅲ）因为数列是“平方等差数列”，
则，
所以数列的前项和
假设存在正整数使不等式对一切都成立，即
当时，
又为正整数
下面证明：对一切都成立
由于
所以：

所以存在使不等式对一切都成立
13．（四川省攀枝花市2019届高三第二次统一考试数学理）[选修4-5：不等式选讲]
已知函数.
（I）求函数的定义域；
（II）证明：当时，.
【答案】（Ⅰ） （Ⅱ）见证明
【解析】
（Ⅰ）由
或或
或或
所以函数的定义域为．
（Ⅱ）法一：
因为，所以，．
故，即
所以．
法二：当时， ∴，
∴，即 ，
∴．
14．（广西壮族自治区柳州市2019届高三毕业班3月模拟考试数学理）选修4-5：不等式选讲
（1）如果关于的不等式无解，求实数的取值范围；
（2）若为不相等的正数，求证：.
【答案】（1）；（2）见解析
【解析】
（1）令 ，
则当时，；当时，；当时，，
综上可得，即．
故要使不等式的解集是空集，
则有，
所以实数的取值范围为．
（2）证明：由为不相等的正数，
要证，即证，
只需证，整理得，
①当时，，可得，
②当时，，可得，
综上可得当均为正数时，
从而成立．
15．（黑龙江省哈尔滨市第三中学2019届高三第一次模拟考试（内考)数学理）《选修4-5：不等式选讲》
设，且.
求证：（1）
（2）.
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】
（1）要证，由于，因此只需证明.
即证：，而，
故需证明： .
即证：.
而这可以由 （当且仅当时等号成立）
证得.
原不等式成立.
（2）.
由于（1）中已证.
因此要证原不等式成立，只需证明.
即证，
即证 .
而，
，.
（时等号成立）.原不等式成立.
16．（江西省重点中学盟校2019届高三第一次联考数学理）若关于的不等式在实数范围内有解.
（1）求实数的取值范围；
（2）若实数的最大值为，且正实数满足，求证：.
【答案】（Ⅰ） （Ⅱ）见证明
【解析】
解：（Ⅰ）因为所以
又因为
所以
（Ⅱ）由（1）可知，,则
方法一：


方法二：利用柯西不等式


17．（2019年四川省达州市高考理科数学一诊）设函数．
解不等式：；
记函数的最小值为a，已知，，且，求证：．
【答案】（1）；（2）见解析
【解析】
解：，
，
当时，不等式即为，解得，，
当时，不等式即为，解得，
当时，不等式即为，解得
综上所述，不等式的解集为
证明：由可知，，
，即，
，
即．
18．（广东省广雅中学、执信、六中、深外四校2020届高三8月开学联考数学理）已知，，，满足．
（1）求证：；
（2）求证：．
【答案】（1）见解析（2）见解析
【解析】
（1）左边
由柯西不等式得：（取等号的条件是），即所以，原不等式得证。
（2）由于，，，，设，，，则，
所以，
则


由柯西不等式可得：，（当且仅当时等号成立）
所以，故（当且仅当时等号成立），则原不等式得证
19．（江苏省徐州市2018-2019学年高三考前模拟检测）选修4-2：不等式选讲
设正数满足，求证：.
【答案】见证明
【解析】
因为，，所以

由，
由柯西不等式，得

所以，即.
20．（湖南省衡阳市2019届高三第三次联考三模（理）已知不等式的解集为 ．
（1）求；
（2）若，且．证明：
【答案】（1）（2）见解析
【解析】
（1）解：当时，不等式为：，不等式恒成立，故;
当时，不等式为：，解得；
当时，不等式为：，不等式无解，
综上，不等式的解集为，故．
（2）证明：，
，
，
．
21．（江苏省苏锡常镇四市2019届高三教学情况调查（二)数学试题含附加题）已知正数，b，c满足＋b＋c＝2，求证：．
【答案】见解析
【解析】
证明：正数，b，c满足＋b＋c＝2



故命题成立.
22．（陕西省西安地区陕师大附中、西安高级中学等八校2019届高三4月联考数学理）已知均为实数，且 .
（Ⅰ）求的最小值；
（Ⅱ）若对任意的恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（Ⅰ）4；（Ⅱ）.
【解析】
解：（Ⅰ）因为
所以，当且仅当，即，或时取等号，
即的最小值为
（Ⅱ）由（Ⅰ）知对任意的恒成立
，或，或 ，或
所以实数的取值范围为
23．（安徽省江淮十校2019届高三第三次联考理）已知函数.
（1）若对任意的，恒有成立，求实数的取值范围；
（2）设，且，时函数的最小值为3，求的最小值.
【答案】（1）;(2)3.
【解析】
（1）不等式同解于，即，
故解集为，
由题意，，.
（2）
故
由柯西不等式得：，
，当且仅当时等号成立.
故的最小值为3.
24．（江苏省南通市2019届高三下学期4月阶段测试）已知均为正数，且，求的最小值，并指出取得最小值时的值．
【答案】最小值是， 此时．.
【解析】
因为，所以
因为为正数，所以由柯西不等式得：

当且仅当等式成立
所以，
所以的最小值是
此时
25．（贵州省2019年普通高等学校招生适应性考试理）已知函数.
（1）解关于的不等式；
（2）若函数的最大值为，设，为正实数，且，求的最大值.
【答案】（1）；（2）4.
【解析】
（1）等价于
或或
解得，或，或，
于是原不等式的解集为
（2）易知，即.
所以，
即 ，
于是，解得，当且仅当时等号成立，
即的最大值为.
26．（辽宁省凌源市2019届高三第一次联合模拟考试数学理）已知函数．
(Ⅰ)若不等式对恒成立，求实数的取值范围；
(Ⅱ)设实数为(Ⅰ)中的最大值，若实数满足，求的最小值．
【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ) .
【解析】解：（Ⅰ）因为，所以 ，解得 .
故实数的取值范围为.
（Ⅱ）由（1）知，，即. 根据柯西不等式


等号在即时取得.
所以的最小值为.
27．（山东省潍坊市2019届高三下学期高考模拟一模考试数学理）已知函数的最大值为.
（1）求实数的值；
（2）若，设，，且满足，求证：.
【答案】（1）（2）见解析
【解析】
（1）由
得，
所以，即.
（2）因为，由，
知
=
，
当且仅当，即时取等号.
所以.