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    【精品试题】高考数学一轮必刷题 专题56 排列与组合(含解析)

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    考点56  排列与组合

    1郑州绿博园花展期间安排6位志愿者到4个展区提供服务,要求甲、乙两个展区各安排一个人,剩下两个展区各安排两个人,其中小李和小王不在一起,不同的安排方案共有(  )   

    A.168 B.156

    C.172 D.180

    2.若无重复数字的三位数满足条件:个位数字与十位数字之和为奇数,所有数位上的数字和为偶数,则这样的三位数的个数是(  )

    A540  B480

    C360  D200

    37个座位连成一排,安排4个人就座,恰有两个空位相邻的不同坐法有(  )

    A.240 B.480

    C.720 D.960

    4.身高从矮到高的甲、乙、丙、丁、戊5人排成高矮相间的一个队形,则甲丁不相邻的不同的排法共有(  )

    A12  B14

    C16  D18

    5某地环保部门召集6家企业的负责人座谈,其中甲企业有2人到会,其余5家企业各有1人到会,会上有3人发言,则发言的3人来自3家不同企业的可能情况的种数为(  )

    A.15 B.30 C.35 D.42

    6.将甲、乙等5名交警分配到三个不同路口疏导交通,每个路口至少一人,且甲、乙在同一路口的分配方案共有(  )

    A18 B24

    C36 D72

    75名实习教师分配到高一年级的3个班实习,每班至少1,最多2,则不同的分配方案共有(  )

    A.30 B.90 C.180 D.270

    8甲、乙、丙三人站到共有7级的台阶上,若每级台阶最多站2,同一级台阶上的人不区分站的位置,则不同的站法种数是(  )

    A.258 B.306 C.336 D.296

    9.某中学高一学习雷锋志愿小组共有16人,其中一班、二班、三班、四班各4人,现从中任选3人,要求这三人不能全是同一个班的学生,且在三班至多选1人,则不同选法的种数为(  )

    A484  B472

    C252  D232

    107个字符a,a,a,b,b,α,β排成一排,要求三个a两两不相邻,且两个b也不相邻,则这样的排法共有(  )

    A.144 B.96

    C.30 D.12

    115个不同的球放入4个不同的盒子中,每个盒子至少放一个球,则不同放法共有 (  )

    A.480 B.360

    C.240 D.120

    12某城市关系要好的A, B, C, D四个家庭各有两个小孩共8,分别乘甲、乙两辆汽车出去游玩,每车限坐4(乘同一辆车的4名小孩不考虑位置),其中A户家庭的孪生姐妹需乘同一辆车,则乘坐甲车的4名小孩恰有2名来自于同一个家庭的乘坐方式共有(  )

    A.18 B.24

    C.36 D.48

    13将标号为1,2,3,4,5,66张卡片放入3个不同的信封中.若每个信封放2,其中标号为1,2的卡片放入同一信封,则不同的放法共有(  )

    A.12 B.18 C.36 D.54

    14A,B,C,D,E,F六人围坐在一张圆桌周围开会,A是会议的中心发言人,必须坐最北面的椅子,B,C二人必须坐相邻的两把椅子,其余三人坐剩余的三把椅子,则不同的座次有(  )

    A.60 B.48 C.30 D.24

    15将除颜色外完全相同的一个白球、一个黄球、两个红球分给三名小朋友,且每名小朋友至少分得一个球的分法种数为(  )

    A.15 B.21 C.18 D.24

    16用四种不同的颜色为正六边形(如图)中的六块区域涂色,要求有公共边的区域涂不同颜色,一共有   种不同的涂色方法. 

    17从甲、乙等8名志愿者中选5人参加周一到周五的社区服务,每天安排一人,每人只参加一天.若要求甲、乙两人至少选一人参加,且当甲、乙两人都参加时,他们参加社区服务的日期不相邻,那么不同的安排种数为           .(用数字作答) 

    182名语文老师、2名数学老师、4名英语老师中选派5人组成一个支教小组,则语文老师、数学老师、英语老师都至少有1名的选派方法种数为     .(用数字作答) 

    19x1,x2,x3,x4{-1,0,2},那么满足2≤|x1|+|x2|+|x3|+|x4|≤4的所有有序数组(x1,x2,x3,x4)的组数为   . 

    20.用数字1,2,3,4,5,6,7,8,9组成没有重复数字,且至多有一个数字是偶数的四位数,这样的四位数一共有________个.(用数字作答)

    21.设abc{1,2,3,4,5,6},若以abc为三条边的长可以构成一个等腰(含等边)三角形,则这样的三角形有________个.

     

     

     

     

     

     

    考点56  排列与组合

    1郑州绿博园花展期间安排6位志愿者到4个展区提供服务,要求甲、乙两个展区各安排一个人,剩下两个展区各安排两个人,其中小李和小王不在一起,不同的安排方案共有(  )   

    A.168 B.156

    C.172 D.180

    【答案】B 

    【解析】分类:(1)小李和小王分别去甲、乙2个展区,共有=12种情况,(2)小王,小李一人去甲或乙,=96种情况,(3)小王,小李均没有去甲或乙,=48种情况,总共N=12+96+48=156种情况,故选B.

    2.若无重复数字的三位数满足条件:个位数字与十位数字之和为奇数,所有数位上的数字和为偶数,则这样的三位数的个数是(  )

    A540  B480

    C360  D200

    【答案】D

    【解析】由个位数字与十位数字之和为奇数知个位数字、十位数字11偶,有CCA50()排法;所有数位上的数字和为偶数,则百位数字是奇数,有C4()满足题意的选法,故满足题意的三位数共有50×4200()

    37个座位连成一排,安排4个人就座,恰有两个空位相邻的不同坐法有(  )

    A.240 B.480

    C.720 D.960

    【答案】B 

    【解析】(1,2)(6,7)为空时,第三个空位有4种选择;(2,3)(3,4)(4,5)(5,6)为空时,第三个空位有3种选择;因此空位共有2×4+4×3=20种情况相邻,所以不同坐法有20=480,故选B.

    4.身高从矮到高的甲、乙、丙、丁、戊5人排成高矮相间的一个队形,则甲丁不相邻的不同的排法共有(  )

    A12  B14

    C16  D18

    【答案】B

    【解析】从矮到高的甲、乙、丙、丁、戊5人的身高可记为1,2,3,4,5.要求1,4不相邻.分四类:先排4,5时,则1只有1种排法,2,3在剩余的两个位上,这样有AA4()排法;先排3,5时,则4只有1种排法,2,1在剩余的两个位上,这样有AA4种排法;先排1,2时,则4只有1种排法,3,5在剩余的两个位上,这样有AA4()排法;先排1,3时,则这样的数只有两个,即21534,43512,只有两种排法.综上共有444214()排法,故选B.

    5某地环保部门召集6家企业的负责人座谈,其中甲企业有2人到会,其余5家企业各有1人到会,会上有3人发言,则发言的3人来自3家不同企业的可能情况的种数为(  )

    A.15 B.30 C.35 D.42

    【答案】B 

    【解析】由间接法得可能情况数为-·=35-5=30.

    6.将甲、乙等5名交警分配到三个不同路口疏导交通,每个路口至少一人,且甲、乙在同一路口的分配方案共有(  )

    A18 B24

    C36 D72

    【答案】C

    【解析】不同的分配方案可分为以下两种情况:甲、乙两人在一个路口,其余三人分配在另外的两个路口,其不同的分配方案有CA18()甲、乙所在路口分配三人,另外两个路口各分配一个人,其不同的分配方案有CA18().由分类加法计数原理可知不同的分配方案共有181836()

    75名实习教师分配到高一年级的3个班实习,每班至少1,最多2,则不同的分配方案共有(  )

    A.30 B.90 C.180 D.270

    【答案】B 

    【解析】由每班至少1,最多2,知分配名额为1,2,2,所以分配方案有··=90().

    8甲、乙、丙三人站到共有7级的台阶上,若每级台阶最多站2,同一级台阶上的人不区分站的位置,则不同的站法种数是(  )

    A.258 B.306 C.336 D.296

    【答案】C 

    【解析】7级台阶上每一级至多站1,有种不同的站法;

    1级台阶站2,另一级站1,共有种不同的站法.

    所以共有不同的站法种数是+=336.故选C.

    9.某中学高一学习雷锋志愿小组共有16人,其中一班、二班、三班、四班各4人,现从中任选3人,要求这三人不能全是同一个班的学生,且在三班至多选1人,则不同选法的种数为(  )

    A484  B472

    C252  D232

    【答案】B

    【解析】若三班有1人入选,则另两人从三班以外的12人中选取,共有CC264()选法.若三班没有人入选,则要从三班以外的12人中选3人,又这3人不能全来自同一个班,故有C3C208()选法.故总共有264208472()不同的选法.

    107个字符a,a,a,b,b,α,β排成一排,要求三个a两两不相邻,且两个b也不相邻,则这样的排法共有(  )

    A.144 B.96

    C.30 D.12

    【答案】B 

    【解析】先排列b,b,α,β,α,β不相邻,有种排法,α,β相邻,有种,共有6+6=12种排法,从所形成的5个空档中选3个插入a,a,a,共有12×=120种排法,b,b相邻时,从所形成的4个空档中选3个插入a,a,a,共有6×=24种排法,所以三个a两两不相邻,且两个b也不相邻,这样的排法共有120-24=96,故选B.

    115个不同的球放入4个不同的盒子中,每个盒子至少放一个球,则不同放法共有 (  )

    A.480 B.360

    C.240 D.120

    【答案】C 

    【解析】第一步:先从4个盒子中选一个盒子准备装两个球,4种选法;第二步:5个球里选出两个球放在刚才的盒子里,有种选法;第三步:把剩下的3个球全排列,有种排法,由分步乘法计数原理得不同方法共有4=240,故选C.

    12某城市关系要好的A, B, C, D四个家庭各有两个小孩共8,分别乘甲、乙两辆汽车出去游玩,每车限坐4(乘同一辆车的4名小孩不考虑位置),其中A户家庭的孪生姐妹需乘同一辆车,则乘坐甲车的4名小孩恰有2名来自于同一个家庭的乘坐方式共有(  )

    A.18 B.24

    C.36 D.48

    【答案】B 

    【解析】A户家庭的孪生姐妹乘坐甲车,即剩下的两个小孩来自其他的2个家庭,·22=12种不同的方法,A户家庭的孪生姐妹乘坐乙车,那来自同一家庭的2名小孩来自剩下的3个家庭中的一个,·22=12种不同的方法.所以共有12+12=24种方法.故选B.

    13将标号为1,2,3,4,5,66张卡片放入3个不同的信封中.若每个信封放2,其中标号为1,2的卡片放入同一信封,则不同的放法共有(  )

    A.12 B.18 C.36 D.54

    【答案】B 

    【解析】先放标号1,2的卡片,有种放法,再将标号3,4,5,6的卡片平均分成两组再放置,·种放法,故共有·=18种不同的放法.

    14A,B,C,D,E,F六人围坐在一张圆桌周围开会,A是会议的中心发言人,必须坐最北面的椅子,B,C二人必须坐相邻的两把椅子,其余三人坐剩余的三把椅子,则不同的座次有(  )

    A.60 B.48 C.30 D.24

    【答案】B 

    【解析】由题意知,不同的座次有=48(),故选B.

    15将除颜色外完全相同的一个白球、一个黄球、两个红球分给三名小朋友,且每名小朋友至少分得一个球的分法种数为(  )

    A.15 B.21 C.18 D.24

    【答案】B 

    【解析】分四类,第一类:两个红球分给其中一个人,有种分法;第二类:白球和黄球分给一个人,有种分法;第三类:白球和一个红球分给一个人,有种分法;第四类:黄球和一个红球分给一个人,有种方法,总共有++2=21种分法,故选B.

    16用四种不同的颜色为正六边形(如图)中的六块区域涂色,要求有公共边的区域涂不同颜色,一共有   种不同的涂色方法. 

    【答案】732 

    【解析】如图,记六个区域的涂色数为a6,A,F涂色相同,则相当于5个区域涂色,5个区域涂色数为a5,同理只有4个区域时涂色数记为a4,易知a4=++=84, a6=4×35-a5=4×35-=4×35-4×34+84=732.

    17从甲、乙等8名志愿者中选5人参加周一到周五的社区服务,每天安排一人,每人只参加一天.若要求甲、乙两人至少选一人参加,且当甲、乙两人都参加时,他们参加社区服务的日期不相邻,那么不同的安排种数为           .(用数字作答) 

    【答案】5 040 

    【解析】分两类,一类是甲、乙都参加,另一类是从甲、乙中选一人,方法数为N=+=1 440+3 600=5 040.5 040.

    182名语文老师、2名数学老师、4名英语老师中选派5人组成一个支教小组,则语文老师、数学老师、英语老师都至少有1名的选派方法种数为     .(用数字作答) 

    【答案】44 

    【解析】由题意可知分四类,

    第一类,2名语文老师,2名数学老师,1名英语老师,=4种选派方法;

    第二类,1名语文老师,2名数学老师,2名英语老师,=12种选派方法;

    第三类,2名语文老师,1名数学老师,2名英语老师,=12种选派方法;

    第四类,1名语文老师,1名数学老师,3名英语老师,=16种选派方法;

    则一共有4+12+12+16=44种选派方法.

    19x1,x2,x3,x4{-1,0,2},那么满足2≤|x1|+|x2|+|x3|+|x4|≤4的所有有序数组(x1,x2,x3,x4)的组数为   . 

    【答案】45 

    【解析】分类讨论:

    |x1|+|x2|+|x3|+|x4|=2,则这四个数为2,0,0,0-1,-1,0,0,

    +=4+6=10();

    |x1|+|x2|+|x3|+|x4|=3,则这四个数为2,-1,0,0-1,-1,-1,0,

    +=12+4=16();

    |x1|+|x2|+|x3|+|x4|=4,则这四个数为2,2,0,0-1,-1,2,0-1,-1,-1,-1,

    ++=6+6×2+1=19();

    综上可得,所有有序数组(x1,x2,x3,x4)的组数为10+16+19=45.

    20.用数字1,2,3,4,5,6,7,8,9组成没有重复数字,且至多有一个数字是偶数的四位数,这样的四位数一共有________个.(用数字作答)

    【答案】1 080

    【解析】分两种情况:第一种:四位数都不是偶数的个数为:A120(),第二种:四位数中有一位为偶数的个数为CCA960(),则共有1 080个.

    21.设abc{1,2,3,4,5,6},若以abc为三条边的长可以构成一个等腰(含等边)三角形,则这样的三角形有________个.

    【答案】27

    【解析】由题意知以abc为三条边的长可以构成一个等腰(含等边)三角形,

    (1)先考虑等边三角形情况

    abc1,2,3,4,5,6,此时有6个.

    (2)再考虑等腰三角形情况,若ab是腰,则ab

    ab1时,cab2,则c1,与等边三角形情况重复;

    ab2时,c4,则c1,3(c2的情况等边三角形已经讨论了),此时有2个;

    ab3时,c6,则c1,2,4,5,此时有4个;

    ab4时,c8,则c1,2,3,5,6,此时有5个;

    ab5时,c10,有c1,2,3,4,6,此时有5个;

    ab6时,c12,有c1,2,3,4,5,此时有5个;

    由分类加法计数原理知有24555627()

     

     

     

     

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