【精品试题】高考数学一轮必刷题 专题46 直线的倾斜角与斜率、直线的方程（含解析）

考点46 直线的倾斜角与斜率、直线的方程
1．（辽宁省葫芦岛市普通高中2019届高三第二次模拟考试数学理）当点到直线的距离最大时，m的值为（ ）
A．3 B．0 C． D．1
2．（山东省日照市2019届高三1月校际联考数学理）若直线垂直，则二项式的展开式中的系数为( )
A． B． C．2 D．
3．（黑龙江省齐齐哈尔市2019届高三第二次模拟考试数学理）已知双曲线的焦距为，且两条渐近线互相垂直，则该双曲线的实轴长为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
4．（宁夏银川一中2019届高三第一次模拟考试数学理）双曲线：和直线，若过的左焦点和点的直线与平行，则双曲线的离心率为
A． B． C． D．5
5．（吉林省长春市2019届高三质量监测二）设直线的倾斜角为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
6．（安徽省黄山市普通高中2019届高三11月“八校联考”数学理）已知函数在区间内任取两个实数，且，不等式恒成立，则实数的取值范围是 ( )
A． B． C． D．
7．（河南省信阳高级中学2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟（二)数学理）已知点是曲线上任意一点，记直线（为坐标系原点）的斜率为，则（ ）
A．至少存在两个点使得 B．对于任意点都有
C．对于任意点都有 D．存在点使得
8．（2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题理）过抛物线上两点分别作抛物线的切线,若两切线垂直且交于点,则直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
9．（江西省新余市第四中学2018届高三适应性考试数学理）已知m为实数，直线：，：，则“”是“”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
10．（湖北省宜昌市一中2018届高三考前适应性训练2数学理）若实数满足不等式组，则目标函数的最大值是（ ）
A． B． C． D．
11．（河南安阳2018届高三第二次模拟考试理）已知圆：与圆：的公共弦所在直线恒过定点，且点在直线上，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
12．（北京市大兴区2019届高三4月一模数学理）设不等式组所表示的平面区域为，其面积为.①若，则的值唯一；②若，则的值有2个；③若为三角形，则；④若为五边形，则．以上命题中，真命题的个数是( )
A． B． C． D．
13．（湖北省黄冈市2019届高三上学期元月调研理）过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为　　
A． B．
C．或 D．或
14．（黑龙江省齐齐哈尔市2019届高三第二次模拟考试数学理）若曲线在点处的切线与直线垂直，则函数的最小值为__________．
15．（四川省成都市2016级高中毕业班摸底测试数学理）已知，，若直线与直线互相垂直，则的最大值是__________．
16．（安徽省淮南市2019届高三第一次模拟考试数学理）已知等差数列，若点在经过点的定直线上，则数列的前7项和______．
17．（山东省烟台市2019届高三高考一模考试数学理）已知为抛物线的焦点，过的动直线交抛物线与两点，当直线与轴垂直时，.
（1）求抛物线的方程；
（2）设直线的斜率为1且与抛物线的准线相交于点，抛物线上存在点使得直线的斜率成等差数列，求点的坐标.
18．（广东省百校联考2019届高三高考模拟数学理）已知为椭圆的右焦点，点在上，且轴．
（1）求的方程；
（2）过的直线交于两点，交直线于点．判定直线的斜率是否依次构成等差数列？请说明理由．
19．（广东省珠海市2019届高三9月摸底考试）已知椭圆，是其左右焦点，为其左右顶点，为其上下顶点，若，。
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过分别作轴的垂线，椭圆的一条切线，与交于二点，求证：。
20．（河南省信阳高级中学2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟二数学理）已知椭圆的方程为，在椭圆上，椭圆的左顶点为，左、右焦点分别为，的面积是的面积的倍．
（1）求椭圆的方程；
（2）直线（）与椭圆交于，，连接，并延长交椭圆于，，连接，指出与之间的关系，并说明理由．
21．（黑龙江省齐齐哈尔市2018届高三第二次模拟数学理）设抛物线的顶点为坐标原点,焦点在轴的正半轴上,点是抛物线上的一点，以为圆心,2为半径的圆与轴相切,切点为.
(I)求抛物线的标准方程:
(Ⅱ)设直线在轴上的截距为6,且与抛物线交于,两点,连接并延长交抛物线的准线于点,当直线恰与抛物线相切时,求直线的方程.
22．（广西桂林、贺州、崇左三市2018届高三第二次联合调研考试数学理）选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，以原点为极点，轴正半轴为极轴，长度单位相同，建立极坐标系，直线的参数方程为（为参数，为的倾斜角），曲线的根坐标方程为，射线，，与曲线分别交于不同于极点的三点.
（1）求证：；
（2）当时，直线过,两点，求与的值.
23．（广东省珠海市2018届高三3月质量检测数学理）已知抛物线：，圆：，直线：与抛物线相切于点，与圆相切于点.

（1）若直线的斜率，求直线和抛物线的方程；
（2）设为抛物线的焦点，设，的面积分别为，，若，求的取值范围.
24．（广西桂林市、崇左市2019届高三下学期二模联考数学理）椭圆的离心率，过点和的直线与原点间的距离为.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点的直线与椭圆交于、两点，且点位于第一象限，当时，求直线的方程.
25．（山东省聊城市2019届高三一模数学理）已知平行四边形的三个顶点都在椭圆为坐标原点．
当点的坐标为时，求直线的方程；
证明：平行四边形的面积为定值．
26．（新疆2019届高三第一次毕业诊断及模拟测试理）已知椭圆过点，其长轴、焦距和短轴的长的平方依次成等差数列直线l与x轴正半轴和y轴分别交于点Q、P，与椭圆分别交于点M、N，各点均不重合且满足．
求椭圆的标准方程；
若，试证明：直线l过定点并求此定点．












考点46 直线的倾斜角与斜率、直线的方程
1．（辽宁省葫芦岛市普通高中2019届高三第二次模拟考试数学理）当点到直线的距离最大时，m的值为（ ）
A．3 B．0 C． D．1
【答案】C
【解析】
直线可化为，故直线过定点，当和直线垂直时，距离取得最大值，故，故选C.
2．（山东省日照市2019届高三1月校际联考数学理）若直线垂直，则二项式的展开式中的系数为( )
A． B． C．2 D．
【答案】B
【解析】
由直线与垂直，可得，求得，则二项式的展开式的通项公式，令，求得，可得展开式中x的系数为.故答案为B．
3．（黑龙江省齐齐哈尔市2019届高三第二次模拟考试数学理）已知双曲线的焦距为，且两条渐近线互相垂直，则该双曲线的实轴长为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【解析】
因为双曲线的两条渐近线为，
因为两条渐近线互相垂直，所以，得
因为双曲线焦距为，所以
由可知，所以，所以实轴长为.
故选B项.
4．（宁夏银川一中2019届高三第一次模拟考试数学理）双曲线：和直线，若过的左焦点和点的直线与平行，则双曲线的离心率为
A． B． C． D．5
【答案】A
【解析】
过的左焦点和点的直线可写为：，即
与平行
又

本题正确选项：
5．（吉林省长春市2019届高三质量监测二）设直线的倾斜角为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
由题意可知，，.故选C.
6．（安徽省黄山市普通高中2019届高三11月“八校联考”数学理）已知函数在区间内任取两个实数，且，不等式恒成立，则实数的取值范围是 ( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
的几何意义，
表示点与点连线斜率，
实数在区间内，故和在内，
不等式恒成立，
函数图象上在区间内任意两点连线的斜率大于1 ,
故函数的导数大于1在内恒成立，
在内恒成立，
由函数的定义域知，，
所以在内恒成立，
由于二次函数在上是单调递增函数，
故时，在上取最大值为，
，，故选C.
7．（河南省信阳高级中学2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟（二)数学理）已知点是曲线上任意一点，记直线（为坐标系原点）的斜率为，则（ ）
A．至少存在两个点使得 B．对于任意点都有
C．对于任意点都有 D．存在点使得
【答案】C
【解析】
设点的坐标为，则．
对于D，当时，一方面，另一方面容易证成立，
所以，因为与中两个等号成立条件不一样，所以恒成立，所以，因此D不成立．
对于B，当时，，所以，所以B不成立．
对于A，至少存在两个点使得，也就是至少存在两解，
即至少存在两解，恒成立，
所以至多存在一解，所以A不成立．
综合以上分析可得选项C正确．
故选C．

8．（2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题理）过抛物线上两点分别作抛物线的切线,若两切线垂直且交于点,则直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
由，得，
∴．
设，则，
抛物线在点处的切线方程为，点处的切线方程为，
由解得，
又两切线交于点，
∴，故得．
∵过两点的切线垂直，
∴，故，
∴，故得抛物线的方程为．
由题意得直线的斜率存在，可设直线方程为，
由消去y整理得，
∴，
由和可得且，
∴直线的方程为．
故选B．
9．（江西省新余市第四中学2018届高三适应性考试数学理）已知m为实数，直线：，：，则“”是“”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
当m=1时，两直线方程分别为直线l1：x+y﹣1=0，l2：x+y﹣2=0满足l1∥l2，即充分性成立，
当m=0时，两直线方程分别为y﹣1=0，和﹣2x﹣2=0，不满足条件．
当m≠0时，则l1∥l2⇒，
由得m2﹣3m+2=0得m=1或m=2，
由得m≠2，则m=1，
即“m=1”是“l1∥l2”的充要条件，
故答案为：A
10．（湖北省宜昌市一中2018届高三考前适应性训练2数学理）若实数满足不等式组，则目标函数的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】

画出表示的可行域，如图，
由可得，
即，
将形为，
表示可行域内的点与连线的斜率，
由图知最小，最大
最大值为，故答案为.
故选B.
11．（河南安阳2018届高三第二次模拟考试理）已知圆：与圆：的公共弦所在直线恒过定点，且点在直线上，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
与,相减得公共弦所在直线方程：，即，所以由得，
即，因此，选D.
12．（北京市大兴区2019届高三4月一模数学理）设不等式组所表示的平面区域为，其面积为.①若，则的值唯一；②若，则的值有2个；③若为三角形，则；④若为五边形，则．以上命题中，真命题的个数是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
由题得不等式|x|+|y|≤2，表示的是如图所示的正方形区域，
不等式y+2≤k(x+1)，表示的是经过定点（-1，-2）的动直线y+2=k(x+1)的一侧（与k的正负有关），
所以不等式组所表示的平面区域就是它们的公共部分，

（1）因为大正方形的面积为8，若，面积为正方形面积的一半，且过原点O的任意直线均可把正方形的面积等分，故当S=4时，直线必过原点，所以k=2,k的值唯一，命题正确;
（2）左边阴影三角形的面积为1，故当k取适当的负值左倾可以使三角形的面积为，k取适当的正值，使得阴影部分的面积为，故S=时，k的值有两个，故该命题正确；

（3）由（2）的讨论可知，当k＜-2时，左边也有一个三角形，所以当D为三角形时，k的取值范围为，故该命题错误；
(4)经过点（-1，-2）和（0,2）的直线绕定点（-1，-2）向左旋转一点，D就是五边形，
此时k＞.故命题正确.

故选：C
13．（湖北省黄冈市2019届高三上学期元月调研理）过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为　　
A． B．
C．或 D．或
【答案】D
【解析】
当直线过原点时，可得斜率为，
故直线方程为，即
当直线不过原点时，设方程为，
代入点可得，解得，
方程为，
故所求直线方程为：或，
故选D．
14．（黑龙江省齐齐哈尔市2019届高三第二次模拟考试数学理）若曲线在点处的切线与直线垂直，则函数的最小值为__________．
【答案】4
【解析】
，
，
代入切点横坐标得到切线斜率
，
切线与直线垂直
得，
.当且仅当时，即时，等号成立
故答案为
15．（四川省成都市2016级高中毕业班摸底测试数学理）已知，，若直线与直线互相垂直，则的最大值是__________．
【答案】.
【解析】
因为直线与直线互相垂直，所以，，又，所以，当且仅当，即时，等号成立。所以的最大值为。
16．（安徽省淮南市2019届高三第一次模拟考试数学理）已知等差数列，若点在经过点的定直线上，则数列的前7项和______．
【答案】56
【解析】
因为等差数列中，点在经过点的定直线上，
，
数列的前7项和，
故答案为56．
17．（山东省烟台市2019届高三高考一模考试数学理）已知为抛物线的焦点，过的动直线交抛物线与两点，当直线与轴垂直时，.
（1）求抛物线的方程；
（2）设直线的斜率为1且与抛物线的准线相交于点，抛物线上存在点使得直线的斜率成等差数列，求点的坐标.
【答案】(1) (2)
【解析】
解：（1）因为，在抛物线方程中，令，可得．
于是当直线与轴垂直时，，解得．
所以抛物线的方程为．
（2）因为抛物线的准线方程为，所以．
设直线的方程为，
联立消去，得．
设，，则，.
若点满足条件，则，
即，
因为点，，均在抛物线上，所以，，．
代入化简可得，
将，代入，解得．
将代入抛物线方程，可得．
于是点为满足题意的点．
18．（广东省百校联考2019届高三高考模拟数学理）已知为椭圆的右焦点，点在上，且轴．
（1）求的方程；
（2）过的直线交于两点，交直线于点．判定直线的斜率是否依次构成等差数列？请说明理由．
【答案】（1）； （2）见解析.
【解析】
（1）因为点在上，且轴，所以,
由 ，得，
故椭圆的方程为．
（2）由题意可知直线的斜率存在，设直线的的方程为，
令，得的坐标为．
由，得．
设，则有．①
设直线的斜率分别为，
从而．
因为直线的方程为，所以，
所以
． ②
把①代入②，得．
又，所以，故直线的斜率成等差数列．
19．（广东省珠海市2019届高三9月摸底考试）已知椭圆，是其左右焦点，为其左右顶点，为其上下顶点，若，。
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过分别作轴的垂线，椭圆的一条切线，与交于二点，求证：。
【答案】（1）；（2）见解析
【解析】
(1)由题设知解得，，
椭圆的方程为
(2)由题设知，，
与的方程联立消得
与相切
的
得
与、联立得，
又

，即
同理可得

20．（河南省信阳高级中学2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟二数学理）已知椭圆的方程为，在椭圆上，椭圆的左顶点为，左、右焦点分别为，的面积是的面积的倍．
（1）求椭圆的方程；
（2）直线（）与椭圆交于，，连接，并延长交椭圆于，，连接，指出与之间的关系，并说明理由．
【答案】(1);(2)见解析.
【解析】
（1）由的面积是的面积的倍，可得，即，
又，
所以，
由在椭圆上，可得，
所以，
可得，，
所以椭圆的方程为．
（2）设，则，
故直线的方程为，
由消去整理得，
又，
代入上式化简得，
设，，
则，
所以，．
又直线的方程为，
同理可得，．
所以，
所以．
21．（黑龙江省齐齐哈尔市2018届高三第二次模拟数学理）设抛物线的顶点为坐标原点,焦点在轴的正半轴上,点是抛物线上的一点，以为圆心,2为半径的圆与轴相切,切点为.
(I)求抛物线的标准方程:
(Ⅱ)设直线在轴上的截距为6,且与抛物线交于,两点,连接并延长交抛物线的准线于点,当直线恰与抛物线相切时,求直线的方程.
【答案】（Ⅰ）.
(Ⅱ) 直线的方程为或.
【解析】试题分析：
（Ⅰ）设抛物线方程为，由以为圆心，2为半径的圆与轴相切，切点为，可得，故所求方程为．（Ⅱ）由题意设出直线的方程为，并设，由导数的几何意义可得抛物线在点处的切线方程为，令，可得．根据三点共线得，整理得
，然后结合根与系数的关系可解得，于是可得直线的方程．
试题解析：
（Ⅰ）设抛物线方程为，
∵以为圆心，2为半径的圆与轴相切，切点为，
∴，
∴该抛物线的标准方程为.
（Ⅱ）由题知直线的斜率存在，设其方程为，
由消取整理得，
显然，．
设，则.
抛物线在点处的切线方程为，
令，得，可得点，
由三点共线得，
∴，即，
整理得,
∴
解得，即，
∴所求直线的方程为或.
22．（广西桂林、贺州、崇左三市2018届高三第二次联合调研考试数学理）选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，以原点为极点，轴正半轴为极轴，长度单位相同，建立极坐标系，直线的参数方程为（为参数，为的倾斜角），曲线的根坐标方程为，射线，，与曲线分别交于不同于极点的三点.
（1）求证：；
（2）当时，直线过,两点，求与的值.
【答案】（1）见解析;（2），.
【解析】
（1）证明：依题意，，，
，
则
.
（2）当时，点的极坐标为，
点的极坐标为

直线，
∴，.
23．（广东省珠海市2018届高三3月质量检测数学理）已知抛物线：，圆：，直线：与抛物线相切于点，与圆相切于点.

（1）若直线的斜率，求直线和抛物线的方程；
（2）设为抛物线的焦点，设，的面积分别为，，若，求的取值范围.
【答案】（1）：，：；（2）.
【解析】
（1）由题设知：，且，
由与相切知，到的距离，得，
∴：.
将与的方程联立消得，
其得，
∴：.
综上，：，：.

（2）不妨设，根据对称性，得到的结论与得到的结论相同.
此时，又知，设，，
由消得，
其得，从而解得，
由与切于点知到：的距离，得则，故.
由得，
故 .
到：的距离为 ，
∴ ，
又，
∴ .
当且仅当即时取等号，
与上同理可得，时亦是同上结论.
综上，的取值范围是.
24．（广西桂林市、崇左市2019届高三下学期二模联考数学理）椭圆的离心率，过点和的直线与原点间的距离为.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点的直线与椭圆交于、两点，且点位于第一象限，当时，求直线的方程.
【答案】（1）；（2） .
【解析】
（1）据题知，直线的方程为.
依题意得.
解得，，所以椭圆的方程为.
（2）设，（，），
设直线的方程为.
代入椭圆方程整理得：.
∴，.①
由，依题意可得：，②
结合①②得，消去解得，（不合题意）.
所以直线的方程为.
25．（山东省聊城市2019届高三一模数学理）已知平行四边形的三个顶点都在椭圆为坐标原点．
当点的坐标为时，求直线的方程；
证明：平行四边形的面积为定值．
【答案】（1）； （2）.
【解析】
点的坐标为，的中点坐标为，
∵四边形为平行四边形，
的中点坐标为，
设，，
两式相减可得，
即，，
∴直线的方程为，即，
证明设直线的方程为：与椭圆相交于两点，设，
将其代入得，
即，
又 ，
＝，
∵四边形为平行四边形．

∴点坐标为
∵点在椭圆上，，整理得


点到直线的距离为，

26．（新疆2019届高三第一次毕业诊断及模拟测试理）已知椭圆过点，其长轴、焦距和短轴的长的平方依次成等差数列直线l与x轴正半轴和y轴分别交于点Q、P，与椭圆分别交于点M、N，各点均不重合且满足．
求椭圆的标准方程；
若，试证明：直线l过定点并求此定点．
【答案】（1）；（2）见解析
【解析】
解：椭圆过点，
，设焦距为2c，
长轴、焦距和短轴的长的平方依次成等差数列，
，又
解得
椭圆的方程为
由题意设，，，，
设l方程为，
由，知
，由题意，，
同理由知，，
，，
联立，得，
需
且有，
代入得，，
直线与轴正半轴和轴分别交于点Q、P，
由题意，满足，
得方程为，过定点，即为定点