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【精品试题】高考数学一轮必刷题 专题11 函数与方程（含解析）
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考点11 函数与方程
1、若函数y＝f(x)(x∈R)是奇函数，其零点分别为x1，x2，…，x2 017，且x1＋x2＋…＋x2 017＝m，则关于x的方程2x＋x－2＝m的根所在区间是( )
A．(0,1) B．(1,2)
C．(2,3) D．(3,4)
2、若f(x)是奇函数,且x0是y=f(x)+ex的一个零点,则-x0一定是下列哪个函数的零点( )
A.y=f(-x)ex-1 B.y=f(x)e-x+1
C.y=exf(x)-1 D.y=exf(x)+1
3、.函数f(x)=2x+log2|x|的零点个数为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
4、设函数f(x)＝x－ln x(x>0)，则y＝f(x)( )
A．在区间，(1，e)内均有零点
B．在区间，(1，e)内均无零点
C．在区间内有零点，在区间(1，e)内无零点
D．在区间内无零点，在区间(1，e)内有零点
5、直线y=x与函数f(x)=的图像恰有三个公共点,则实数m的取值范围是 .
6、已知f(x)是定义在R上的奇函数,且当x∈(0,+∞)时,f(x)=2 016x+log2 016x,则函数f(x)的零点个数是
A.1 B.2 C.3 D.4
7、已知函数f(x)=|2x-2|+b的两个零点分别为x1,x2(x1>x2),则下列结论正确的是( )
A.1
8、已知函数f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x<2时，f(x)＝x3－x，则函数y＝f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点的个数为( )
A．6 B．7
C．8 D．9
9、已知函数f(x)=ax3-3x2+1,若f(x)存在三个零点,则a的取值范围是( )
A.(-∞,-2) B.(-2,2)
C.(2,+∞) D.(-2,0)∪(0,2)
10、已知函数f(x)=若方程f(x)=a有四个不同的解x1,x2,x3,x4,且x1
C.(-∞,1) D.[-1,1)
11、已知函数f(x)＝3e|x－1|－a(2x－1＋21－x)－a2有唯一零点，则负实数a＝( )
A．－ B．－
C．－3 D．－2
12、设函数f(x)=若关于x的方程[f(x)]2-af(x)=0恰有三个不同的实数解,则实数a的取值范围为( )
A.(0,1] B.(0,1)
C.[1,+∞) D.(-∞,1)
13、已知函数f(x)是奇函数且是R上的单调函数．若函数y＝f(2x2＋1)＋f(λ－x)只有一个零点，则实数λ的值是( )
A. B．
C．－ D．－
14、定义在R上的奇函数f(x)，当x≥0时，f(x)＝则关于x的函数F(x)＝f(x)－a(0＜a＜1)的所有零点之和为( )
A．2a－1 B．2－a－1
C．1－2－a D．1－2a
15、已知当x∈[0，1]时，函数y＝(mx－1)2的图象与y＝＋m的图象有且只有一个交点，则正实数m的取值范围是( )
A．(0，1]∪[2，＋∞) B．(0，1]∪[3，＋∞)
C．( 0， ]∪[2，＋∞) D．(0，]∪[3，＋∞)
16、已知函数f(x)＝若F(x)＝f[f(x)＋1]＋m有两个零点x1，x2，则x1·x2的取值范围是( )
A．[4－2ln 2，＋∞) B．(，＋∞)
C．(－∞，4－2ln 2] D．(－∞，)
17、已知函数f(x)=若函数g(x)=f(x)-m有3个零点,则实数m的取值范围是 .
18、已知a＞0，函数f(x)＝若关于x的方程f(x)＝ax恰有2个互异的实数解，则a的取值范围是________．
19、已知函数f(x)＝log2x＋2x－m有唯一零点，若它的零点在区间(1,2)内，则实数m的取值范围是________．
20、已知二次函数f(x)＝x2＋(2a－1)x＋1－2a，
(1)判断命题：“对于任意的a∈R，方程f(x)＝1必有实数根”的真假，并写出判断过程；
(2)若y＝f(x)在区间(－1，0)及内各有一个零点，求实数a的取值范围．
21、已知函数f(x)＝－log2x的零点为x0，若x0∈(k，k＋1)，其中k为整数，则k＝________.
22、设函数f(x)＝(x>0)．
(1)做出函数f(x)的图象；
(2)当0
23、已知λ∈R，函数f(x)＝
当λ＝2时，不等式f(x)＜0的解集是________．若函数f(x)恰有2个零点，则λ的取值范围是________．
24、已知函数f(x)＝－x2－2x，g(x)＝
(1)求g(f(1))的值；
(2)若方程g(f(x))－a＝0有4个不同的实数根，求实数a的取值范围．
考点11 函数与方程
1、若函数y＝f(x)(x∈R)是奇函数，其零点分别为x1，x2，…，x2 017，且x1＋x2＋…＋x2 017＝m，则关于x的方程2x＋x－2＝m的根所在区间是( )
A．(0,1) B．(1,2)
C．(2,3) D．(3,4)
【答案】A
【解析】因为函数y＝f(x)(x∈R)是奇函数，故其零点x1，x2，…，x2 017关于原点对称，且其中一个为0，所以x1＋x2＋…＋x2 017＝m＝0.则关于x的方程为2x＋x－2＝0，令h(x)＝2x＋x－2，则h(x)为(－∞，＋∞)上的增函数．因为h(0)＝20＋0－2＝－1<0，h(1)＝21＋1－2＝1>0，所以关于x的方程2x＋x－2＝m的根所在区间是(0,1)．
2、若f(x)是奇函数,且x0是y=f(x)+ex的一个零点,则-x0一定是下列哪个函数的零点( )
A.y=f(-x)ex-1 B.y=f(x)e-x+1
C.y=exf(x)-1 D.y=exf(x)+1
【答案】C
【解析】由已知可得f(x0)=-,则·f(x0)=-1,f(-x0)=1,故-x0一定是y=exf(x)-1的零点.
3、.函数f(x)=2x+log2|x|的零点个数为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
【答案】C
【解析】函数f(x)=2x+log2|x|的零点个数,即为函数y=-2x的图像和函数y=log2|x|的图像的交点个数.如图所示,交点个数为2.故选C.
4、设函数f(x)＝x－ln x(x>0)，则y＝f(x)( )
A．在区间，(1，e)内均有零点
B．在区间，(1，e)内均无零点
C．在区间内有零点，在区间(1，e)内无零点
D．在区间内无零点，在区间(1，e)内有零点
【答案】D
【解析】由f(x)＝x－ln x(x>0)得f′(x)＝，令f′(x)>0得x>3，令f′(x)<0得00，f(e)＝－1<0，f＝＋1>0，所以f(x)在区间内无零点，在区间(1，e)内有零点．故选D.
5、直线y=x与函数f(x)=的图像恰有三个公共点,则实数m的取值范围是 .
【答案】[-1,2)
【解析】直线y=x与射线y=2(x>m)有一个交点A(2,2),且与抛物线y=x2+4x+2在(-∞,m]上的部分有两个交点B、C.
由解得B(-1,-1),C(-2,-2).
∵抛物线y=x2+4x+2在(-∞,m]上的部分必须包含B、C两点,且点A(2,2)一定在射线y=2(x>m)上,才能使y=f(x)图像与y=x有3个交点,∴实数m的取值范围是-1≤m<2.
6、已知f(x)是定义在R上的奇函数,且当x∈(0,+∞)时,f(x)=2 016x+log2 016x,则函数f(x)的零点个数是
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】C
【解析】作出函数y=2 016x和y=-log2 016x的图像如图所示,
可知函数f(x)=2 016x+log2 016x在x∈(0,+∞)内存在一个零点.
∵f(x)是定义在R上的奇函数,
∴f(x)在x∈(-∞,0)内只有一个零点.又f(0)=0,∴函数f(x)的零点个数是3,故选C.
7、已知函数f(x)=|2x-2|+b的两个零点分别为x1,x2(x1>x2),则下列结论正确的是( )
A.1
【答案】A
【解析】函数f(x)=|2x-2|+b有两个零点,即y=|2x-2|与y=-b的图像有两个交点,交点的横坐标就是x1,x2(x2
8、已知函数f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x<2时，f(x)＝x3－x，则函数y＝f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点的个数为( )
A．6 B．7
C．8 D．9
【答案】B
【解析】当0≤x<2时，令f(x)＝x3－x＝0，得x＝0或x＝1.根据周期函数的性质，由f(x)的最小正周期为2，可知y＝f(x)在[0,6)上有6个零点，又f(6)＝f(3×2＋0)＝f(0)＝0，∴f(x)在[0,6]上与x轴的交点个数为7.
9、已知函数f(x)=ax3-3x2+1,若f(x)存在三个零点,则a的取值范围是( )
A.(-∞,-2) B.(-2,2)
C.(2,+∞) D.(-2,0)∪(0,2)
【答案】D
【解析】∵函数f(x)=ax3-3x2+1在R上存在三个零点,
∴f(x)的极大值与极小值异号,
很明显a≠0,由题意可得:f'(x)=3ax2-6x=3x(ax-2),
则由f'(x)=0可得x1=0,x2=,
由题意得不等式:f(x1)f(x2)=-+1<0,
即:>1,a2<4,-2
10、已知函数f(x)=若方程f(x)=a有四个不同的解x1,x2,x3,x4,且x1
C.(-∞,1) D.[-1,1)
【答案】B
【解析】作出函数f(x)=的图像如下,
由图可知,x1+x2=-2,-log2x3=log2x4,即x3·x4=1,当x=0时,f(0)=1,当-log2x3=1时,x3=.
故方程f(x)=a有四个不同的解时,对应的x3∈,
又x3(x1+x2)+=-2x3+,其在x3∈上是减少的,
∴-2+1<-2x3+≤-1+2,
即-1<-2x3+≤1.
∴x3(x1+x2)+ ∈(-1,1].故选B.
11、已知函数f(x)＝3e|x－1|－a(2x－1＋21－x)－a2有唯一零点，则负实数a＝( )
A．－ B．－
C．－3 D．－2
【答案】C
【解析】根据函数解析式可知，直线x＝1是y＝3e|x－1|和y＝2x－1＋21－x图象的对称轴，故直线x＝1是函数f(x)图象的对称轴．若函数f(x)有唯一零点，则零点必为1，即f(1)＝3－2a－a2＝0，又a<0，所以a＝－3.故选C.
12、设函数f(x)=若关于x的方程[f(x)]2-af(x)=0恰有三个不同的实数解,则实数a的取值范围为( )
A.(0,1] B.(0,1)
C.[1,+∞) D.(-∞,1)
【答案】A 【解析】关于x的方程[f(x)]2-af(x)=0的解为f(x)=0或f(x)=a,而函数f(x)的图像如图所示,由图像可知,方程f(x)=0只有一解x=1,而原方程有三解,所以方程f(x)=a有两个不为1的相异的解,即0
A. B．
C．－ D．－
【答案】C
【解析】令y＝f(2x2＋1)＋f(λ－x)＝0，则f(2x2＋1)＝－f(λ－x)＝f(x－λ)．因为f(x)是R上的单调函数，所以2x2＋1＝x－λ只有一个实根，即2x2－x＋1＋λ＝0只有一个实根，则Δ＝1－8(1＋λ)＝0，解得λ＝－.
14、定义在R上的奇函数f(x)，当x≥0时，f(x)＝则关于x的函数F(x)＝f(x)－a(0＜a＜1)的所有零点之和为( )
A．2a－1 B．2－a－1
C．1－2－a D．1－2a
【答案】D
【解析】.当－1≤x＜0时⇒1≥－x＞0；
x≤－1⇒－x≥1.
又f(x)为奇函数，∴x＜0时，f(x)＝－f(－x)＝画出y＝f(x)和y＝a(0＜a＜1)的图象，如图，共有5个交点，设其横坐标从左到右分别为x1，x2，x3，x4，x5，则＝－3，＝3，而－log(－x3＋1)＝a⇒log2(1－x3)＝a⇒x3＝1－2a，可得x1＋x2＋x3＋x4＋x5＝1－2a，故选D.
15、已知当x∈[0，1]时，函数y＝(mx－1)2的图象与y＝＋m的图象有且只有一个交点，则正实数m的取值范围是( )
A．(0，1]∪[2，＋∞) B．(0，1]∪[3，＋∞)
C．( 0， ]∪[2，＋∞) D．(0，]∪[3，＋∞)
【答案】B
【解析】在同一直角坐标系中，分别作出函数f(x)＝(mx－1)2＝m2与g(x)＝＋m的大致图象．分两种情形：
(1)当0＜m≤1时，≥1，如图①，当x∈[0，1]时，f(x)与g(x)的图象有一个交点，符合题意．
(2)当m＞1时，0＜＜1，如图②，要使f(x)与g(x)的图象在[0，1]上只有一个交点，只需g(1)≤f(1)，即1＋m≤(m－1)2，解得m≥3或m≤0(舍去)．
综上所述，m∈(0，1]∪[3，＋∞)．
故选B.
16、已知函数f(x)＝若F(x)＝f[f(x)＋1]＋m有两个零点x1，x2，则x1·x2的取值范围是( )
A．[4－2ln 2，＋∞) B．(，＋∞)
C．(－∞，4－2ln 2] D．(－∞，)
【答案】D
【解析】因为函数f(x)＝所以F(x)＝由F(x)＝0得，x1＝ee－m－1，x2＝4－2e－m，其中m＝－ln＜－ln ，∴m＜ln.设t＝e－m，则t＞，所以x1·x2＝2et－1(2－t)，设g(t)＝2et－1(2－t)，则g′(t)＝2et－1(1－t)，因为t＞，所以g′(t)＝2et－1(1－t)＜0，即函数g(t)＝2et－1(2－t)在区间上是减函数，所以g(t)＜g＝，故选D.
17、已知函数f(x)=若函数g(x)=f(x)-m有3个零点,则实数m的取值范围是 .
【答案】(0,1)
【解析】因为函数g(x)=f(x)-m有3个零点,所以f(x)-m=0有3个根,所以y=f(x)的图像与直线y=m有3个交点.画出函数y=f(x)的图像,由抛物线顶点为(-1,1),可知实数m的取值范围是(0,1).
18、已知a＞0，函数f(x)＝若关于x的方程f(x)＝ax恰有2个互异的实数解，则a的取值范围是________．
【答案】(4，8)
【解析】当x≤0时，由x2＋2ax＋a＝ax，得a＝－x2－ax；当x＞0时，由－x2＋2ax－2a＝ax，得2a＝－x2＋ax.令g(x)＝作出直线y＝a，y＝2a，函数g(x)的图象如图所示，g(x)的最大值为－＋＝，由图象可知，若f(x)＝ax恰有2个互异的实数解，则a＜＜2a，得4＜a＜8.
19、已知函数f(x)＝log2x＋2x－m有唯一零点，若它的零点在区间(1,2)内，则实数m的取值范围是________．
【答案】(2,5)
【解析】因为f(x)在(0，＋∞)上单调递增，函数的零点在区间(1,2)内，所以f(1)·f(2)<0，即(log21＋21－m)·(log22＋22－m)<0⇒(2－m)(5－m)<0，解得2
(1)判断命题：“对于任意的a∈R，方程f(x)＝1必有实数根”的真假，并写出判断过程；
(2)若y＝f(x)在区间(－1，0)及内各有一个零点，求实数a的取值范围．
【答案】
【解析】(1)“对于任意的a∈R，方程f(x)＝1必有实数根”是真命题．依题意，f(x)＝1有实根，即x2＋(2a－1)x－2a＝0有实根，因为Δ＝(2a－1)2＋8a＝(2a＋1)2≥0对于任意的a∈R恒成立，即x2＋(2a－1)x－2a＝0必有实根，从而f(x)＝1必有实根．
(2)依题意，要使y＝f(x)在区间(－1，0)及内各有一个零点，只需即
解得＜a＜.
故实数a的取值范围为.
21、已知函数f(x)＝－log2x的零点为x0，若x0∈(k，k＋1)，其中k为整数，则k＝________.
【答案】2
【解析】由题意得f(x)在(0，＋∞)上单调递减，f(1)＝3>0，f(2)＝－log22＝>0，f(3)＝1－log23<0，∴f(2)f(3)<0，∴函数f(x)＝－log2x的零点x0∈(2,3)，∴k＝2.
22、设函数f(x)＝(x>0)．
(1)做出函数f(x)的图象；
(2)当0
【答案】(1)函数f(x)的图象如图 (2) 2 (3) 0
(2)∵f(x)＝＝
故f(x)在(0,1]上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数．
由0
当λ＝2时，不等式f(x)＜0的解集是________．若函数f(x)恰有2个零点，则λ的取值范围是________．
【答案】(1，4) (1，3]∪(4，＋∞)
【解析】(1)当λ＝2时，f(x)＝
其图象如图(1)．
由图知f(x)＜0的解集为(1，4)．
(2)f(x)＝恰有2个零点有两种情况：①二次函数有两个零点，一次函数无零点；②二次函数与一次函数各有一个零点．
在同一平面直角坐标系中画出y＝x－4与y＝x2－4x＋3的图象，如图(2)，平移直线x＝λ，可得λ∈(1，3]∪(4，＋∞)．
24、已知函数f(x)＝－x2－2x，g(x)＝
(1)求g(f(1))的值；
(2)若方程g(f(x))－a＝0有4个不同的实数根，求实数a的取值范围．
【答案】(1) -2 (2)
【解析】(1)利用解析式直接求解得g(f(1))＝g(－3)＝－3＋1＝－2.
(2)令f(x)＝t，则原方程化为g(t)＝a，易知方程f(x)＝t在(－∞，1)上有2个不同的解，则原方程有4个解等价于函数y＝g(t)(t＜1)与y＝a的图象有2个不同的交点，作出函数y＝g(t)(t＜1)的图象如图，由图象可知，当1≤a＜时，函数y＝g(t)(t＜1)与y＝a有2个不同的交点，即所求a的取值范围是.
1、若函数y＝f(x)(x∈R)是奇函数，其零点分别为x1，x2，…，x2 017，且x1＋x2＋…＋x2 017＝m，则关于x的方程2x＋x－2＝m的根所在区间是( )
A．(0,1) B．(1,2)
C．(2,3) D．(3,4)
2、若f(x)是奇函数,且x0是y=f(x)+ex的一个零点,则-x0一定是下列哪个函数的零点( )
A.y=f(-x)ex-1 B.y=f(x)e-x+1
C.y=exf(x)-1 D.y=exf(x)+1
3、.函数f(x)=2x+log2|x|的零点个数为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
4、设函数f(x)＝x－ln x(x>0)，则y＝f(x)( )
A．在区间，(1，e)内均有零点
B．在区间，(1，e)内均无零点
C．在区间内有零点，在区间(1，e)内无零点
D．在区间内无零点，在区间(1，e)内有零点
5、直线y=x与函数f(x)=的图像恰有三个公共点,则实数m的取值范围是 .
6、已知f(x)是定义在R上的奇函数,且当x∈(0,+∞)时,f(x)=2 016x+log2 016x,则函数f(x)的零点个数是
A.1 B.2 C.3 D.4
7、已知函数f(x)=|2x-2|+b的两个零点分别为x1,x2(x1>x2),则下列结论正确的是( )
A.1
8、已知函数f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x<2时，f(x)＝x3－x，则函数y＝f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点的个数为( )
A．6 B．7
C．8 D．9
9、已知函数f(x)=ax3-3x2+1,若f(x)存在三个零点,则a的取值范围是( )
A.(-∞,-2) B.(-2,2)
C.(2,+∞) D.(-2,0)∪(0,2)
10、已知函数f(x)=若方程f(x)=a有四个不同的解x1,x2,x3,x4,且x1
C.(-∞,1) D.[-1,1)
11、已知函数f(x)＝3e|x－1|－a(2x－1＋21－x)－a2有唯一零点，则负实数a＝( )
A．－ B．－
C．－3 D．－2
12、设函数f(x)=若关于x的方程[f(x)]2-af(x)=0恰有三个不同的实数解,则实数a的取值范围为( )
A.(0,1] B.(0,1)
C.[1,+∞) D.(-∞,1)
13、已知函数f(x)是奇函数且是R上的单调函数．若函数y＝f(2x2＋1)＋f(λ－x)只有一个零点，则实数λ的值是( )
A. B．
C．－ D．－
14、定义在R上的奇函数f(x)，当x≥0时，f(x)＝则关于x的函数F(x)＝f(x)－a(0＜a＜1)的所有零点之和为( )
A．2a－1 B．2－a－1
C．1－2－a D．1－2a
15、已知当x∈[0，1]时，函数y＝(mx－1)2的图象与y＝＋m的图象有且只有一个交点，则正实数m的取值范围是( )
A．(0，1]∪[2，＋∞) B．(0，1]∪[3，＋∞)
C．( 0， ]∪[2，＋∞) D．(0，]∪[3，＋∞)
16、已知函数f(x)＝若F(x)＝f[f(x)＋1]＋m有两个零点x1，x2，则x1·x2的取值范围是( )
A．[4－2ln 2，＋∞) B．(，＋∞)
C．(－∞，4－2ln 2] D．(－∞，)
17、已知函数f(x)=若函数g(x)=f(x)-m有3个零点,则实数m的取值范围是 .
18、已知a＞0，函数f(x)＝若关于x的方程f(x)＝ax恰有2个互异的实数解，则a的取值范围是________．
19、已知函数f(x)＝log2x＋2x－m有唯一零点，若它的零点在区间(1,2)内，则实数m的取值范围是________．
20、已知二次函数f(x)＝x2＋(2a－1)x＋1－2a，
(1)判断命题：“对于任意的a∈R，方程f(x)＝1必有实数根”的真假，并写出判断过程；
(2)若y＝f(x)在区间(－1，0)及内各有一个零点，求实数a的取值范围．
21、已知函数f(x)＝－log2x的零点为x0，若x0∈(k，k＋1)，其中k为整数，则k＝________.
22、设函数f(x)＝(x>0)．
(1)做出函数f(x)的图象；
(2)当0
23、已知λ∈R，函数f(x)＝
当λ＝2时，不等式f(x)＜0的解集是________．若函数f(x)恰有2个零点，则λ的取值范围是________．
24、已知函数f(x)＝－x2－2x，g(x)＝
(1)求g(f(1))的值；
(2)若方程g(f(x))－a＝0有4个不同的实数根，求实数a的取值范围．
考点11 函数与方程
1、若函数y＝f(x)(x∈R)是奇函数，其零点分别为x1，x2，…，x2 017，且x1＋x2＋…＋x2 017＝m，则关于x的方程2x＋x－2＝m的根所在区间是( )
A．(0,1) B．(1,2)
C．(2,3) D．(3,4)
【答案】A
【解析】因为函数y＝f(x)(x∈R)是奇函数，故其零点x1，x2，…，x2 017关于原点对称，且其中一个为0，所以x1＋x2＋…＋x2 017＝m＝0.则关于x的方程为2x＋x－2＝0，令h(x)＝2x＋x－2，则h(x)为(－∞，＋∞)上的增函数．因为h(0)＝20＋0－2＝－1<0，h(1)＝21＋1－2＝1>0，所以关于x的方程2x＋x－2＝m的根所在区间是(0,1)．
2、若f(x)是奇函数,且x0是y=f(x)+ex的一个零点,则-x0一定是下列哪个函数的零点( )
A.y=f(-x)ex-1 B.y=f(x)e-x+1
C.y=exf(x)-1 D.y=exf(x)+1
【答案】C
【解析】由已知可得f(x0)=-,则·f(x0)=-1,f(-x0)=1,故-x0一定是y=exf(x)-1的零点.
3、.函数f(x)=2x+log2|x|的零点个数为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
【答案】C
【解析】函数f(x)=2x+log2|x|的零点个数,即为函数y=-2x的图像和函数y=log2|x|的图像的交点个数.如图所示,交点个数为2.故选C.
4、设函数f(x)＝x－ln x(x>0)，则y＝f(x)( )
A．在区间，(1，e)内均有零点
B．在区间，(1，e)内均无零点
C．在区间内有零点，在区间(1，e)内无零点
D．在区间内无零点，在区间(1，e)内有零点
【答案】D
【解析】由f(x)＝x－ln x(x>0)得f′(x)＝，令f′(x)>0得x>3，令f′(x)<0得0
5、直线y=x与函数f(x)=的图像恰有三个公共点,则实数m的取值范围是 .
【答案】[-1,2)
【解析】直线y=x与射线y=2(x>m)有一个交点A(2,2),且与抛物线y=x2+4x+2在(-∞,m]上的部分有两个交点B、C.
由解得B(-1,-1),C(-2,-2).
∵抛物线y=x2+4x+2在(-∞,m]上的部分必须包含B、C两点,且点A(2,2)一定在射线y=2(x>m)上,才能使y=f(x)图像与y=x有3个交点,∴实数m的取值范围是-1≤m<2.
6、已知f(x)是定义在R上的奇函数,且当x∈(0,+∞)时,f(x)=2 016x+log2 016x,则函数f(x)的零点个数是
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】C
【解析】作出函数y=2 016x和y=-log2 016x的图像如图所示,
可知函数f(x)=2 016x+log2 016x在x∈(0,+∞)内存在一个零点.
∵f(x)是定义在R上的奇函数,
∴f(x)在x∈(-∞,0)内只有一个零点.又f(0)=0,∴函数f(x)的零点个数是3,故选C.
7、已知函数f(x)=|2x-2|+b的两个零点分别为x1,x2(x1>x2),则下列结论正确的是( )
A.1
【答案】A
【解析】函数f(x)=|2x-2|+b有两个零点,即y=|2x-2|与y=-b的图像有两个交点,交点的横坐标就是x1,x2(x2
8、已知函数f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x<2时，f(x)＝x3－x，则函数y＝f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点的个数为( )
A．6 B．7
C．8 D．9
【答案】B
【解析】当0≤x<2时，令f(x)＝x3－x＝0，得x＝0或x＝1.根据周期函数的性质，由f(x)的最小正周期为2，可知y＝f(x)在[0,6)上有6个零点，又f(6)＝f(3×2＋0)＝f(0)＝0，∴f(x)在[0,6]上与x轴的交点个数为7.
9、已知函数f(x)=ax3-3x2+1,若f(x)存在三个零点,则a的取值范围是( )
A.(-∞,-2) B.(-2,2)
C.(2,+∞) D.(-2,0)∪(0,2)
【答案】D
【解析】∵函数f(x)=ax3-3x2+1在R上存在三个零点,
∴f(x)的极大值与极小值异号,
很明显a≠0,由题意可得:f'(x)=3ax2-6x=3x(ax-2),
则由f'(x)=0可得x1=0,x2=,
由题意得不等式:f(x1)f(x2)=-+1<0,
即:>1,a2<4,-2
10、已知函数f(x)=若方程f(x)=a有四个不同的解x1,x2,x3,x4,且x1
C.(-∞,1) D.[-1,1)
【答案】B
【解析】作出函数f(x)=的图像如下,
由图可知,x1+x2=-2,-log2x3=log2x4,即x3·x4=1,当x=0时,f(0)=1,当-log2x3=1时,x3=.
故方程f(x)=a有四个不同的解时,对应的x3∈,
又x3(x1+x2)+=-2x3+,其在x3∈上是减少的,
∴-2+1<-2x3+≤-1+2,
即-1<-2x3+≤1.
∴x3(x1+x2)+ ∈(-1,1].故选B.
11、已知函数f(x)＝3e|x－1|－a(2x－1＋21－x)－a2有唯一零点，则负实数a＝( )
A．－ B．－
C．－3 D．－2
【答案】C
【解析】根据函数解析式可知，直线x＝1是y＝3e|x－1|和y＝2x－1＋21－x图象的对称轴，故直线x＝1是函数f(x)图象的对称轴．若函数f(x)有唯一零点，则零点必为1，即f(1)＝3－2a－a2＝0，又a<0，所以a＝－3.故选C.
12、设函数f(x)=若关于x的方程[f(x)]2-af(x)=0恰有三个不同的实数解,则实数a的取值范围为( )
A.(0,1] B.(0,1)
C.[1,+∞) D.(-∞,1)
【答案】A 【解析】关于x的方程[f(x)]2-af(x)=0的解为f(x)=0或f(x)=a,而函数f(x)的图像如图所示,由图像可知,方程f(x)=0只有一解x=1,而原方程有三解,所以方程f(x)=a有两个不为1的相异的解,即0
A. B．
C．－ D．－
【答案】C
【解析】令y＝f(2x2＋1)＋f(λ－x)＝0，则f(2x2＋1)＝－f(λ－x)＝f(x－λ)．因为f(x)是R上的单调函数，所以2x2＋1＝x－λ只有一个实根，即2x2－x＋1＋λ＝0只有一个实根，则Δ＝1－8(1＋λ)＝0，解得λ＝－.
14、定义在R上的奇函数f(x)，当x≥0时，f(x)＝则关于x的函数F(x)＝f(x)－a(0＜a＜1)的所有零点之和为( )
A．2a－1 B．2－a－1
C．1－2－a D．1－2a
【答案】D
【解析】.当－1≤x＜0时⇒1≥－x＞0；
x≤－1⇒－x≥1.
又f(x)为奇函数，∴x＜0时，f(x)＝－f(－x)＝画出y＝f(x)和y＝a(0＜a＜1)的图象，如图，共有5个交点，设其横坐标从左到右分别为x1，x2，x3，x4，x5，则＝－3，＝3，而－log(－x3＋1)＝a⇒log2(1－x3)＝a⇒x3＝1－2a，可得x1＋x2＋x3＋x4＋x5＝1－2a，故选D.
15、已知当x∈[0，1]时，函数y＝(mx－1)2的图象与y＝＋m的图象有且只有一个交点，则正实数m的取值范围是( )
A．(0，1]∪[2，＋∞) B．(0，1]∪[3，＋∞)
C．( 0， ]∪[2，＋∞) D．(0，]∪[3，＋∞)
【答案】B
【解析】在同一直角坐标系中，分别作出函数f(x)＝(mx－1)2＝m2与g(x)＝＋m的大致图象．分两种情形：
(1)当0＜m≤1时，≥1，如图①，当x∈[0，1]时，f(x)与g(x)的图象有一个交点，符合题意．
(2)当m＞1时，0＜＜1，如图②，要使f(x)与g(x)的图象在[0，1]上只有一个交点，只需g(1)≤f(1)，即1＋m≤(m－1)2，解得m≥3或m≤0(舍去)．
综上所述，m∈(0，1]∪[3，＋∞)．
故选B.
16、已知函数f(x)＝若F(x)＝f[f(x)＋1]＋m有两个零点x1，x2，则x1·x2的取值范围是( )
A．[4－2ln 2，＋∞) B．(，＋∞)
C．(－∞，4－2ln 2] D．(－∞，)
【答案】D
【解析】因为函数f(x)＝所以F(x)＝由F(x)＝0得，x1＝ee－m－1，x2＝4－2e－m，其中m＝－ln＜－ln ，∴m＜ln.设t＝e－m，则t＞，所以x1·x2＝2et－1(2－t)，设g(t)＝2et－1(2－t)，则g′(t)＝2et－1(1－t)，因为t＞，所以g′(t)＝2et－1(1－t)＜0，即函数g(t)＝2et－1(2－t)在区间上是减函数，所以g(t)＜g＝，故选D.
17、已知函数f(x)=若函数g(x)=f(x)-m有3个零点,则实数m的取值范围是 .
【答案】(0,1)
【解析】因为函数g(x)=f(x)-m有3个零点,所以f(x)-m=0有3个根,所以y=f(x)的图像与直线y=m有3个交点.画出函数y=f(x)的图像,由抛物线顶点为(-1,1),可知实数m的取值范围是(0,1).
18、已知a＞0，函数f(x)＝若关于x的方程f(x)＝ax恰有2个互异的实数解，则a的取值范围是________．
【答案】(4，8)
【解析】当x≤0时，由x2＋2ax＋a＝ax，得a＝－x2－ax；当x＞0时，由－x2＋2ax－2a＝ax，得2a＝－x2＋ax.令g(x)＝作出直线y＝a，y＝2a，函数g(x)的图象如图所示，g(x)的最大值为－＋＝，由图象可知，若f(x)＝ax恰有2个互异的实数解，则a＜＜2a，得4＜a＜8.
19、已知函数f(x)＝log2x＋2x－m有唯一零点，若它的零点在区间(1,2)内，则实数m的取值范围是________．
【答案】(2,5)
【解析】因为f(x)在(0，＋∞)上单调递增，函数的零点在区间(1,2)内，所以f(1)·f(2)<0，即(log21＋21－m)·(log22＋22－m)<0⇒(2－m)(5－m)<0，解得2
(1)判断命题：“对于任意的a∈R，方程f(x)＝1必有实数根”的真假，并写出判断过程；
(2)若y＝f(x)在区间(－1，0)及内各有一个零点，求实数a的取值范围．
【答案】
【解析】(1)“对于任意的a∈R，方程f(x)＝1必有实数根”是真命题．依题意，f(x)＝1有实根，即x2＋(2a－1)x－2a＝0有实根，因为Δ＝(2a－1)2＋8a＝(2a＋1)2≥0对于任意的a∈R恒成立，即x2＋(2a－1)x－2a＝0必有实根，从而f(x)＝1必有实根．
(2)依题意，要使y＝f(x)在区间(－1，0)及内各有一个零点，只需即
解得＜a＜.
故实数a的取值范围为.
21、已知函数f(x)＝－log2x的零点为x0，若x0∈(k，k＋1)，其中k为整数，则k＝________.
【答案】2
【解析】由题意得f(x)在(0，＋∞)上单调递减，f(1)＝3>0，f(2)＝－log22＝>0，f(3)＝1－log23<0，∴f(2)f(3)<0，∴函数f(x)＝－log2x的零点x0∈(2,3)，∴k＝2.
22、设函数f(x)＝(x>0)．
(1)做出函数f(x)的图象；
(2)当0
【答案】(1)函数f(x)的图象如图 (2) 2 (3) 0
(2)∵f(x)＝＝
故f(x)在(0,1]上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数．
由0
当λ＝2时，不等式f(x)＜0的解集是________．若函数f(x)恰有2个零点，则λ的取值范围是________．
【答案】(1，4) (1，3]∪(4，＋∞)
【解析】(1)当λ＝2时，f(x)＝
其图象如图(1)．
由图知f(x)＜0的解集为(1，4)．
(2)f(x)＝恰有2个零点有两种情况：①二次函数有两个零点，一次函数无零点；②二次函数与一次函数各有一个零点．
在同一平面直角坐标系中画出y＝x－4与y＝x2－4x＋3的图象，如图(2)，平移直线x＝λ，可得λ∈(1，3]∪(4，＋∞)．
24、已知函数f(x)＝－x2－2x，g(x)＝
(1)求g(f(1))的值；
(2)若方程g(f(x))－a＝0有4个不同的实数根，求实数a的取值范围．
【答案】(1) -2 (2)
【解析】(1)利用解析式直接求解得g(f(1))＝g(－3)＝－3＋1＝－2.
(2)令f(x)＝t，则原方程化为g(t)＝a，易知方程f(x)＝t在(－∞，1)上有2个不同的解，则原方程有4个解等价于函数y＝g(t)(t＜1)与y＝a的图象有2个不同的交点，作出函数y＝g(t)(t＜1)的图象如图，由图象可知，当1≤a＜时，函数y＝g(t)(t＜1)与y＝a有2个不同的交点，即所求a的取值范围是.
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