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【精品试题】高考数学一轮必刷题 专题60 离散型随机变量及其分布列（含解析）
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考点60 离散型随机变量及其分布列
1．(2018江西九校联考)已知下列四个变量：
①某高铁候车室中一天的旅客数量X1；
②某次学术讲座中学员向主讲教授提问的次数X2；
③某一天中长江的水位X3；
④某次大型车展中销售汽车的车辆数X4.
其中不是离散型随机变量的是( )
A．①中的X1 B．②中的X2
C．③中的X3 D．④中的X4
2．(2018湖南湘阳联考)某射手射击所得环数X的分布列为
X
4
5
6
7
8
9
10
P
0.02
0.04
0.06
0.09
0.28
0.29
0.22
则此射手“射击一次命中环数大于7”的概率为( )
A．0.28 B．0.88
C．0.79 D．0.51
3．(2018福建南平一模)随机变量ξ的所有可能的取值为1,2,3，…，10，且P(ξ＝k)＝ak(k＝1,2，…，10)，则a值为( )
A. B．
C．110 D．55
4．(2018兰州模拟)有一个公用电话亭，观察使用过电话的人的流量时，设在某一时刻，有n个人正在使用电话或等待使用电话的概率为P(n)，且P(n)与时刻t无关，统计得到P(n)＝那么P(0)的值是( )
A．0 B．1
C． D．
5．(2018四川资阳联考)在15个村庄中有7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，用X表示这10个村庄中交通不方便的村庄数，下列概率中等于的是( )
A．P(X＝2) B．P(X≤2)
C．P(X＝4) D．P(X≤4)
6．(2018衡水中学模拟)若随机变量X的分布列为
X
－2
－1
0
1
2
3
P
0.1
0.2
0.2
0.3
0.1
0.1
则当P(X＜a)＝0.8时，实数a的取值范围是( )
A．(－∞，2] B．[1,2]
C．(1,2] D．(1,2)
7．(2018湖北八校联考)已知随机变量ξ的分布列如下表：
ξ
－1
0
1
P
a
b
c
其中a，b，c成等差数列，则P(|ξ|＝1)的值与公差d的取值范围分别是( )
A. B．
C. D．
8．(2018浙江温州模拟)设随机变量X等可能取值1,2,3，…，n，如果P(X＜4)＝0.3，那么n＝________.
9．(2018甘肃联合诊断)抛掷2颗骰子，所得点数之和X是一个随机变量，则P(X≤4)＝________.
10．(2018广东珠海三模)在一个口袋中装有黑、白两个球，从中随机取一球，记下它的颜色，然后放回，再取一球，又记下它的颜色，写出这两次取出白球数η的分布列为________．
11．(2018石家庄调研)为检测某产品的质量，现抽取5件产品，测量产品中微量元素x，y的含量(单位：毫克)，测量数据如下：
编号
1
2
3
4
5
x
169
178
166
177
180
y
75
80
77
70
81
如果产品中的微量元素x，y满足x≥177且y≥79时，该产品为优等品．
现从上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中优等品数ξ的分布列．
12．（甘肃省兰州市第一中学2019届高三6月最后高考冲刺模拟数学理）某商场营销人员进行某商品的市场营销调查时发现，每回馈消费者一定的点数，该商品每天的销量就会发生一定的变化，经过试点统计得到以下表：
反馈点数t
1
2
3
4
5
销量（百件）/天
0.5
0.6
1
1.4
1.7
（Ⅰ）经分析发现，可用线性回归模型
拟合当地该商品销量（千件）与返还点数之间的相关关系.试预测若返回6个点时该商品每天的销量；
（Ⅱ）若节日期间营销部对商品进行新一轮调整.已知某地拟购买该商品的消费群体十分庞大，经营销调研机构对其中的200名消费者的返点数额的心理预期值进行了一个抽样调查，得到如下一份频数表：
返还点数预期值区间
（百分比）
[1,3)
[3,5)
[5,7)
[7,9)
[9,11)
[11,13)
频数
20
60
60
30
20
10
（1）求这200位拟购买该商品的消费者对返点点数的心理预期值的样本平均数及中位数的估计值（同一区间的预期值可用该区间的中点值代替；估计值精确到0.1）；
（2）将对返点点数的心理预期值在和的消费者分别定义为“欲望紧缩型”消费者和“欲望膨胀型”消费者，现采用分层抽样的方法从位于这两个区间的30名消费者中随机抽取6名，再从这6人中随机抽取3名进行跟踪调查，设抽出的3人中 “欲望紧缩型”消费者的人数为随机变量，求的分布列及数学期望.
13．（北京市通州区2019届高三4月第一次模拟考试数学理）某校工会开展健步走活动，要求教职工上传3月1日至3月7日微信记步数信息，下图是职工甲和职工乙微信记步数情况：
（Ⅰ）从3月1日至3月7日中任选一天，求这一天职工甲和职工乙微信记步数都不低于10000的概率；
（Ⅱ）从3月1日至3月7日中任选两天，记职工乙在这两天中微信记步数不低于10000的天数为
，求 的分布列及数学期望；
（Ⅲ）如图是校工会根据3月1日至3月7日某一天的数据，制作的全校200名教职工微信记步数的频率分布直方图．已知这一天甲和乙微信记步数在单位200名教职工中排名分别为第68和第142，请指出这是根据哪一天的数据制作的频率分布直方图（不用说明理由）．
14．（安徽省江淮十校2019届高三年级5月考前最后一卷数学理）某销售公司在当地
、两家超市各有一个销售点，每日从同一家食品厂一次性购进一种食品，每件200元，统一零售价每件300元，两家超市之间调配食品不计费用，若进货不足食品厂以每件250元补货，若销售有剩余食品厂以每件150回收.现需决策每日购进食品数量，为此搜集并整理了、两家超市往年同期各50天的该食品销售记录，得到如下数据：
销售件数
8
9
10
11
频数
20
40
20
20
以这些数据的频数代替两家超市的食品销售件数的概率，记表示这两家超市每日共销售食品件数，表示销售公司每日共需购进食品的件数.
（1）求的分布列；
（2）以销售食品利润的期望为决策依据，在与之中选其一，应选哪个？
15．（重庆南开中学2019届高三第四次教学检测考试数学理）“伟大的变革—庆祝改革开放
周年大型展览”于年月日在中国国家博物馆闭幕，本次特展紧扣“改革开放年光辉历程”的主线，多角度、全景式描绘了我国改革开放年波澜壮阔的历史画卷．据统计，展览全程呈现出持续火爆的状态，现场观众累计达万人次，参展人数屡次创造国家博物馆参观纪录，网上展馆点击浏览总量达亿次．
下表是年月参观人数（单位：万人）统计表
日期
人数
日期
人数
根据表中数据回答下列问题：
（1）请将年月前半月（日）和后半月（日）参观人数统计对比茎叶图填补完整，并通过茎叶图比较两组数据方差的大小（不要求计算出具体值，得出结论即可）；
（2）将年月参观人数数据用该天的对应日期作为样本编号，现从中抽样天的样本数据．若抽取的样本编号是以为公差的等差数列，且数列的第项为，求抽出的这个样本数据的平均值；
（3）根据国博以往展览数据及调查统计信息可知，单日入馆参观人数为（含，单位：万人）时，参观者的体验满意度最佳，在从中抽出的样本数据中随机抽取三天的数据，参观者的体验满意度为最佳的天数记为，求的分布列与期望．
16．（山东省泰安市教科研中心2019届高三考前密卷数学理）某中学高一期中考试结束后，从高一年级1000名学生中任意抽取50名学生，将这50名学生的某一科的考试成绩（满分150分）作为样本进行统计，并作出样本成绩的频率分布直方图（如图）．
（1）由于工作疏忽，将成绩[130，140）的数据丢失，求此区间的人数及频率分布直方图的中位数；（结果保留两位小数）
（2）若规定考试分数不小于120分为优秀，现从样本的优秀学生中任意选出3名学生，参加学习经验交流会．设X表示参加学习经验交流会的学生分数不小于130分的学生人数，求X的分布列及期望；
（3）视样本频率为概率．由于特殊原因，有一个学生不能到学校参加考试，根据以往考试成绩，一般这名学生的成绩应在平均分左右．试根据以上数据，说明他若参加考试，可能得多少分？（每组数据以区问的中点值为代表）
17．（江西省新八校2019届高三第二次联考理）某种水果按照果径大小可分为四类：标准果、优质果、精品果、礼品果.某采购商从采购的一批水果中随机抽取
个，利用水果的等级分类标准得到的数据如下：
等级
标准果
优质果
精品果
礼品果
个数
10
30
40
20
（1）若将频率视为概率，从这个水果中有放回地随机抽取个，求恰好有个水果是礼品果的概率.（结果用分数表示）
（2）用样本估计总体，果园老板提出两种购销方案给采购商参考.
方案：不分类卖出，单价为元.
方案：分类卖出，分类后的水果售价如下：
等级
标准果
优质果
精品果
礼品果
售价(元/kg）
16
18
22
24
从采购商的角度考虑，应该采用哪种方案？
（3）用分层抽样的方法从这个水果中抽取个，再从抽取的个水果中随机抽取个，表示抽取的是精品果的数量，求的分布列及数学期望.
18．（辽宁省沈阳市2019届高三教学质量监测三数学理）某商场举行优惠促销活动，顾客仅可以从以下两种优惠方案中选择一种，
方案一：每满200元减50元；
方案二：每满200元可抽奖一次．具体规则是依次从装有3个红球、l个白球的甲箱，装有2个红球、2个白球的乙箱，以及装有1个红球、3个白球的丙箱中各随机摸出1个球，所得结果和享受的优惠如下表：（注：所有小球仅颜色有区别）
红球个数
3
2
1
0
实际付款
半价
7折
8折
原价
（1）若两个顾客都选择方案二，各抽奖一次，求至少一个人获得半价优惠的概率；
（2）若某顾客购物金额为320元，用所学概率知识比较哪一种方案更划算？
19．（四川省绵阳市2019届高三下学期第三次诊断性考试数学理）甲、乙两家物流公司都需要进行货物中转，由于业务量扩大，现向社会招聘货车司机，其日工资方案如下：甲公司，底薪80元，司机毎中转一车货物另计4元：乙公司无底薪，中转40车货物以内（含40车）的部分司机每车计6元，超出40车的部分司机每车计7元．假设同一物流公司的司机一填中转车数相同，现从这两家公司各随机选取一名货车司机，并分别记录其50天的中转车数，得到如下频数表：
甲公司送餐员送餐单数频数表
送餐单数
38
39
40
41
42
天数
10
15
10
10
5
乙公司送餐员送餐单数频数表
送餐单数
38
39
40
41
42
天数
5
10
10
20
5
（1）现从记录甲公司的50天货物中转车数中随机抽取3天的中转车数，求这3天中转车数都不小于40的概率；
（2）若将频率视为概率，回答下列两个问题：
①记乙公司货车司机日工资为X（单位：元），求X的分布列和数学期望E（X）；
②小王打算到甲、乙两家物流公司中的一家应聘，如果仅从日工资的角度考虑，请利用所学的统计学知识为小王作出选择，并说明理由．
20．（河南省濮阳市2019届高三5月模拟考试数学理）随着手机的发展，“微信”逐渐成为人们支付购物的一种形式.某机构对“使用微信支付”的态度进行调查，随机抽取了50人，他们年龄的频数分布及对“使用微信支付”赞成人数如下表.
年龄
（单位：岁）
，
，
，
，
，
，
频数
5
10
15
10
5
5
赞成人数
5
10
12
7
2
1
（Ⅰ）若以“年龄45岁为分界点”，由以上统计数据完成下面列联表，并判断是否有99%的把握认为“使用微信支付”的态度与人的年龄有关；
年龄不低于45岁的人数
年龄低于45岁的人数
合计
赞成
不赞成
合计
（Ⅱ）若从年龄在的被调查人中按照赞成与不赞成分层抽样，抽取5人进行追踪调查，在5人中抽取3人做专访，求3人中不赞成使用微信支付的人数的分布列和期望值.
参考数据：
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
，其中.
21．（河北省保定市2019年高三第二次模拟考试理）某次招聘分为笔试和面试两个环节，且只有笔试过关者方可进入面试环节，笔试与面试都过关才会被录用.笔试需考完全部三科，且至少有两科优秀才算笔试过关，面试需考完全部两科且两科均为优秀才算面试过关.假设某考生笔试三科每科优秀的概率均为
，面试两科每科优秀的概率均为.
（1）求该考生被录用的概率；
（2）设 该考生在此次招聘活动中考试的科目总数为，求的分布列与数学期望.
考点60 离散型随机变量及其分布列
1．(2018江西九校联考)已知下列四个变量：
①某高铁候车室中一天的旅客数量X1；
②某次学术讲座中学员向主讲教授提问的次数X2；
③某一天中长江的水位X3；
④某次大型车展中销售汽车的车辆数X4.
其中不是离散型随机变量的是( )
A．①中的X1 B．②中的X2
C．③中的X3 D．④中的X4
【答案】C
【解析】①②④中的随机变量可能取的值都可以按一定次序一一列出，因此它们都是离散型随机变量；③中的X3可以取某一区间内的一切值，无法按一定次序一一列出，故X3不是离散型随机变量．故选C.
2．(2018湖南湘阳联考)某射手射击所得环数X的分布列为
X
4
5
6
7
8
9
10
P
0.02
0.04
0.06
0.09
0.28
0.29
0.22
则此射手“射击一次命中环数大于7”的概率为( )
A．0.28 B．0.88
C．0.79 D．0.51
【答案】C
【解析】P(X＞7)＝P(X＝8)＋P(X＝9)＋P(X＝10)＝0.28＋0.29＋0.22＝0.79.
3．(2018福建南平一模)随机变量ξ的所有可能的取值为1,2,3，…，10，且P(ξ＝k)＝ak(k＝1,2，…，10)，则a值为( )
A. B．
C．110 D．55
【答案】B
【解析】∵随机变量ξ的所有可能的取值为1,2,3，…，10，且P(ξ＝k)＝ak(k＝1,2，…，10)，∴a＋2a＋3a＋…＋10a＝1，∴55a＝1，
∴a＝.
4．(2018兰州模拟)有一个公用电话亭，观察使用过电话的人的流量时，设在某一时刻，有n个人正在使用电话或等待使用电话的概率为P(n)，且P(n)与时刻t无关，统计得到P(n)＝那么P(0)的值是( )
A．0 B．1
C． D．
【答案】C
【解析】由题意得P(1)＝P(0)，P(2)＝P(0)，P(3)＝P(0)，P(4)＝P(0)，P(5)＝P(0)，P(n≥6)＝0，所以1＝P(0)＋P(1)＋P(2)＋P(3)＋P(4)＋P(5)＋P(n≥6)＝·P(0)＝P(0)，所以P(0)＝.
5．(2018四川资阳联考)在15个村庄中有7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，用X表示这10个村庄中交通不方便的村庄数，下列概率中等于的是( )
A．P(X＝2) B．P(X≤2)
C．P(X＝4) D．P(X≤4)
【答案】C
【解析】X服从超几何分布P(X＝k)＝，故X＝k＝4.
6．(2018衡水中学模拟)若随机变量X的分布列为
X
－2
－1
0
1
2
3
P
0.1
0.2
0.2
0.3
0.1
0.1
则当P(X＜a)＝0.8时，实数a的取值范围是( )
A．(－∞，2] B．[1,2]
C．(1,2] D．(1,2)
【答案】C
【解析】由随机变量X的分布列知：P(X＜－1)＝0.1，P(X＜0)＝0.3，P(X＜1)＝0.5，P(X＜2)＝0.8，则当P(X＜a)＝0.8时，实数a的取值范围是(1,2]．
7．(2018湖北八校联考)已知随机变量ξ的分布列如下表：
ξ
－1
0
1
P
a
b
c
其中a，b，c成等差数列，则P(|ξ|＝1)的值与公差d的取值范围分别是( )
A. B．
C. D．
【答案】A
【解析】∵a，b，c成等差数列，∴2b＝a＋c.
又a＋b＋c＝1，∴b＝，∴P(|ξ|＝1)＝a＋c＝，
则a＝－d，c＝＋d.
根据分布列的性质，得0≤－d≤，0≤＋d≤，
∴－≤d≤.故选A.
8．(2018浙江温州模拟)设随机变量X等可能取值1,2,3，…，n，如果P(X＜4)＝0.3，那么n＝________.
【答案】10
【解析】由于随机变量X等可能取1,2,3，…，n.∴取到每个数的概率均为.∴P(X＜4)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝＝0.3，∴n＝10.
9．(2018甘肃联合诊断)抛掷2颗骰子，所得点数之和X是一个随机变量，则P(X≤4)＝________.
【答案】
【解析】相应的基本事件空间有36个基本事件，其中X＝2对应(1,1)；X＝3对应(1,2)，(2,1)；X＝4对应(1,3)，(2,2)，(3,1)．
所以P(X≤4)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＋P(X＝4)＝＋＋＝.
10．(2018广东珠海三模)在一个口袋中装有黑、白两个球，从中随机取一球，记下它的颜色，然后放回，再取一球，又记下它的颜色，写出这两次取出白球数η的分布列为________．
【答案】
η
0
1
2
P
【解析】η的所有可能取值为0,1,2.
P(η＝0)＝＝；P(η＝1)＝＝；
P(η＝2)＝＝.
∴η的分布列为
η
0
1
2
P
11．(2018石家庄调研)为检测某产品的质量，现抽取5件产品，测量产品中微量元素x，y的含量(单位：毫克)，测量数据如下：
编号
1
2
3
4
5
x
169
178
166
177
180
y
75
80
77
70
81
如果产品中的微量元素x，y满足x≥177且y≥79时，该产品为优等品．
现从上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中优等品数ξ的分布列．
【解】5件抽测品中有2件优等品，则ξ的可能取值为0,1,2.
P(ξ＝0)＝＝0.3；P(ξ＝1)＝＝0.6；
P(ξ＝2)＝＝0.1.
∴优等品数ξ的分布列为
ξ
0
1
2
P
0.3
0.6
0.1
12．（甘肃省兰州市第一中学2019届高三6月最后高考冲刺模拟数学理）某商场营销人员进行某商品的市场营销调查时发现，每回馈消费者一定的点数，该商品每天的销量就会发生一定的变化，经过试点统计得到以下表：
反馈点数t
1
2
3
4
5
销量（百件）/天
0.5
0.6
1
1.4
1.7
（Ⅰ）经分析发现，可用线性回归模型拟合当地该商品销量（千件）与返还点数之间的相关关系.试预测若返回6个点时该商品每天的销量；
（Ⅱ）若节日期间营销部对商品进行新一轮调整.已知某地拟购买该商品的消费群体十分庞大，经营销调研机构对其中的200名消费者的返点数额的心理预期值进行了一个抽样调查，得到如下一份频数表：
返还点数预期值区间
（百分比）
[1,3)
[3,5)
[5,7)
[7,9)
[9,11)
[11,13)
频数
20
60
60
30
20
10
（1）求这200位拟购买该商品的消费者对返点点数的心理预期值的样本平均数及中位数的估计值（同一区间的预期值可用该区间的中点值代替；估计值精确到0.1）；
（2）将对返点点数的心理预期值在和的消费者分别定义为“欲望紧缩型”消费者和“欲望膨胀型”消费者，现采用分层抽样的方法从位于这两个区间的30名消费者中随机抽取6名，再从这6人中随机抽取3名进行跟踪调查，设抽出的3人中 “欲望紧缩型”消费者的人数为随机变量，求的分布列及数学期望.
【答案】（Ⅰ）返回6个点时该商品每天销量约为2百件；（Ⅱ）（1）均值的估计值为6, 中位数的估计值为5.7；（2）详见解析.
【解析】
解：（Ⅰ）由题意可得：，
因为线性回归模型为，所以，解得；
故关于的线性回归方程为，
当时，，即返回6个点时该商品每天销量约为2百件.
（Ⅱ）（1）根据题意，这200位拟购买该商品的消费者对返回点数的心里预期值的平均值的估计值为：
，
中位数的估计值为.
（2）抽取6名消费者中“欲望紧缩型”消费者人数为，
“欲望膨胀型”消费者人数为.
由题意的可能取值为，
所以, ,
故随机变量的分布列为
X
1
2
3
P
.
13．（北京市通州区2019届高三4月第一次模拟考试数学理）某校工会开展健步走活动，要求教职工上传3月1日至3月7日微信记步数信息，下图是职工甲和职工乙微信记步数情况：
（Ⅰ）从3月1日至3月7日中任选一天，求这一天职工甲和职工乙微信记步数都不低于10000的概率；
（Ⅱ）从3月1日至3月7日中任选两天，记职工乙在这两天中微信记步数不低于10000的天数为，求 的分布列及数学期望；
（Ⅲ）如图是校工会根据3月1日至3月7日某一天的数据，制作的全校200名教职工微信记步数的频率分布直方图．已知这一天甲和乙微信记步数在单位200名教职工中排名分别为第68和第142，请指出这是根据哪一天的数据制作的频率分布直方图（不用说明理由）．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）3月3日
【解析】
（Ⅰ）设“职工甲和职工乙微信记步数都不低于10000”为事件
从3月1日至3月7日这七天中，3月2日，3月5日，3月7日这三天职工甲和职工乙微信记步数都不低于10000，所以；
（Ⅱ）X的所有可能取值为0，1，2，…， ，
的分布列为
0
1
2
（Ⅲ）由直方图知，微信记步数落在，，，，（单位：千步）区间内的人数依次为，，，， 据折线图知，这只有3月2日、3月3日和3月7日；而由乙微信记步数排名第142，可知当天乙微信记步数在5000---10000之间，根据折线图知，这只有3月3日和3月6日．所以只有3月3日符合要求．
14．（安徽省江淮十校2019届高三年级5月考前最后一卷数学理）某销售公司在当地、两家超市各有一个销售点，每日从同一家食品厂一次性购进一种食品，每件200元，统一零售价每件300元，两家超市之间调配食品不计费用，若进货不足食品厂以每件250元补货，若销售有剩余食品厂以每件150回收.现需决策每日购进食品数量，为此搜集并整理了、两家超市往年同期各50天的该食品销售记录，得到如下数据：
销售件数
8
9
10
11
频数
20
40
20
20
以这些数据的频数代替两家超市的食品销售件数的概率，记表示这两家超市每日共销售食品件数，表示销售公司每日共需购进食品的件数.
（1）求的分布列；
（2）以销售食品利润的期望为决策依据，在与之中选其一，应选哪个？
【答案】(1)见解析；(2) .
【解析】
（1）由已知一家超市销售食品件数8,9,10,11的概率分别为 .
取值为16,17,18,19,20,21.
，；
； ；
；
所以的分布列为
16
17
18
19
20
21
22
（2） 当时，记为销售该食品利润，则的分布列为
1450
1600
1750
1900
1950
2000
2050
当时，记为销售该食品利润，则的分布列为
1400
1550
1700
1850
2000
2050
2100
因为 ，故应选.
15．（重庆南开中学2019届高三第四次教学检测考试数学理）“伟大的变革—庆祝改革开放周年大型展览”于年月日在中国国家博物馆闭幕，本次特展紧扣“改革开放年光辉历程”的主线，多角度、全景式描绘了我国改革开放年波澜壮阔的历史画卷．据统计，展览全程呈现出持续火爆的状态，现场观众累计达万人次，参展人数屡次创造国家博物馆参观纪录，网上展馆点击浏览总量达亿次．
下表是年月参观人数（单位：万人）统计表
日期
人数
日期
人数
根据表中数据回答下列问题：
（1）请将年月前半月（日）和后半月（日）参观人数统计对比茎叶图填补完整，并通过茎叶图比较两组数据方差的大小（不要求计算出具体值，得出结论即可）；
（2）将年月参观人数数据用该天的对应日期作为样本编号，现从中抽样天的样本数据．若抽取的样本编号是以为公差的等差数列，且数列的第项为，求抽出的这个样本数据的平均值；
（3）根据国博以往展览数据及调查统计信息可知，单日入馆参观人数为（含，单位：万人）时，参观者的体验满意度最佳，在从中抽出的样本数据中随机抽取三天的数据，参观者的体验满意度为最佳的天数记为，求的分布列与期望．
【答案】(1)见解析；(2)3.3 (3)见解析
【解析】
（1）
由茎叶图可知，后半月数据分布较集中，故后半月数据的方差小于前半月数据的方差．
（2）由题意，抽取到的样本编号分别是号、号、号、号、号、号和号，对应的样本数据依次是、、、、、和．
故平均值为：．
（3）由（2）知所抽样本天中，有三天参观人数超过万人，其余四天体验满意度最佳．从而可取值，，，
，
，
的分布列如下：
．
16．（山东省泰安市教科研中心2019届高三考前密卷数学理）某中学高一期中考试结束后，从高一年级1000名学生中任意抽取50名学生，将这50名学生的某一科的考试成绩（满分150分）作为样本进行统计，并作出样本成绩的频率分布直方图（如图）．
（1）由于工作疏忽，将成绩[130，140）的数据丢失，求此区间的人数及频率分布直方图的中位数；（结果保留两位小数）
（2）若规定考试分数不小于120分为优秀，现从样本的优秀学生中任意选出3名学生，参加学习经验交流会．设X表示参加学习经验交流会的学生分数不小于130分的学生人数，求X的分布列及期望；
（3）视样本频率为概率．由于特殊原因，有一个学生不能到学校参加考试，根据以往考试成绩，一般这名学生的成绩应在平均分左右．试根据以上数据，说明他若参加考试，可能得多少分？（每组数据以区问的中点值为代表）
【答案】（1）8, 117.14；（2）见解析；（3）115.4
【解析】
（1）这50名学生成绩在各区间的频率及人数如下：[60，70）的频率为0.02，人数为1，
[70，80）的频率为0.04，人数为2，[80，90）的频率为0.02，人数为1，
[90，100）的频率为0.14，人数为7，[100，110）的频率为0.18，人数为9，
[110，120）的频率为0.14，人数为7，[120，130）的频率为0.2，人数为10，
[140，150）的频率为0.1，人数为5，∴[130，140）的频率为0.16，人数为8，
∵中位数把频率分布直方图分成左右面积相等，设中位数为m，[60，110）的频率和为：
0.02+0.04+0.02+0.14+0.18＝0.4，[110，120）的频率为0.14，
∴（m﹣110）×0.14＝0.5﹣0.4＝0.1，解得m＝≈117.14．
所以频率分布直方图的中位数为117.14．
（2）考试分数不小于120分的优秀学生有23人，X表示参加教学交流会的不小于130分的学生人数的取值为0，1，2，3，
P（X＝0）＝，
P（X＝1）＝，
P（X＝2）＝，
P（X＝3），
∴X的分布列为：
0
1
2
3
E（X） ；
（3）平均分W＝65×0.02+75×0.04+85×0.02+95×0.14+105×0.18+115×0.14+125×0.2+135×0.16+145×0.1＝115.4，
∴该学生可能得分为115.4分．
17．（江西省新八校2019届高三第二次联考理）某种水果按照果径大小可分为四类：标准果、优质果、精品果、礼品果.某采购商从采购的一批水果中随机抽取个，利用水果的等级分类标准得到的数据如下：
等级
标准果
优质果
精品果
礼品果
个数
10
30
40
20
（1）若将频率视为概率，从这个水果中有放回地随机抽取个，求恰好有个水果是礼品果的概率.（结果用分数表示）
（2）用样本估计总体，果园老板提出两种购销方案给采购商参考.
方案：不分类卖出，单价为元.
方案：分类卖出，分类后的水果售价如下：
等级
标准果
优质果
精品果
礼品果
售价(元/kg）
16
18
22
24
从采购商的角度考虑，应该采用哪种方案？
（3）用分层抽样的方法从这个水果中抽取个，再从抽取的个水果中随机抽取个，表示抽取的是精品果的数量，求的分布列及数学期望.
【答案】（1）；（2）第一种方案；（3）详见解析
【解析】
（1）设从个水果中随机抽取一个，抽到礼品果的事件为，则
现有放回地随机抽取个，设抽到礼品果的个数为，则
恰好抽到个礼品果的概率为：
（2）设方案的单价为，则单价的期望值为：
从采购商的角度考虑，应该采用第一种方案
（3）用分层抽样的方法从个水果中抽取个，则其中精品果个，非精品果个
现从中抽取个，则精品果的数量服从超几何分布，所有可能的取值为：
则；；；
的分布列如下：
18．（辽宁省沈阳市2019届高三教学质量监测三数学理）某商场举行优惠促销活动，顾客仅可以从以下两种优惠方案中选择一种，
方案一：每满200元减50元；
方案二：每满200元可抽奖一次．具体规则是依次从装有3个红球、l个白球的甲箱，装有2个红球、2个白球的乙箱，以及装有1个红球、3个白球的丙箱中各随机摸出1个球，所得结果和享受的优惠如下表：（注：所有小球仅颜色有区别）
红球个数
3
2
1
0
实际付款
半价
7折
8折
原价
（1）若两个顾客都选择方案二，各抽奖一次，求至少一个人获得半价优惠的概率；
（2）若某顾客购物金额为320元，用所学概率知识比较哪一种方案更划算？
【答案】（1）（2）方案二更为划算
【解析】
（1）设事件为“顾客获得半价”，则，
所以两位顾客至少一人获得半价的概率为：．
（2）若选择方案一，则付款金额为．
若选择方案二，记付款金额为元，则可取的值为．
，
，
，
，
∴．
所以方案二更为划算．
19．（四川省绵阳市2019届高三下学期第三次诊断性考试数学理）甲、乙两家物流公司都需要进行货物中转，由于业务量扩大，现向社会招聘货车司机，其日工资方案如下：甲公司，底薪80元，司机毎中转一车货物另计4元：乙公司无底薪，中转40车货物以内（含40车）的部分司机每车计6元，超出40车的部分司机每车计7元．假设同一物流公司的司机一填中转车数相同，现从这两家公司各随机选取一名货车司机，并分别记录其50天的中转车数，得到如下频数表：
甲公司送餐员送餐单数频数表
送餐单数
38
39
40
41
42
天数
10
15
10
10
5
乙公司送餐员送餐单数频数表
送餐单数
38
39
40
41
42
天数
5
10
10
20
5
（1）现从记录甲公司的50天货物中转车数中随机抽取3天的中转车数，求这3天中转车数都不小于40的概率；
（2）若将频率视为概率，回答下列两个问题：
①记乙公司货车司机日工资为X（单位：元），求X的分布列和数学期望E（X）；
②小王打算到甲、乙两家物流公司中的一家应聘，如果仅从日工资的角度考虑，请利用所学的统计学知识为小王作出选择，并说明理由．
【答案】（1）；（2）①见解析，②若从日工资的角度考虑，小王应该选择乙公司
【解析】
（1）设“这三天中转车数都不小于40”的事件为A，则P（A）==．
（2）①设乙公司货车司机中转货车数为t，则X=，
则X的所有取值分别为228，234，240，247，254，其分布列为：
日工资
228
234
240
247
254
概率P
∴E（X）=228×+234×+240×+247×+254×=241.8．
②设甲公司货车司机日工资为Y，日中转车数为μ，则Y=4μ+80，
则Y的所有可能取值为232，236，240，244，248，则分布列为：
日工资
232
236
240
244
248
概率P
E（Y）=+248×=238.8．
由E（X）＞E（Y），知：若从日工资的角度考虑，小王应该选择乙公司．
20．（河南省濮阳市2019届高三5月模拟考试数学理）随着手机的发展，“微信”逐渐成为人们支付购物的一种形式.某机构对“使用微信支付”的态度进行调查，随机抽取了50人，他们年龄的频数分布及对“使用微信支付”赞成人数如下表.
年龄
（单位：岁）
，
，
，
，
，
，
频数
5
10
15
10
5
5
赞成人数
5
10
12
7
2
1
（Ⅰ）若以“年龄45岁为分界点”，由以上统计数据完成下面列联表，并判断是否有99%的把握认为“使用微信支付”的态度与人的年龄有关；
年龄不低于45岁的人数
年龄低于45岁的人数
合计
赞成
不赞成
合计
（Ⅱ）若从年龄在的被调查人中按照赞成与不赞成分层抽样，抽取5人进行追踪调查，在5人中抽取3人做专访，求3人中不赞成使用微信支付的人数的分布列和期望值.
参考数据：
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
，其中.
【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）详见解析.
【解析】
（Ⅰ）由频数分布表得列联表如下：
年龄不低于45岁的人数
年龄低于45岁的人数
合计
赞成
不赞成
13
合计
有的把握认为“使用微信交流”的态度与人的年龄有关
（Ⅱ）年龄在中支持微信支付人，不支持微信支付6人
由分层抽样方法可知：抽取的人中，支持微信支付人，不支持微信支付人
设人中不支持微信支付的人数为，则所有可能的取值为：
，，
的分布列为：
21．（河北省保定市2019年高三第二次模拟考试理）某次招聘分为笔试和面试两个环节，且只有笔试过关者方可进入面试环节，笔试与面试都过关才会被录用.笔试需考完全部三科，且至少有两科优秀才算笔试过关，面试需考完全部两科且两科均为优秀才算面试过关.假设某考生笔试三科每科优秀的概率均为，面试两科每科优秀的概率均为.
（1）求该考生被录用的概率；
（2）设该考生在此次招聘活动中考试的科目总数为，求的分布列与数学期望.
【答案】（1）（2）见解析
【解析】
解：（1）该考生被录用，说明该考生笔试与面试均得以过关.
所以P=
（2）易得的可能取值为3 ,5
或
或
3
5
P
1．(2018江西九校联考)已知下列四个变量：
①某高铁候车室中一天的旅客数量X1；
②某次学术讲座中学员向主讲教授提问的次数X2；
③某一天中长江的水位X3；
④某次大型车展中销售汽车的车辆数X4.
其中不是离散型随机变量的是( )
A．①中的X1 B．②中的X2
C．③中的X3 D．④中的X4
2．(2018湖南湘阳联考)某射手射击所得环数X的分布列为
X
4
5
6
7
8
9
10
P
0.02
0.04
0.06
0.09
0.28
0.29
0.22
则此射手“射击一次命中环数大于7”的概率为( )
A．0.28 B．0.88
C．0.79 D．0.51
3．(2018福建南平一模)随机变量ξ的所有可能的取值为1,2,3，…，10，且P(ξ＝k)＝ak(k＝1,2，…，10)，则a值为( )
A. B．
C．110 D．55
4．(2018兰州模拟)有一个公用电话亭，观察使用过电话的人的流量时，设在某一时刻，有n个人正在使用电话或等待使用电话的概率为P(n)，且P(n)与时刻t无关，统计得到P(n)＝那么P(0)的值是( )
A．0 B．1
C． D．
5．(2018四川资阳联考)在15个村庄中有7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，用X表示这10个村庄中交通不方便的村庄数，下列概率中等于的是( )
A．P(X＝2) B．P(X≤2)
C．P(X＝4) D．P(X≤4)
6．(2018衡水中学模拟)若随机变量X的分布列为
X
－2
－1
0
1
2
3
P
0.1
0.2
0.2
0.3
0.1
0.1
则当P(X＜a)＝0.8时，实数a的取值范围是( )
A．(－∞，2] B．[1,2]
C．(1,2] D．(1,2)
7．(2018湖北八校联考)已知随机变量ξ的分布列如下表：
ξ
－1
0
1
P
a
b
c
其中a，b，c成等差数列，则P(|ξ|＝1)的值与公差d的取值范围分别是( )
A. B．
C. D．
8．(2018浙江温州模拟)设随机变量X等可能取值1,2,3，…，n，如果P(X＜4)＝0.3，那么n＝________.
9．(2018甘肃联合诊断)抛掷2颗骰子，所得点数之和X是一个随机变量，则P(X≤4)＝________.
10．(2018广东珠海三模)在一个口袋中装有黑、白两个球，从中随机取一球，记下它的颜色，然后放回，再取一球，又记下它的颜色，写出这两次取出白球数η的分布列为________．
11．(2018石家庄调研)为检测某产品的质量，现抽取5件产品，测量产品中微量元素x，y的含量(单位：毫克)，测量数据如下：
编号
1
2
3
4
5
x
169
178
166
177
180
y
75
80
77
70
81
如果产品中的微量元素x，y满足x≥177且y≥79时，该产品为优等品．
现从上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中优等品数ξ的分布列．
12．（甘肃省兰州市第一中学2019届高三6月最后高考冲刺模拟数学理）某商场营销人员进行某商品的市场营销调查时发现，每回馈消费者一定的点数，该商品每天的销量就会发生一定的变化，经过试点统计得到以下表：
反馈点数t
1
2
3
4
5
销量（百件）/天
0.5
0.6
1
1.4
1.7
（Ⅰ）经分析发现，可用线性回归模型
拟合当地该商品销量（千件）与返还点数之间的相关关系.试预测若返回6个点时该商品每天的销量；
（Ⅱ）若节日期间营销部对商品进行新一轮调整.已知某地拟购买该商品的消费群体十分庞大，经营销调研机构对其中的200名消费者的返点数额的心理预期值进行了一个抽样调查，得到如下一份频数表：
返还点数预期值区间
（百分比）
[1,3)
[3,5)
[5,7)
[7,9)
[9,11)
[11,13)
频数
20
60
60
30
20
10
（1）求这200位拟购买该商品的消费者对返点点数的心理预期值的样本平均数及中位数的估计值（同一区间的预期值可用该区间的中点值代替；估计值精确到0.1）；
（2）将对返点点数的心理预期值在和的消费者分别定义为“欲望紧缩型”消费者和“欲望膨胀型”消费者，现采用分层抽样的方法从位于这两个区间的30名消费者中随机抽取6名，再从这6人中随机抽取3名进行跟踪调查，设抽出的3人中 “欲望紧缩型”消费者的人数为随机变量，求的分布列及数学期望.
13．（北京市通州区2019届高三4月第一次模拟考试数学理）某校工会开展健步走活动，要求教职工上传3月1日至3月7日微信记步数信息，下图是职工甲和职工乙微信记步数情况：
（Ⅰ）从3月1日至3月7日中任选一天，求这一天职工甲和职工乙微信记步数都不低于10000的概率；
（Ⅱ）从3月1日至3月7日中任选两天，记职工乙在这两天中微信记步数不低于10000的天数为
，求 的分布列及数学期望；
（Ⅲ）如图是校工会根据3月1日至3月7日某一天的数据，制作的全校200名教职工微信记步数的频率分布直方图．已知这一天甲和乙微信记步数在单位200名教职工中排名分别为第68和第142，请指出这是根据哪一天的数据制作的频率分布直方图（不用说明理由）．
14．（安徽省江淮十校2019届高三年级5月考前最后一卷数学理）某销售公司在当地
、两家超市各有一个销售点，每日从同一家食品厂一次性购进一种食品，每件200元，统一零售价每件300元，两家超市之间调配食品不计费用，若进货不足食品厂以每件250元补货，若销售有剩余食品厂以每件150回收.现需决策每日购进食品数量，为此搜集并整理了、两家超市往年同期各50天的该食品销售记录，得到如下数据：
销售件数
8
9
10
11
频数
20
40
20
20
以这些数据的频数代替两家超市的食品销售件数的概率，记表示这两家超市每日共销售食品件数，表示销售公司每日共需购进食品的件数.
（1）求的分布列；
（2）以销售食品利润的期望为决策依据，在与之中选其一，应选哪个？
15．（重庆南开中学2019届高三第四次教学检测考试数学理）“伟大的变革—庆祝改革开放
周年大型展览”于年月日在中国国家博物馆闭幕，本次特展紧扣“改革开放年光辉历程”的主线，多角度、全景式描绘了我国改革开放年波澜壮阔的历史画卷．据统计，展览全程呈现出持续火爆的状态，现场观众累计达万人次，参展人数屡次创造国家博物馆参观纪录，网上展馆点击浏览总量达亿次．
下表是年月参观人数（单位：万人）统计表
日期
人数
日期
人数
根据表中数据回答下列问题：
（1）请将年月前半月（日）和后半月（日）参观人数统计对比茎叶图填补完整，并通过茎叶图比较两组数据方差的大小（不要求计算出具体值，得出结论即可）；
（2）将年月参观人数数据用该天的对应日期作为样本编号，现从中抽样天的样本数据．若抽取的样本编号是以为公差的等差数列，且数列的第项为，求抽出的这个样本数据的平均值；
（3）根据国博以往展览数据及调查统计信息可知，单日入馆参观人数为（含，单位：万人）时，参观者的体验满意度最佳，在从中抽出的样本数据中随机抽取三天的数据，参观者的体验满意度为最佳的天数记为，求的分布列与期望．
16．（山东省泰安市教科研中心2019届高三考前密卷数学理）某中学高一期中考试结束后，从高一年级1000名学生中任意抽取50名学生，将这50名学生的某一科的考试成绩（满分150分）作为样本进行统计，并作出样本成绩的频率分布直方图（如图）．
（1）由于工作疏忽，将成绩[130，140）的数据丢失，求此区间的人数及频率分布直方图的中位数；（结果保留两位小数）
（2）若规定考试分数不小于120分为优秀，现从样本的优秀学生中任意选出3名学生，参加学习经验交流会．设X表示参加学习经验交流会的学生分数不小于130分的学生人数，求X的分布列及期望；
（3）视样本频率为概率．由于特殊原因，有一个学生不能到学校参加考试，根据以往考试成绩，一般这名学生的成绩应在平均分左右．试根据以上数据，说明他若参加考试，可能得多少分？（每组数据以区问的中点值为代表）
17．（江西省新八校2019届高三第二次联考理）某种水果按照果径大小可分为四类：标准果、优质果、精品果、礼品果.某采购商从采购的一批水果中随机抽取
个，利用水果的等级分类标准得到的数据如下：
等级
标准果
优质果
精品果
礼品果
个数
10
30
40
20
（1）若将频率视为概率，从这个水果中有放回地随机抽取个，求恰好有个水果是礼品果的概率.（结果用分数表示）
（2）用样本估计总体，果园老板提出两种购销方案给采购商参考.
方案：不分类卖出，单价为元.
方案：分类卖出，分类后的水果售价如下：
等级
标准果
优质果
精品果
礼品果
售价(元/kg）
16
18
22
24
从采购商的角度考虑，应该采用哪种方案？
（3）用分层抽样的方法从这个水果中抽取个，再从抽取的个水果中随机抽取个，表示抽取的是精品果的数量，求的分布列及数学期望.
18．（辽宁省沈阳市2019届高三教学质量监测三数学理）某商场举行优惠促销活动，顾客仅可以从以下两种优惠方案中选择一种，
方案一：每满200元减50元；
方案二：每满200元可抽奖一次．具体规则是依次从装有3个红球、l个白球的甲箱，装有2个红球、2个白球的乙箱，以及装有1个红球、3个白球的丙箱中各随机摸出1个球，所得结果和享受的优惠如下表：（注：所有小球仅颜色有区别）
红球个数
3
2
1
0
实际付款
半价
7折
8折
原价
（1）若两个顾客都选择方案二，各抽奖一次，求至少一个人获得半价优惠的概率；
（2）若某顾客购物金额为320元，用所学概率知识比较哪一种方案更划算？
19．（四川省绵阳市2019届高三下学期第三次诊断性考试数学理）甲、乙两家物流公司都需要进行货物中转，由于业务量扩大，现向社会招聘货车司机，其日工资方案如下：甲公司，底薪80元，司机毎中转一车货物另计4元：乙公司无底薪，中转40车货物以内（含40车）的部分司机每车计6元，超出40车的部分司机每车计7元．假设同一物流公司的司机一填中转车数相同，现从这两家公司各随机选取一名货车司机，并分别记录其50天的中转车数，得到如下频数表：
甲公司送餐员送餐单数频数表
送餐单数
38
39
40
41
42
天数
10
15
10
10
5
乙公司送餐员送餐单数频数表
送餐单数
38
39
40
41
42
天数
5
10
10
20
5
（1）现从记录甲公司的50天货物中转车数中随机抽取3天的中转车数，求这3天中转车数都不小于40的概率；
（2）若将频率视为概率，回答下列两个问题：
①记乙公司货车司机日工资为X（单位：元），求X的分布列和数学期望E（X）；
②小王打算到甲、乙两家物流公司中的一家应聘，如果仅从日工资的角度考虑，请利用所学的统计学知识为小王作出选择，并说明理由．
20．（河南省濮阳市2019届高三5月模拟考试数学理）随着手机的发展，“微信”逐渐成为人们支付购物的一种形式.某机构对“使用微信支付”的态度进行调查，随机抽取了50人，他们年龄的频数分布及对“使用微信支付”赞成人数如下表.
年龄
（单位：岁）
，
，
，
，
，
，
频数
5
10
15
10
5
5
赞成人数
5
10
12
7
2
1
（Ⅰ）若以“年龄45岁为分界点”，由以上统计数据完成下面列联表，并判断是否有99%的把握认为“使用微信支付”的态度与人的年龄有关；
年龄不低于45岁的人数
年龄低于45岁的人数
合计
赞成
不赞成
合计
（Ⅱ）若从年龄在的被调查人中按照赞成与不赞成分层抽样，抽取5人进行追踪调查，在5人中抽取3人做专访，求3人中不赞成使用微信支付的人数的分布列和期望值.
参考数据：
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
，其中.
21．（河北省保定市2019年高三第二次模拟考试理）某次招聘分为笔试和面试两个环节，且只有笔试过关者方可进入面试环节，笔试与面试都过关才会被录用.笔试需考完全部三科，且至少有两科优秀才算笔试过关，面试需考完全部两科且两科均为优秀才算面试过关.假设某考生笔试三科每科优秀的概率均为
，面试两科每科优秀的概率均为.
（1）求该考生被录用的概率；
（2）设 该考生在此次招聘活动中考试的科目总数为，求的分布列与数学期望.
考点60 离散型随机变量及其分布列
1．(2018江西九校联考)已知下列四个变量：
①某高铁候车室中一天的旅客数量X1；
②某次学术讲座中学员向主讲教授提问的次数X2；
③某一天中长江的水位X3；
④某次大型车展中销售汽车的车辆数X4.
其中不是离散型随机变量的是( )
A．①中的X1 B．②中的X2
C．③中的X3 D．④中的X4
【答案】C
【解析】①②④中的随机变量可能取的值都可以按一定次序一一列出，因此它们都是离散型随机变量；③中的X3可以取某一区间内的一切值，无法按一定次序一一列出，故X3不是离散型随机变量．故选C.
2．(2018湖南湘阳联考)某射手射击所得环数X的分布列为
X
4
5
6
7
8
9
10
P
0.02
0.04
0.06
0.09
0.28
0.29
0.22
则此射手“射击一次命中环数大于7”的概率为( )
A．0.28 B．0.88
C．0.79 D．0.51
【答案】C
【解析】P(X＞7)＝P(X＝8)＋P(X＝9)＋P(X＝10)＝0.28＋0.29＋0.22＝0.79.
3．(2018福建南平一模)随机变量ξ的所有可能的取值为1,2,3，…，10，且P(ξ＝k)＝ak(k＝1,2，…，10)，则a值为( )
A. B．
C．110 D．55
【答案】B
【解析】∵随机变量ξ的所有可能的取值为1,2,3，…，10，且P(ξ＝k)＝ak(k＝1,2，…，10)，∴a＋2a＋3a＋…＋10a＝1，∴55a＝1，
∴a＝.
4．(2018兰州模拟)有一个公用电话亭，观察使用过电话的人的流量时，设在某一时刻，有n个人正在使用电话或等待使用电话的概率为P(n)，且P(n)与时刻t无关，统计得到P(n)＝那么P(0)的值是( )
A．0 B．1
C． D．
【答案】C
【解析】由题意得P(1)＝P(0)，P(2)＝P(0)，P(3)＝P(0)，P(4)＝P(0)，P(5)＝P(0)，P(n≥6)＝0，所以1＝P(0)＋P(1)＋P(2)＋P(3)＋P(4)＋P(5)＋P(n≥6)＝·P(0)＝P(0)，所以P(0)＝.
5．(2018四川资阳联考)在15个村庄中有7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，用X表示这10个村庄中交通不方便的村庄数，下列概率中等于的是( )
A．P(X＝2) B．P(X≤2)
C．P(X＝4) D．P(X≤4)
【答案】C
【解析】X服从超几何分布P(X＝k)＝，故X＝k＝4.
6．(2018衡水中学模拟)若随机变量X的分布列为
X
－2
－1
0
1
2
3
P
0.1
0.2
0.2
0.3
0.1
0.1
则当P(X＜a)＝0.8时，实数a的取值范围是( )
A．(－∞，2] B．[1,2]
C．(1,2] D．(1,2)
【答案】C
【解析】由随机变量X的分布列知：P(X＜－1)＝0.1，P(X＜0)＝0.3，P(X＜1)＝0.5，P(X＜2)＝0.8，则当P(X＜a)＝0.8时，实数a的取值范围是(1,2]．
7．(2018湖北八校联考)已知随机变量ξ的分布列如下表：
ξ
－1
0
1
P
a
b
c
其中a，b，c成等差数列，则P(|ξ|＝1)的值与公差d的取值范围分别是( )
A. B．
C. D．
【答案】A
【解析】∵a，b，c成等差数列，∴2b＝a＋c.
又a＋b＋c＝1，∴b＝，∴P(|ξ|＝1)＝a＋c＝，
则a＝－d，c＝＋d.
根据分布列的性质，得0≤－d≤，0≤＋d≤，
∴－≤d≤.故选A.
8．(2018浙江温州模拟)设随机变量X等可能取值1,2,3，…，n，如果P(X＜4)＝0.3，那么n＝________.
【答案】10
【解析】由于随机变量X等可能取1,2,3，…，n.∴取到每个数的概率均为.∴P(X＜4)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝＝0.3，∴n＝10.
9．(2018甘肃联合诊断)抛掷2颗骰子，所得点数之和X是一个随机变量，则P(X≤4)＝________.
【答案】
【解析】相应的基本事件空间有36个基本事件，其中X＝2对应(1,1)；X＝3对应(1,2)，(2,1)；X＝4对应(1,3)，(2,2)，(3,1)．
所以P(X≤4)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＋P(X＝4)＝＋＋＝.
10．(2018广东珠海三模)在一个口袋中装有黑、白两个球，从中随机取一球，记下它的颜色，然后放回，再取一球，又记下它的颜色，写出这两次取出白球数η的分布列为________．
【答案】
η
0
1
2
P
【解析】η的所有可能取值为0,1,2.
P(η＝0)＝＝；P(η＝1)＝＝；
P(η＝2)＝＝.
∴η的分布列为
η
0
1
2
P
11．(2018石家庄调研)为检测某产品的质量，现抽取5件产品，测量产品中微量元素x，y的含量(单位：毫克)，测量数据如下：
编号
1
2
3
4
5
x
169
178
166
177
180
y
75
80
77
70
81
如果产品中的微量元素x，y满足x≥177且y≥79时，该产品为优等品．
现从上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中优等品数ξ的分布列．
【解】5件抽测品中有2件优等品，则ξ的可能取值为0,1,2.
P(ξ＝0)＝＝0.3；P(ξ＝1)＝＝0.6；
P(ξ＝2)＝＝0.1.
∴优等品数ξ的分布列为
ξ
0
1
2
P
0.3
0.6
0.1
12．（甘肃省兰州市第一中学2019届高三6月最后高考冲刺模拟数学理）某商场营销人员进行某商品的市场营销调查时发现，每回馈消费者一定的点数，该商品每天的销量就会发生一定的变化，经过试点统计得到以下表：
反馈点数t
1
2
3
4
5
销量（百件）/天
0.5
0.6
1
1.4
1.7
（Ⅰ）经分析发现，可用线性回归模型拟合当地该商品销量（千件）与返还点数之间的相关关系.试预测若返回6个点时该商品每天的销量；
（Ⅱ）若节日期间营销部对商品进行新一轮调整.已知某地拟购买该商品的消费群体十分庞大，经营销调研机构对其中的200名消费者的返点数额的心理预期值进行了一个抽样调查，得到如下一份频数表：
返还点数预期值区间
（百分比）
[1,3)
[3,5)
[5,7)
[7,9)
[9,11)
[11,13)
频数
20
60
60
30
20
10
（1）求这200位拟购买该商品的消费者对返点点数的心理预期值的样本平均数及中位数的估计值（同一区间的预期值可用该区间的中点值代替；估计值精确到0.1）；
（2）将对返点点数的心理预期值在和的消费者分别定义为“欲望紧缩型”消费者和“欲望膨胀型”消费者，现采用分层抽样的方法从位于这两个区间的30名消费者中随机抽取6名，再从这6人中随机抽取3名进行跟踪调查，设抽出的3人中 “欲望紧缩型”消费者的人数为随机变量，求的分布列及数学期望.
【答案】（Ⅰ）返回6个点时该商品每天销量约为2百件；（Ⅱ）（1）均值的估计值为6, 中位数的估计值为5.7；（2）详见解析.
【解析】
解：（Ⅰ）由题意可得：，
因为线性回归模型为，所以，解得；
故关于的线性回归方程为，
当时，，即返回6个点时该商品每天销量约为2百件.
（Ⅱ）（1）根据题意，这200位拟购买该商品的消费者对返回点数的心里预期值的平均值的估计值为：
，
中位数的估计值为.
（2）抽取6名消费者中“欲望紧缩型”消费者人数为，
“欲望膨胀型”消费者人数为.
由题意的可能取值为，
所以, ,
故随机变量的分布列为
X
1
2
3
P
.
13．（北京市通州区2019届高三4月第一次模拟考试数学理）某校工会开展健步走活动，要求教职工上传3月1日至3月7日微信记步数信息，下图是职工甲和职工乙微信记步数情况：
（Ⅰ）从3月1日至3月7日中任选一天，求这一天职工甲和职工乙微信记步数都不低于10000的概率；
（Ⅱ）从3月1日至3月7日中任选两天，记职工乙在这两天中微信记步数不低于10000的天数为，求 的分布列及数学期望；
（Ⅲ）如图是校工会根据3月1日至3月7日某一天的数据，制作的全校200名教职工微信记步数的频率分布直方图．已知这一天甲和乙微信记步数在单位200名教职工中排名分别为第68和第142，请指出这是根据哪一天的数据制作的频率分布直方图（不用说明理由）．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）3月3日
【解析】
（Ⅰ）设“职工甲和职工乙微信记步数都不低于10000”为事件
从3月1日至3月7日这七天中，3月2日，3月5日，3月7日这三天职工甲和职工乙微信记步数都不低于10000，所以；
（Ⅱ）X的所有可能取值为0，1，2，…， ，
的分布列为
0
1
2
（Ⅲ）由直方图知，微信记步数落在，，，，（单位：千步）区间内的人数依次为，，，， 据折线图知，这只有3月2日、3月3日和3月7日；而由乙微信记步数排名第142，可知当天乙微信记步数在5000---10000之间，根据折线图知，这只有3月3日和3月6日．所以只有3月3日符合要求．
14．（安徽省江淮十校2019届高三年级5月考前最后一卷数学理）某销售公司在当地、两家超市各有一个销售点，每日从同一家食品厂一次性购进一种食品，每件200元，统一零售价每件300元，两家超市之间调配食品不计费用，若进货不足食品厂以每件250元补货，若销售有剩余食品厂以每件150回收.现需决策每日购进食品数量，为此搜集并整理了、两家超市往年同期各50天的该食品销售记录，得到如下数据：
销售件数
8
9
10
11
频数
20
40
20
20
以这些数据的频数代替两家超市的食品销售件数的概率，记表示这两家超市每日共销售食品件数，表示销售公司每日共需购进食品的件数.
（1）求的分布列；
（2）以销售食品利润的期望为决策依据，在与之中选其一，应选哪个？
【答案】(1)见解析；(2) .
【解析】
（1）由已知一家超市销售食品件数8,9,10,11的概率分别为 .
取值为16,17,18,19,20,21.
，；
； ；
；
所以的分布列为
16
17
18
19
20
21
22
（2） 当时，记为销售该食品利润，则的分布列为
1450
1600
1750
1900
1950
2000
2050
当时，记为销售该食品利润，则的分布列为
1400
1550
1700
1850
2000
2050
2100
因为 ，故应选.
15．（重庆南开中学2019届高三第四次教学检测考试数学理）“伟大的变革—庆祝改革开放周年大型展览”于年月日在中国国家博物馆闭幕，本次特展紧扣“改革开放年光辉历程”的主线，多角度、全景式描绘了我国改革开放年波澜壮阔的历史画卷．据统计，展览全程呈现出持续火爆的状态，现场观众累计达万人次，参展人数屡次创造国家博物馆参观纪录，网上展馆点击浏览总量达亿次．
下表是年月参观人数（单位：万人）统计表
日期
人数
日期
人数
根据表中数据回答下列问题：
（1）请将年月前半月（日）和后半月（日）参观人数统计对比茎叶图填补完整，并通过茎叶图比较两组数据方差的大小（不要求计算出具体值，得出结论即可）；
（2）将年月参观人数数据用该天的对应日期作为样本编号，现从中抽样天的样本数据．若抽取的样本编号是以为公差的等差数列，且数列的第项为，求抽出的这个样本数据的平均值；
（3）根据国博以往展览数据及调查统计信息可知，单日入馆参观人数为（含，单位：万人）时，参观者的体验满意度最佳，在从中抽出的样本数据中随机抽取三天的数据，参观者的体验满意度为最佳的天数记为，求的分布列与期望．
【答案】(1)见解析；(2)3.3 (3)见解析
【解析】
（1）
由茎叶图可知，后半月数据分布较集中，故后半月数据的方差小于前半月数据的方差．
（2）由题意，抽取到的样本编号分别是号、号、号、号、号、号和号，对应的样本数据依次是、、、、、和．
故平均值为：．
（3）由（2）知所抽样本天中，有三天参观人数超过万人，其余四天体验满意度最佳．从而可取值，，，
，
，
的分布列如下：
．
16．（山东省泰安市教科研中心2019届高三考前密卷数学理）某中学高一期中考试结束后，从高一年级1000名学生中任意抽取50名学生，将这50名学生的某一科的考试成绩（满分150分）作为样本进行统计，并作出样本成绩的频率分布直方图（如图）．
（1）由于工作疏忽，将成绩[130，140）的数据丢失，求此区间的人数及频率分布直方图的中位数；（结果保留两位小数）
（2）若规定考试分数不小于120分为优秀，现从样本的优秀学生中任意选出3名学生，参加学习经验交流会．设X表示参加学习经验交流会的学生分数不小于130分的学生人数，求X的分布列及期望；
（3）视样本频率为概率．由于特殊原因，有一个学生不能到学校参加考试，根据以往考试成绩，一般这名学生的成绩应在平均分左右．试根据以上数据，说明他若参加考试，可能得多少分？（每组数据以区问的中点值为代表）
【答案】（1）8, 117.14；（2）见解析；（3）115.4
【解析】
（1）这50名学生成绩在各区间的频率及人数如下：[60，70）的频率为0.02，人数为1，
[70，80）的频率为0.04，人数为2，[80，90）的频率为0.02，人数为1，
[90，100）的频率为0.14，人数为7，[100，110）的频率为0.18，人数为9，
[110，120）的频率为0.14，人数为7，[120，130）的频率为0.2，人数为10，
[140，150）的频率为0.1，人数为5，∴[130，140）的频率为0.16，人数为8，
∵中位数把频率分布直方图分成左右面积相等，设中位数为m，[60，110）的频率和为：
0.02+0.04+0.02+0.14+0.18＝0.4，[110，120）的频率为0.14，
∴（m﹣110）×0.14＝0.5﹣0.4＝0.1，解得m＝≈117.14．
所以频率分布直方图的中位数为117.14．
（2）考试分数不小于120分的优秀学生有23人，X表示参加教学交流会的不小于130分的学生人数的取值为0，1，2，3，
P（X＝0）＝，
P（X＝1）＝，
P（X＝2）＝，
P（X＝3），
∴X的分布列为：
0
1
2
3
E（X） ；
（3）平均分W＝65×0.02+75×0.04+85×0.02+95×0.14+105×0.18+115×0.14+125×0.2+135×0.16+145×0.1＝115.4，
∴该学生可能得分为115.4分．
17．（江西省新八校2019届高三第二次联考理）某种水果按照果径大小可分为四类：标准果、优质果、精品果、礼品果.某采购商从采购的一批水果中随机抽取个，利用水果的等级分类标准得到的数据如下：
等级
标准果
优质果
精品果
礼品果
个数
10
30
40
20
（1）若将频率视为概率，从这个水果中有放回地随机抽取个，求恰好有个水果是礼品果的概率.（结果用分数表示）
（2）用样本估计总体，果园老板提出两种购销方案给采购商参考.
方案：不分类卖出，单价为元.
方案：分类卖出，分类后的水果售价如下：
等级
标准果
优质果
精品果
礼品果
售价(元/kg）
16
18
22
24
从采购商的角度考虑，应该采用哪种方案？
（3）用分层抽样的方法从这个水果中抽取个，再从抽取的个水果中随机抽取个，表示抽取的是精品果的数量，求的分布列及数学期望.
【答案】（1）；（2）第一种方案；（3）详见解析
【解析】
（1）设从个水果中随机抽取一个，抽到礼品果的事件为，则
现有放回地随机抽取个，设抽到礼品果的个数为，则
恰好抽到个礼品果的概率为：
（2）设方案的单价为，则单价的期望值为：
从采购商的角度考虑，应该采用第一种方案
（3）用分层抽样的方法从个水果中抽取个，则其中精品果个，非精品果个
现从中抽取个，则精品果的数量服从超几何分布，所有可能的取值为：
则；；；
的分布列如下：
18．（辽宁省沈阳市2019届高三教学质量监测三数学理）某商场举行优惠促销活动，顾客仅可以从以下两种优惠方案中选择一种，
方案一：每满200元减50元；
方案二：每满200元可抽奖一次．具体规则是依次从装有3个红球、l个白球的甲箱，装有2个红球、2个白球的乙箱，以及装有1个红球、3个白球的丙箱中各随机摸出1个球，所得结果和享受的优惠如下表：（注：所有小球仅颜色有区别）
红球个数
3
2
1
0
实际付款
半价
7折
8折
原价
（1）若两个顾客都选择方案二，各抽奖一次，求至少一个人获得半价优惠的概率；
（2）若某顾客购物金额为320元，用所学概率知识比较哪一种方案更划算？
【答案】（1）（2）方案二更为划算
【解析】
（1）设事件为“顾客获得半价”，则，
所以两位顾客至少一人获得半价的概率为：．
（2）若选择方案一，则付款金额为．
若选择方案二，记付款金额为元，则可取的值为．
，
，
，
，
∴．
所以方案二更为划算．
19．（四川省绵阳市2019届高三下学期第三次诊断性考试数学理）甲、乙两家物流公司都需要进行货物中转，由于业务量扩大，现向社会招聘货车司机，其日工资方案如下：甲公司，底薪80元，司机毎中转一车货物另计4元：乙公司无底薪，中转40车货物以内（含40车）的部分司机每车计6元，超出40车的部分司机每车计7元．假设同一物流公司的司机一填中转车数相同，现从这两家公司各随机选取一名货车司机，并分别记录其50天的中转车数，得到如下频数表：
甲公司送餐员送餐单数频数表
送餐单数
38
39
40
41
42
天数
10
15
10
10
5
乙公司送餐员送餐单数频数表
送餐单数
38
39
40
41
42
天数
5
10
10
20
5
（1）现从记录甲公司的50天货物中转车数中随机抽取3天的中转车数，求这3天中转车数都不小于40的概率；
（2）若将频率视为概率，回答下列两个问题：
①记乙公司货车司机日工资为X（单位：元），求X的分布列和数学期望E（X）；
②小王打算到甲、乙两家物流公司中的一家应聘，如果仅从日工资的角度考虑，请利用所学的统计学知识为小王作出选择，并说明理由．
【答案】（1）；（2）①见解析，②若从日工资的角度考虑，小王应该选择乙公司
【解析】
（1）设“这三天中转车数都不小于40”的事件为A，则P（A）==．
（2）①设乙公司货车司机中转货车数为t，则X=，
则X的所有取值分别为228，234，240，247，254，其分布列为：
日工资
228
234
240
247
254
概率P
∴E（X）=228×+234×+240×+247×+254×=241.8．
②设甲公司货车司机日工资为Y，日中转车数为μ，则Y=4μ+80，
则Y的所有可能取值为232，236，240，244，248，则分布列为：
日工资
232
236
240
244
248
概率P
E（Y）=+248×=238.8．
由E（X）＞E（Y），知：若从日工资的角度考虑，小王应该选择乙公司．
20．（河南省濮阳市2019届高三5月模拟考试数学理）随着手机的发展，“微信”逐渐成为人们支付购物的一种形式.某机构对“使用微信支付”的态度进行调查，随机抽取了50人，他们年龄的频数分布及对“使用微信支付”赞成人数如下表.
年龄
（单位：岁）
，
，
，
，
，
，
频数
5
10
15
10
5
5
赞成人数
5
10
12
7
2
1
（Ⅰ）若以“年龄45岁为分界点”，由以上统计数据完成下面列联表，并判断是否有99%的把握认为“使用微信支付”的态度与人的年龄有关；
年龄不低于45岁的人数
年龄低于45岁的人数
合计
赞成
不赞成
合计
（Ⅱ）若从年龄在的被调查人中按照赞成与不赞成分层抽样，抽取5人进行追踪调查，在5人中抽取3人做专访，求3人中不赞成使用微信支付的人数的分布列和期望值.
参考数据：
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
，其中.
【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）详见解析.
【解析】
（Ⅰ）由频数分布表得列联表如下：
年龄不低于45岁的人数
年龄低于45岁的人数
合计
赞成
不赞成
13
合计
有的把握认为“使用微信交流”的态度与人的年龄有关
（Ⅱ）年龄在中支持微信支付人，不支持微信支付6人
由分层抽样方法可知：抽取的人中，支持微信支付人，不支持微信支付人
设人中不支持微信支付的人数为，则所有可能的取值为：
，，
的分布列为：
21．（河北省保定市2019年高三第二次模拟考试理）某次招聘分为笔试和面试两个环节，且只有笔试过关者方可进入面试环节，笔试与面试都过关才会被录用.笔试需考完全部三科，且至少有两科优秀才算笔试过关，面试需考完全部两科且两科均为优秀才算面试过关.假设某考生笔试三科每科优秀的概率均为，面试两科每科优秀的概率均为.
（1）求该考生被录用的概率；
（2）设该考生在此次招聘活动中考试的科目总数为，求的分布列与数学期望.
【答案】（1）（2）见解析
【解析】
解：（1）该考生被录用，说明该考生笔试与面试均得以过关.
所以P=
（2）易得的可能取值为3 ,5
或
或
3
5
P
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