【精品试题】高考数学一轮必刷题 专题06 函数的奇偶性与周期性（含解析）

考点06 函数的奇偶性与周期性
1．下列函数为奇函数的是(　　)
A．f(x)＝　 B．f(x)＝ex
C．f(x)＝cos x D．f(x)＝ex－e－x
2．设函数f(x)＝x＋sin x(x∈R)，则下列说法错误的是(　　)
A．f(x)是奇函数 B．f(x)在R上单调递增
C．f(x)的值域为R D．f(x)是周期函数
3．对于函数f(x)＝asin x＋bx3＋cx＋1(a，b，c∈R)，选取a，b，c的一组值计算f(1)，f(－1)，所得出的正确结果可能是(　　)
A．2和1 B．2和0
C．2和－1 D．2和－2
4．已知函数f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b的值是(　　)
A．－　 B．　
C．－ D．
5．已知y＝f(x)是偶函数，且当0≤x≤1时，f(x)＝sin x，而y＝f(x＋1)是奇函数，则a＝f(－3.5)，b＝f(7)，c＝f(12)的大小关系是(　　)
A．c＜b＜a B．c＜a＜b
C．a＜c＜b D．a＜b＜c
6．已知函数f(x)在R上是奇函数，且满足f(x＋4)＝f(x)，当x∈(－2,0)时，f(x)＝2x2，则f(2 019)＝(　　)
A．－2 B．2　
C．－98　 D．98
7．已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2＋2x，若f(2－a2)＞f(a)，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，－1)∪(2，＋∞) B．(－1，2)
C．(－2，1) D．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
8．设e是自然对数的底数，函数f(x)是周期为4的奇函数，且当0 A. B．
C． D．
9．对任意的实数x都有f(x＋2)－f(x)＝2f(1)，若y＝f(x－1)的图象关于x＝1对称，且f(0)＝2，则f(2 019)＋f(2 020)＝(　　)
A．0 B．2
C．3 D．4
10．已知偶函数f(x)的定义域为R，若f(x－1)为奇函数，且f(2)＝3，则f(5)＋f(6)的值为(　　)
A．－3 B．－2
C．2 D．3
11．已知函数f(x)＝若a[f(a)－f(－a)]>0，则实数a的取值范围是(　　)
A．(1，＋∞) B．(2，＋∞) C．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
12．已知函数f(x)对任意x∈R，都有f(x＋6)＋f(x)＝0，y＝f(x－1)的图象关于点(1,0)对称，且f(2)＝4，则f(2 014)＝(　　)
A．0 　　 B．－4　　　
C．－8 D．－16
13．已知定义在R上的函数f(x)满足f(x－3)＝－f(x)，在区间上是增函数，且函数y＝f(x－3)为奇函数，则(　　)
A．f(－31)＜f(84)＜f(13)
B．f(84)＜f(13)＜f(－31)
C．f(13)＜f(84)＜f(－31)
D．f(－31)＜f(13)＜f(84)
14．已知函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，且当0 15．定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在[0，2]上为增函数，若方程f(x)＝m(m＞0)在区间[－8，8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1＋x2＋x3＋x4的值为________．
16．若函数f(x)＝ax2＋bx＋1是定义在[－1－a,2a]上的偶函数，则f(2a－b)＝________.
17．已知函数f(x)在R上为奇函数，且x>0时， f(x)＝＋1，则当x<0时， f(x)＝________.
18．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2＋2x.若f(2－a2)＞f(a)，则实数a的取值范围是________．
19．已知函数f(x)＝是奇函数．
(1)求实数m的值；
(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围．
20．已知函数f(x)的定义域为D＝{x|x≠0}，且满足对任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)．
(1)求f(1)的值；
(2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论；
(3)如果f(4)＝1，f(x－1)<2, 且f(x)在(0，＋∞)上是增函数，求x的取值范围．
21．定义在R上的函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，f(x＋2)＝－f(x)且f(x)在[－1，0]上是增函数，给出下列几个命题：①f(x)是周期函数；②f(x)的图象关于x＝1对称；③f(x)在[1，2]上是减函数；④f(2)＝f(0)，其中正确命题的序号是________(请把正确命题的序号全部写出来)．



























考点06 函数的奇偶性与周期性
1．下列函数为奇函数的是(　　)
A．f(x)＝　 B．f(x)＝ex
C．f(x)＝cos x D．f(x)＝ex－e－x
【答案】D
【解析】对于A，定义域不关于原点对称，故不是；对于B, f(－x)＝e－x＝≠－f(x)，故不是；对于C，f(－x)＝cos(－x)＝cos x≠－f(x)，故不是；对于D，f(－x)＝e－x－ex＝－(ex－e－x)＝－f(x)，是奇函数，故选D.
2．设函数f(x)＝x＋sin x(x∈R)，则下列说法错误的是(　　)
A．f(x)是奇函数 B．f(x)在R上单调递增
C．f(x)的值域为R D．f(x)是周期函数
【答案】D
【解析】因为f(－x)＝－x＋sin(－x)＝－(x＋sin x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，故A正确；因为f ′(x)＝1＋cos x≥0，所以函数f(x)在R上单调递增，故B正确；f(x)的值域为R，故C正确；f(x)不是周期函数，故D错误．
3．对于函数f(x)＝asin x＋bx3＋cx＋1(a，b，c∈R)，选取a，b，c的一组值计算f(1)，f(－1)，所得出的正确结果可能是(　　)
A．2和1 B．2和0
C．2和－1 D．2和－2
【答案】B
【解析】设g(x)＝asin x＋bx3＋cx，显然g(x)为定义域上的奇函数，所以g(1)＋g(－1)＝0，所以f(1)＋f(－1)＝g(1)＋g(－1)＋2＝2，只有B选项中两个值的和为2.
4．已知函数f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b的值是(　　)
A．－　 B．　
C．－ D．
【答案】B
【解析】∵f(x)是偶函数，∴f(－x)＝f(x)，∴b＝0.又a－1＝－2a，∴a＝，∴a＋b＝.故选B.
5．已知y＝f(x)是偶函数，且当0≤x≤1时，f(x)＝sin x，而y＝f(x＋1)是奇函数，则a＝f(－3.5)，b＝f(7)，c＝f(12)的大小关系是(　　)
A．c＜b＜a B．c＜a＜b
C．a＜c＜b D．a＜b＜c
【答案】B
【解析】因为y＝f(x)是偶函数，所以f(x)＝f(－x)，
因为y＝f(x＋1)是奇函数，所以f(x)＝－f(2－x)，
所以f(－x)＝－f(2－x)，即f(x)＝f(x＋4)．
所以函数f(x)的周期为4，
又因为当0≤x≤1时，f(x)＝sin x，所以函数在[0，1]上单调递增，
因为a＝f(－3.5)＝f(－3.5＋4)＝f(0.5)；
b＝f(7)＝f(7－8)＝f(－1)＝f(1)，
c＝f(12)＝f(12－12)＝f(0)，
又因为f(x)在[0，1]上为增函数，
所以f(0)＜f(0.5)＜f(1)，即c＜a＜b.
6．已知函数f(x)在R上是奇函数，且满足f(x＋4)＝f(x)，当x∈(－2,0)时，f(x)＝2x2，则f(2 019)＝(　　)
A．－2 B．2　
C．－98　 D．98
【答案】B
【解析】由f(x＋4)＝f(x)知，函数f(x)的周期为4，则f(2 019)＝f(504×4＋3)＝f(3)，
又f(3)＝f(－1)，且f(－1)＝2，∴f(2 019)＝2.
7．已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2＋2x，若f(2－a2)＞f(a)，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，－1)∪(2，＋∞) B．(－1，2)
C．(－2，1) D．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
【答案】C
【解析】∵f(x)是奇函数，∴当x＜0时，－x＞0，∴f(－x)＝(－x)2－2x，∴－f(x)＝x2－2x，∴f(x)＝－x2＋2x.作出函数f(x)的大致图象如图中实线所示，结合图象可知f(x)是R上的增函数，由f(2－a2)＞f(a)，得2－a2＞a，解得－2＜a＜1.

8．设e是自然对数的底数，函数f(x)是周期为4的奇函数，且当0 A. B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为函数以4为周期，所以f＝f＝f＝－f＝ln ，所以ef()＝eln ＝.故选D.
9．对任意的实数x都有f(x＋2)－f(x)＝2f(1)，若y＝f(x－1)的图象关于x＝1对称，且f(0)＝2，则f(2 019)＋f(2 020)＝(　　)
A．0 B．2
C．3 D．4
【答案】B
【解析】∵y＝f(x－1)的图象关于x＝1对称，则函数y＝f(x)的图象关于x＝0对称，即函数f(x)是偶函数．
令x＝－1，则f(－1＋2)－f(－1)＝2f(1)，
即f(1)－f(1)＝2f(1)＝0，即f(1)＝0.
则f(x＋2)－f(x)＝2f(1)＝0，即f(x＋2)＝f(x)，
即函数的周期是2，又f(0)＝2，则f(2 019)＋f(2 020)＝f(1)＋f(0)＝0＋2＝2，故选B.
10．已知偶函数f(x)的定义域为R，若f(x－1)为奇函数，且f(2)＝3，则f(5)＋f(6)的值为(　　)
A．－3 B．－2
C．2 D．3
【答案】C
【解析】依题意f(x)在(0，＋∞)上单调递减，且在R上是奇函数，所以f(x)在(－∞，0)上单调递减，所以f(－2)＝－f(2)＝0，结合图象可知f(x)>0的解集为(－∞，－2)∪(0,2)．故选C.
11．已知函数f(x)＝若a[f(a)－f(－a)]>0，则实数a的取值范围是(　　)
A．(1，＋∞)
B．(2，＋∞)
C．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
【答案】B
【解析】由题意，偶函数f(x)在[0，＋∞)上是减函数，即不等式f(a)≥f(x)对任意x∈[1,2]恒成立，即不等式f(|a|)≥f(|x|)对任意x∈[1,2]恒成立，所以|a|≤|x|对任意x∈[1,2]恒成立，所以|a|≤1，则－1≤a≤1.故选B.
12．已知函数f(x)对任意x∈R，都有f(x＋6)＋f(x)＝0，y＝f(x－1)的图象关于点(1,0)对称，且f(2)＝4，则f(2 014)＝(　　)
A．0 　　 B．－4　　　
C．－8 D．－16
【答案】B
【解析】由题意可知，函数f(x)对任意x∈R，都有f(x＋6)＝－f(x)，∴f(x＋12)＝f [(x＋6)＋6]＝－f(x＋6)＝f(x)，∴函数f(x)的周期T＝12.把y＝f(x－1)的图象向左平移1个单位得y＝f(x－1＋1)＝f(x)的图象，关于点(0,0)对称，因此函数f(x)为奇函数，∴f(2 014)＝f(167×12＋10)＝f(10)＝f(10－12)＝f(－2)＝－f(2)＝－4.故选B.
13．已知定义在R上的函数f(x)满足f(x－3)＝－f(x)，在区间上是增函数，且函数y＝f(x－3)为奇函数，则(　　)
A．f(－31)＜f(84)＜f(13) B．f(84)＜f(13)＜f(－31)
C．f(13)＜f(84)＜f(－31) D．f(－31)＜f(13)＜f(84)
【答案】A.
【解析】根据题意，函数f(x)满足f(x－3)＝－f(x)，则有f(x－6)＝－f(x－3)＝f(x)，则函数f(x)为周期为6的周期函数．若函数y＝f(x－3)为奇函数，则f(x)的图象关于点(－3，0)成中心对称，则有f(x)＝－f(－6－x)，又由函数的周期为6，则有f(x)＝－f(－x)，函数f(x)为奇函数．又由函数在区间上是增函数，则函数f(x)在上为增函数，f(84)＝f(14×6＋0)＝f(0)，f(－31)＝f(－1－5×6)＝f(－1)，f(13)＝f(1＋2×6)＝f(1)，则有f(－1)＜f(0)＜f(1)，即f(－31)＜f(84)＜f(13)，故选A.
14．已知函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，且当0 【答案】－3
【解析】∵函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，
∴f＝f＝f＝－f.
又当0 又f(2)＝f(0)＝0，∴f＋f(2)＝－3.
15．定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在[0，2]上为增函数，若方程f(x)＝m(m＞0)在区间[－8，8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1＋x2＋x3＋x4的值为________．
【答案】－8
【解析】因为f(x－4)＝－f(x)，所以f(x－8)＝f(x)，所以函数f(x)是以8为周期的周期函数，由f(x－4)＝－f(x)可得f(x＋2)＝－f(x＋6)＝－f(x－2)，因为f(x)是奇函数，所以f(x＋2)＝－f(x－2)＝f(2－x)，所以f(x)的图象关于直线x＝2对称，结合f(x)在[0，2]上为增函数，可得函数f(x)的大致图象如图，由图看出，四个交点中的左边两个交点的横坐标之和为2×(－6)，另两个交点的横坐标之和为2×2，所以x1＋x2＋x3＋x4＝－8.

16．若函数f(x)＝ax2＋bx＋1是定义在[－1－a,2a]上的偶函数，则f(2a－b)＝________.
【答案】5
【解析】∵函数f(x)＝ax2＋bx＋1是定义在[－1－a,2a]上的偶函数，∴－1－a＋2a＝0，即a＝1.
∵f(x)＝f(－x)，
∴ax2＋bx＋1＝ax2－bx＋1，∴b＝0，
即f(x)＝x2＋1.
则f(2a－b)＝f(2)＝5.
17．已知函数f(x)在R上为奇函数，且x>0时， f(x)＝＋1，则当x<0时， f(x)＝________.
【答案】－－1
【解析】∵f(x)为奇函数，且x>0时， f(x)＝＋1，∴当x<0时，即－x>0，有 f(x)＝－f(－x)＝－(＋1)，即x<0时， f(x)＝－(＋1)＝－－1.　
18．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2＋2x.若f(2－a2)＞f(a)，则实数a的取值范围是________．

【答案】(－2,1)
【解析】∵f(x)是奇函数，∴当x＜0时， f(x)＝－x2＋2x.做出函数f(x)的大致图象如图所示，结合图象可知f(x)是R上的增函数．由f(2－a2)＞f(a)，得2－a2＞a，解得－2＜a＜1.
19．已知函数f(x)＝是奇函数．
(1)求实数m的值；
(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围．

【答案】
【解析】(1)设x<0，则－x>0，所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.
又f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，于是x<0时， f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，所以m＝2.
(2)要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增，
结合f(x)的图象(如图所示)知
所以1＜a≤3，
故实数a的取值范围是(1,3]．
20．已知函数f(x)的定义域为D＝{x|x≠0}，且满足对任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)．
(1)求f(1)的值；
(2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论；
(3)如果f(4)＝1，f(x－1)<2, 且f(x)在(0，＋∞)上是增函数，求x的取值范围．
【答案】(1) 0 (2) f(x)为偶函数 (3) (－15,1)∪(1,17)
【解析】(1)∵对于任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)，∴令x1＝x2＝1，得f(1)＝2f(1)，∴f(1)＝0.
(2)f(x)为偶函数．
证明：令x1＝x2＝－1，有f(1)＝f(－1)＋f(－1)，
∴f(－1)＝f(1)＝0.
令x1＝－1，x2＝x，有f(－x)＝f(－1)＋f(x)，
∴f(－x)＝f(x)，∴f(x)为偶函数．
(3)依题意有f(4×4)＝f(4)＋f(4)＝2，
又由(2)知， f(x)是偶函数，∴f(x－1)<2⇔f(|x－1|) ∵f(x)在(0，＋∞)上是增函数，
∴0<|x－1|<16，解得－15 ∴x的取值范围是(－15,1)∪(1,17)．
21．定义在R上的函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，f(x＋2)＝－f(x)且f(x)在[－1，0]上是增函数，给出下列几个命题：①f(x)是周期函数；②f(x)的图象关于x＝1对称；③f(x)在[1，2]上是减函数；④f(2)＝f(0)，其中正确命题的序号是________(请把正确命题的序号全部写出来)．
【答案】①②③④
【解析】f(x＋y)＝f(x)＋f(y)对任意x，y∈R恒成立．
令x＝y＝0，
所以f(0)＝0.令x＋y＝0，所以y＝－x，
所以f(0)＝f(x)＋f(－x)．
所以f(－x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．
因为f(x)在x∈[－1，0]上为增函数，又f(x)为奇函数，所以f(x)在[0，1]上为增函数．
由f(x＋2)＝－f(x)⇒f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，
所以周期T＝4，
即f(x)为周期函数．
f(x＋2)＝－f(x)⇒f(－x＋2)＝－f(－x)．
又因为f(x)为奇函数，所以f(2－x)＝f(x)，
所以函数关于x＝1对称．
由f(x)在[0，1]上为增函数，又关于x＝1对称，
所以f(x)在[1，2]上为减函数．
由f(x＋2)＝－f(x)，令x＝0得f(2)＝－f(0)＝f(0)．