【精品试题】高考数学一轮必刷题 专题08 指数与指数函数）（含解析）

考点08 指数与指数函数
1．已知a＝20.2，b＝0.40.2，c＝0.40.6，则(　　)
A．a＞b＞c　　　　　　　 B．a＞c＞b
C．c＞a＞b D．b＞c＞a
2.已知a=20.2,b=0.40.2,c=0.40.6,则(　　)
A.a>b>c B.a>c>b
C.c>a>b D.b>c>a
3．函数y＝2x－2－x是(　　)
A．奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递增
B．奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递减
C．偶函数，在区间(－∞，0)上单调递增
D．偶函数，在区间(－∞，0)上单调递减
4.已知f(x)=2x+2-x,若f(a)=3,则f(2a)等于(　　)
A.5 B.7 C.9 D.11
5．已知f(x)＝3x－b(2≤x≤4，b为常数)的图象经过点(2，1)，则f(x)的值域为(　　)
A．[9，81] B．[3，9]
C．[1，9] D．[1，＋∞)
6.已知x,y∈R,且2x+3y>2-y+3-x,则下列各式正确的是 (　　)
A.x-y>0 B.x+y<0
C.x-y<0 D.x+y>0
7．已知函数f(x)＝ax，其中a＞0，且a≠1，如果以P(x1，f(x1))，Q(x2，f(x2))为端点的线段的中点在y轴上，那么f(x1)·f(x2)等于(　　)
A．1 B．a
C．2 D．a2
8.若偶函数f(x)满足f(x)=2x-4(x≥0),则{x|f(x-3)> 0}=(　　)
A.{x|x<-3或x>5}
B.{x|x<1或x>5}
C.{x|x<1或x>7}
D.{x|x<-3或x>3}
9．若xlog52≥－1，则函数f(x)＝4x－2x＋1－3的最小值为(　　)
A．－4 B．－3
C．－1 D．0
10．已知f(x)＝|2x－1|，当a＜b＜c时，有f(a)＞f(c)＞f(b)，则必有(　　)
A．a＜0，b＜0，c＜0 B．a＜0，b＞0，c＞0
C．2－a＜2c D．1＜2a＋2c＜2
11．已知实数a，b满足等式＝，下列五个关系式：
①0＜b＜a；②a＜b＜0；③0＜a＜b；④b＜a＜0；⑤a＝b.
其中不可能成立的关系式有(　　)
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
12．若函数f(x)＝a|2x－4|(a＞0，且a≠1)，满足f(1)＝，则f(x)的单调递减区间是(　　)
A．(－∞，2] B．[2，＋∞)
C．(－∞，－2] D．[1，＋∞)
13.已知函数f(x),若在其定义域内存在实数x满足f(-x)=-f(x),则称函数f(x)为“局部奇函数”,若函数f(x)=4x-m·2x-3是定义在R上的“局部奇函数”,则实数m的取值范围是(　　)
A.[-) B.[-2,+∞)
C.(-∞,2) D.[-2)
14．设a＞0，b＞0(　　)
A．若2a＋2a＝2b＋3b，则a＞b
B．若2a＋2a＝2b＋3b，则a＜b
C．若2a－2a＝2b－3b，则a＞b
D．若2a－2a＝2b－3b，则a＜b
15．当x∈(－∞，－1]时，不等式(m2－m)·4x－2x＜0恒成立，则实数m的取值范围是(　　)
A．(－2，1) B．(－4，3)
C．(－3，4) D．(－1，2)
16.当x∈(-∞,-1]时,不等式(m2-m)·4x-2x<0恒成立,则实数m的取值范围是　　　　　. 
17．指数函数y＝f(x)的图象经过点(m，3)，则f(0)＋f(－m)＝________．
18．若函数f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)在[－1，2]上的最大值为4，最小值为m，且函数g(x)＝(1－4m)在[0，＋∞)上是增函数，则a＝________．
19．已知a＞0，且a≠1，若函数y＝|ax－2|与y＝3a的图象有两个交点，则实数a的取值范围是________．
20.已知函数f(x)=是奇函数.
(1)求m的值;
(2)设g(x)=2x+1-a,若函数f(x)与g(x)的图像至少有一个公共点,求实数a的取值范围.
21．已知函数f(x)＝若a＞b≥0，且f(a)＝f(b)，则bf(a)的取值范围是________．
22.已知函数f(x)=3x-.
(1)若f(x)=2,求x的值;
(2)判断x>0时,f(x)的单调性;
(3)若3tf(2t)+mf(t)≥0对于t∈恒成立,求m的取值范围.
23．设函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R恒有f(x＋1)＝f(x－1)，已知当x∈[0，1]时，f(x)＝，则(　　)
①2是函数f(x)的一个周期；
②函数f(x)在(1，2)上递减，在(2，3)上递增；
③函数f(x)的最大值是1，最小值是0；
④当x∈(3，4)时，f(x)＝.
其中所有正确命题的序号是________．
















考点08 指数与指数函数
1．已知a＝20.2，b＝0.40.2，c＝0.40.6，则(　　)
A．a＞b＞c　　　　　　　 B．a＞c＞b
C．c＞a＞b D．b＞c＞a
【答案】A
【解析】由0.2＜0.6，0.4＜1，并结合指数函数的图象可知0.40.2＞0.40.6，即b＞c.因为a＝20.2＞1，b＝0.40.2＜1，所以a＞b.综上，a＞b＞c.
2.已知a=20.2,b=0.40.2,c=0.40.6,则(　　)
A.a>b>c B.a>c>b
C.c>a>b D.b>c>a
【答案】A　
【解析】由0.2<0.6,0<0.4<1,可知0.40.2>0.40.6,即b>c.
又因为a=20.2>1,b=0.40.2<1,所以a>b.
综上,a>b>c.
3．函数y＝2x－2－x是(　　)
A．奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递增
B．奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递减
C．偶函数，在区间(－∞，0)上单调递增
D．偶函数，在区间(－∞，0)上单调递减
【答案】A
【解析】 f(x)＝2x－2－x，则f(－x)＝2－x－2x＝－f(x)，f(x)的定义域为R，关于原点对称，所以函数f(x)是奇函数，排除C，D.又函数y＝－2－x，y＝2x均是在R上的增函数，故y＝2x－2－x在R上为增函数．
4.已知f(x)=2x+2-x,若f(a)=3,则f(2a)等于(　　)
A.5 B.7 C.9 D.11
【答案】B　
【解析】由f(a)=3得2a+2-a=3,两边平方得+2-2a+2=9,即+2-2a=7,故f(2a)=7.
5．已知f(x)＝3x－b(2≤x≤4，b为常数)的图象经过点(2，1)，则f(x)的值域为(　　)
A．[9，81] B．[3，9]
C．[1，9] D．[1，＋∞)
【答案】C
【解析】由f(x)过点(2，1)可知b＝2，
因为f(x)＝3x－2在[2，4]上是增函数，
所以f(x)min＝f(2)＝32－2＝1，
f(x)max＝f(4)＝34－2＝9.故选C.
6.已知x,y∈R,且2x+3y>2-y+3-x,则下列各式正确的是 (　　)
A.x-y>0 B.x+y<0
C.x-y<0 D.x+y>0
【答案】B　
【解析】由f(a)=3得2a+2-a=3,两边平方得+2-2a+2=9,即+2-2a=7,故f(2a)=7.
7．已知函数f(x)＝ax，其中a＞0，且a≠1，如果以P(x1，f(x1))，Q(x2，f(x2))为端点的线段的中点在y轴上，那么f(x1)·f(x2)等于(　　)
A．1 B．a
C．2 D．a2
【答案】A
【解析】∵以P(x1，f(x1))，Q(x2，f(x2))为端点的线段的中点在y轴上，∴x1＋x2＝0.又∵f(x)＝ax，∴f(x1)·f(x2)＝ax1·ax2＝ax1＋x2＝a0＝1，故选A.
8.若偶函数f(x)满足f(x)=2x-4(x≥0),则{x|f(x-3)> 0}=(　　)
A.{x|x<-3或x>5}
B.{x|x<1或x>5}
C.{x|x<1或x>7}
D.{x|x<-3或x>3}
【答案】B　
【解析】∵f(2)=0,
∴f(x-3)>0等价于f(|x-3|)>0=f(2).
∵f(x)=2x-4在[0,+∞)内是增加的,
∴|x-3|>2,解得x<1或x>5.
9．若xlog52≥－1，则函数f(x)＝4x－2x＋1－3的最小值为(　　)
A．－4 B．－3
C．－1 D．0
【答案】A
【解析】∵xlog52≥－1，∴2x≥，则f(x)＝4x－2x＋1－3＝(2x)2－2×2x－3＝(2x－1)2－4.当2x＝1时，f(x)取得最小值，为－4.故选A.
10．已知f(x)＝|2x－1|，当a＜b＜c时，有f(a)＞f(c)＞f(b)，则必有(　　)
A．a＜0，b＜0，c＜0 B．a＜0，b＞0，c＞0
C．2－a＜2c D．1＜2a＋2c＜2
【答案】D
【解析】由题设可知：a，b，c既有正值又有负值，否则与已知f(a)＞f(c)＞f(b)相矛盾，a＜0＜c，则f(a)＝1－2a，f(c)＝2c－1，所以有1－2a＞2c－1，∴2a＋2c＜2，又2a＞0，2c＞1，∴2a＋2c＞1，即1＜2a＋2c＜2.
11．已知实数a，b满足等式＝，下列五个关系式：
①0＜b＜a；②a＜b＜0；③0＜a＜b；④b＜a＜0；⑤a＝b.
其中不可能成立的关系式有(　　)
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
【答案】B
【解析】作出函数y1＝与y2＝的图象如图所示．

由＝得，a＜b＜0或0＜b＜a或a＝b＝0.
故①②⑤可能成立，③④不可能成立．故选B.
12．若函数f(x)＝a|2x－4|(a＞0，且a≠1)，满足f(1)＝，则f(x)的单调递减区间是(　　)
A．(－∞，2] B．[2，＋∞)
C．(－∞，－2] D．[1，＋∞)
【答案】B
【解析】.由f(1)＝，得a2＝，解得a＝或a＝－(舍去)，即f(x)＝.由于y＝|2x－4|在(－∞，2]上递减，在[2，＋∞)上递增，所以f(x)在(－∞，2]上递增，在[2，＋∞)上递减．
13.已知函数f(x),若在其定义域内存在实数x满足f(-x)=-f(x),则称函数f(x)为“局部奇函数”,若函数f(x)=4x-m·2x-3是定义在R上的“局部奇函数”,则实数m的取值范围是(　　)
A.[-) B.[-2,+∞)
C.(-∞,2) D.[-2)
【答案】B　
【解析】根据“局部奇函数”的定义可知,方程f(-x)=-f(x)有解即可,
即4-x-m·2-x-3=-(4x-m·2x-3),
∴4-x+4x-m(2-x+2x)-6=0,
化为(2-x+2x)2-m(2-x+2x)-8=0有解,
令2-x+2x=t(t≥2),则有t2-mt-8=0在[2,+∞)上有解,
设g(t)=t2-mt-8,则抛物线的对称轴为t=,
若m≥4,则Δ=m2+32>0,满足方程有解;若m<4,要使t2-mt-8=0在[2,+∞)上有解,
则需解得-2≤m<4.
综上可得实数m的取值范围为[-2,+∞).
14．设a＞0，b＞0(　　)
A．若2a＋2a＝2b＋3b，则a＞b
B．若2a＋2a＝2b＋3b，则a＜b
C．若2a－2a＝2b－3b，则a＞b
D．若2a－2a＝2b－3b，则a＜b
【答案】A
【解析】因为函数y＝2x＋2x为单调递增函数，
若2a＋2a＝2b＋2b，则a＝b，若2a＋2a＝2b＋3b，
则a＞b.故选A.
15．当x∈(－∞，－1]时，不等式(m2－m)·4x－2x＜0恒成立，则实数m的取值范围是(　　)
A．(－2，1) B．(－4，3)
C．(－3，4) D．(－1，2)
【答案】D
【解析】因为(m2－m)·4x－2x＜0在x∈(－∞，－1]时恒成立，所以m2－m＜在x∈(－∞，－1]时恒成立，由于f(x)＝在x∈(－∞，－1]时单调递减，且x≤－1，所以f(x)≥2，所以m2－m＜2，解得－1＜m＜2.
16.当x∈(-∞,-1]时,不等式(m2-m)·4x-2x<0恒成立,则实数m的取值范围是　　　　　. 
【答案】(-1,2)　
【解析】原不等式变形为m2-m<.∵函数y=在(-∞,-1]上是减少的,∴≥=2,
当x∈(-∞,-1]时,m2-m<恒成立等价于m2-m<2,解得-1 17．指数函数y＝f(x)的图象经过点(m，3)，则f(0)＋f(－m)＝________．
【答案】
【解析】设f(x)＝ax(a＞0且a≠1)，∴f(0)＝a0＝1.
且f(m)＝am＝3.
∴f(0)＋f(－m)＝1＋a－m＝1＋＝1＋＝.
18．若函数f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)在[－1，2]上的最大值为4，最小值为m，且函数g(x)＝(1－4m)在[0，＋∞)上是增函数，则a＝________．
【答案】
【解析】当a＞1时，由f(x)的单调性知，a2＝4，a－1＝m，此时a＝2，m＝，此时g(x)＝－为减函数，不合题意；当0＜a＜1时，则a－1＝4，a2＝m，故a＝，m＝，g(x)＝在[0，＋∞)上是增函数，符合题意．
19．已知a＞0，且a≠1，若函数y＝|ax－2|与y＝3a的图象有两个交点，则实数a的取值范围是________．
【答案】
【解析】①当0＜a＜1时，作出函数y＝|ax－2|的图象，如图1.若直线y＝3a与函数y＝|ax－2|(0＜a＜1)的图象有两个交点，则由图象可知0＜3a＜2，所以0＜a＜.

②当a＞1时，作出函数y＝|ax－2|的图象，如图2.若直线y＝3a与函数y＝|ax－2|(a＞1)的图象有两个交点，则由图象可知0＜3a＜2，此时无解．
所以a的取值范围是.
20.已知函数f(x)=是奇函数.
(1)求m的值;
(2)设g(x)=2x+1-a,若函数f(x)与g(x)的图像至少有一个公共点,求实数a的取值范围.
【答案】(1)-1 (2) [2,+∞)
【解析】 (1)由函数f(x)是奇函数,可知f(0)=1+m=0,解得m=-1.
(2)函数f(x)与g(x)的图像至少有一个公共点,
即方程=2x+1-a至少有一个实根,
即方程4x-a·2x+1=0至少有一个实根.
令t=2x>0,则方程t2-at+1=0至少有一个正根.
方法一:∵a=t+≥2,∴a的取值范围为[2,+∞).
方法二:令h(t)=t2-at+1,由于h(0)=1>0,
∴只需
解得a≥2.∴a的取值范围为[2,+∞).
21．已知函数f(x)＝若a＞b≥0，且f(a)＝f(b)，则bf(a)的取值范围是________．
【答案】
【解析】如图，f(x)在[0，1)，[1，＋∞)上均单调递增，由a＞b≥0及f(a)＝f(b)知a≥1＞b≥.bf(a)＝bf(b)＝b(b＋1)＝b2＋b，
∵≤b＜1，∴≤bf(a)＜2.
22.已知函数f(x)=3x-.
(1)若f(x)=2,求x的值;
(2)判断x>0时,f(x)的单调性;
(3)若3tf(2t)+mf(t)≥0对于t∈恒成立,求m的取值范围.
【答案】(1) =log3(1+) (2) f(x)=3x-在(0,+∞)上递增 (3) [-4,+∞)
【解析】(1)当x≤0时,f(x)=3x-3x=0,
∴f(x)=2无解.
当x>0时,f(x)=3x-,令3x-=2.
∴(3x)2-2×3x-1=0,解得3x=1±.
∵3x>0,∴3x=1+.∴x=log3(1+).
(2)∵y=3x在(0,+∞)上递增,y=在(0,+∞)上递减,
∴f(x)=3x-在(0,+∞)上递增.
(3)∵t∈,
∴f(t)=3t->0.
∴3tf(2t)+mf(t)≥0化为3t+m≥0,
即3t+m≥0,即m≥-32t-1.
令g(t)=-32t-1,则g(t)在上递减,
∴g(x)max=-4.∴所求实数m的取值范围是[-4,+∞).
23．设函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R恒有f(x＋1)＝f(x－1)，已知当x∈[0，1]时，f(x)＝，则(　　)
①2是函数f(x)的一个周期；
②函数f(x)在(1，2)上递减，在(2，3)上递增；
③函数f(x)的最大值是1，最小值是0；
④当x∈(3，4)时，f(x)＝.
其中所有正确命题的序号是________．
【答案】①②④
【解析】由已知条件得：f(x＋2)＝f(x)，
则y＝f(x)是以2为周期的周期函数，①正确，
当－1≤x≤0时，0≤－x≤1，
f(x)＝f(－x)＝，
函数y＝f(x)的图象如图所示：

当3＜x＜4时，－1＜x－4＜0，
f(x)＝f(x－4)＝，
因此②④正确，③不正确．