中考数学 专项训练 考点22 动点在二次函数中的综合（3）

专题22 动点在二次函数中的综合（3）
1．阅读下面材料，并回答问题：
定义：平面内与一个定点F和一条定直线l（l不经过点F）距离相等的所有点组成的图形叫抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．

应用：（1）如图1，一条抛物线的焦点为F（0，1），准线为过点（0，﹣1）且平行于x轴的直线l；设点P（x，y）为抛物线上任意一点，小聪同学在应用定义求这条抛物线的解析式时作出了如下不完整的解答，请你将余下部分补充出来．
解：设点P（x，y）为抛物线上任意一点，作PM⊥l于点M，则PM＝　 　．
作PN⊥y轴于点N，则在△PFN中，有PN＝|x|，NF＝|y﹣1|，所以PF＝　 　．
∵PF＝PM
∴　 　＝　 　，
将方程两边同时平方，解得抛物线的解析式为　 　．
（2）如图2，在（1）的条件下，点A（1，3）是坐标平面内一点，则△FAP的周长最小值为　 　．
（3）在（1）（2）的条件下，如图3，点B（4，4）是坐标平面内另一点，过P作PH⊥l，垂足为H，连接PF和FH，问在抛物线上是否存在点P，使得以P，F，H为顶点的三角形与△ABO相似？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）设点P（x，y）为抛物线上任意一点，作PM⊥l于点M，则PM＝y+1．
作PN⊥y轴于点N，则在△PFN中，有PN＝|x|，NF＝|y﹣1|，所以PF＝．
∵PF＝PM，
∴＝y+1，
将方程两边同时平方，解得抛物线的解析式为 y＝x2．
故答案为：y+1，，y+1，，；
（2）∵F（0，1），点A（1，3），
∴AF＝＝，
如图2，过A作AB⊥直线l于B，交抛物线于P，
则此时，PA+PB＝PA+PF最小，且△FAP的周长最小值为＝4+，
故答案为：；
（3）存在，
∵A（1，3），点B（4，4），
∴AB＝＝，AO＝＝，OB＝＝4[来源:Zxxk.Com]
∴AB＝OA，
∵PF＝PH，假设存在这样的点P，使得以P，F，H为顶点的三角形与△ABO相似，
则PH与AB，FH与OB是对应边，
∴，
设点P（m，m2），则H为（m，﹣1），
∴，
解得m＝±1，
∴点P坐标（1，）或（﹣1，）．





2．在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+2的图象与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求这个二次函数的关系解析式；
（2）点P是直线AC上方的抛物线上一动点，是否存在点P，使△ACP的面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；
（3）在平面直角坐标系中，是否存在点Q，使△BCQ是以BC为腰的等腰直角三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由；

解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+2过点A（﹣3，0），B（1，0），
∴
解得，
∴二次函数的关系解析式为y＝﹣x2﹣x+2；

（2）存在．
∵如图1所示，设点P坐标为（m，n），则n＝﹣m2﹣m+2．
连接PO，作PM⊥x轴于M，PN⊥y轴于N．
则PM＝﹣m2﹣m+2，PN＝﹣m，AO＝3．
∵当x＝0时，y＝﹣×0﹣×0+2＝2，
∴OC＝2，
∴S△PAC＝S△PAO+S△PCO﹣S△ACO
＝AO•PM+CO•PN﹣AO•CO
＝×3×（﹣m2﹣m+2）+×2×（﹣m）﹣×3×2
＝﹣m2﹣3m
∵a＝﹣1＜0
∴函数S△PAC＝﹣m2﹣3m有最大值
∴当m＝﹣＝﹣时，S△PAC有最大值．
∴n＝﹣m2﹣m+2＝﹣×（﹣）2﹣×（﹣）+2＝，
∴存在点P（﹣，），使△PAC的面积最大．


（3）如图2所示，以BC为边在两侧作正方形BCQ1Q2、正方形BCQ4Q3，则点Q1，Q2，Q3，Q4为符合题意要求的点．过Q1点作Q1D⊥y轴于点D，过点Q2作Q2E⊥x轴于点E，
∵∠1+∠2＝90°，∠2+∠3＝90°，∠3+∠4＝90°，
∴∠1＝∠3，∠2＝∠4，
在△Q1CD与△CBO中，
∵，
∴△Q1CD≌△CBO，
∴Q1D＝OC＝2，CD＝OB＝1，
∴OD＝OC+CD＝3，
∴Q1（2，3）；
同理可得Q4（﹣2，1）；
同理可证△CBO≌△BQ2E，
∴BE＝OC＝2，Q2E＝OB＝1，
∴OE＝OB+BE＝1+2＝3，
∴Q2（3，1），
同理，Q3（﹣1，﹣1），
∴存在点Q，使△BCQ是以BC为腰的等腰直角三角形．Q点坐标为：Q1（2，3），Q2（3，1），Q3（﹣1，﹣1），Q4（﹣2，1）．



3．如图，抛物线y＝ax2+bx+3过点A（1，0），B（3，0），与y轴相交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点E为抛物线对称轴上的一点，请探索抛物线上是否存在点F，使以A，B，E，F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出所有点F的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若点P为线段OC上的动点，连接BP，过点C作CN垂直于直线BP，垂足为N，当点P从点O运动到点C时，求点N运动路径的长．

解：（1）将A（1，0）（3，0）代入y＝ax2+bx+3得：，
解得：，
∴y＝x2﹣4x+3．

（2）①设F（x，x2﹣4x+3），若E，F在AB的同侧，则EF＝AB＝2，
∵点E在抛物线的对称轴上，
∴|x﹣2|＝2，
∴x＝0或x＝4，
∴F1（0，3），F2（4，3）．
②若E，F在AB异侧，则F与抛物线的顶点重合，即F3（2，﹣1），
∴存在点F1（0，3），F2（4，3），F3（2，﹣1），使以A，B，E，F为顶点的四边形为平行四边形．

（3）连接BC，
∵∠BNC＝90°，
∴点N的路径是以BC的中点M为圆心，BC长的一半为半径的，
连接OM，
∵OB＝OC＝3，
∴OM⊥BC，
∴∠OMC＝90°，
∵BC＝，
∴OM＝
∴＝．


4．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与一直线相交于A（﹣1，0），C（2，3）两点，与y轴交于点N．其顶点为D．
（1）抛物线及直线AC的函数关系式；
（2）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B，E为直线AC上的任意一点，过点E作EF∥BD交抛物线于点F，以B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由；
（3）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值．

解：（1）由抛物线y＝﹣x2+bx+c过点A（﹣1，0）及C（2，3）得，

，
解得，
故抛物线为y＝﹣x2+2x+3；
又设直线为y＝kx+n过点A（﹣1，0）及C（2，3），
得，
解得，
故直线AC为y＝x+1；

（2）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴D（1，4），
当x＝1时，y＝x+1＝2，
∴B（1，2），
∵点E在直线AC上，设E（x，x+1）．
①如图2，当点E在线段AC上时，点F在点E上方，则F（x，x+3），
∵F在抛物线上，
∴x+3＝﹣x2+2x+3，
解得，x＝0或x＝1（舍去），
∴E（0，1）；
②当点E在线段AC（或CA）延长线上时，点F在点E下方，则F（x，x﹣1），
∵F在抛物线上，
∴x﹣1＝﹣x2+2x+3，
解得x＝或x＝，
∴E（，）或（，），
综上，满足条件的点E的坐标为（0，1）或（，）或（，）；

（3）方法一：如图3，过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q，交x轴于点H；过点C作CG⊥x轴于点G，设Q（x，x+1），则P（x，﹣x2+2x+3）
∴PQ＝（﹣x2+2x+3）﹣（x+1）
＝﹣x2+x+2
又∵S△APC＝S△APQ+S△CPQ
＝PQ•AG
＝（﹣x2+x+2）×3
＝﹣（x﹣）2+，
∴面积的最大值为；
方法二：过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q，交x轴于点H；过点C作CG⊥x轴于点G，如图3，
设Q（x，x+1），则P（x，﹣x2+2x+3）
又∵S△APC＝S△APH+S直角梯形PHGC﹣S△AGC
＝（x+1）（﹣x2+2x+3）+（﹣x2+2x+3+3）（2﹣x）﹣×3×3
＝﹣x2+x+3
＝﹣（x﹣）2+，
∴△APC的面积的最大值为．




5．如图，抛物线与直线AB交于点A（﹣1，0），B（4，）．点D是抛物线A，B两点间部分上的一个动点（不与点A，B重合），直线CD与y轴平行，交直线AB于点C，连接AD，BD．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设点D的横坐标为m，△ADB的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求出当S取最大值时的点C的坐标；
（3）当点D为抛物线的顶点时，若点P是抛物线上的动点，点Q是直线AB上的动点，判断有几个位置能使以点P，Q，C，D为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标．

解：（1）∵抛物线与直线AB交于点A（﹣1，0），B（4，）．
∴，
解得，，
∴抛物线的解析式是y＝﹣x2+2x+

（2）如图1，过点B作BF⊥DE于点F．
∵点A（﹣1，0），B（4，），
∴易求直线AB的解析式为：y＝x+．
又∵点D的横坐标为m，
∴点C的坐标是（m，m+），点D的纵坐标是（﹣m2+2m+）
∴AE＝m+1，BF＝4﹣m，CD＝﹣m2+m+2，
∴S＝CD•（AE+BF）＝×（﹣m2+m+2）×（m+1+4﹣m）＝﹣（m﹣）2+（﹣1＜m＜4）．
∴当m＝时，S取最大值，此时C（，）；[来源:Zxxk.Com]

（3）假设存在这样的点P、Q使以点P，Q，C，D为顶点的四边形为平行四边形．
∵点D是抛物线的顶点，
∴D（2，），C（2，）．
①如图2，当PQ∥DC，PQ＝DC时．
设P（x，﹣x2+2x+），则Q（x，x+），
∴﹣x2+2x+﹣x﹣＝3，
解得，x＝1或x＝2（舍去），
∴Q（1，1）；
②如图3，当CD∥PQ，且CD＝PQ时．
设P（x，﹣x2+2x+），则Q（x，x+），
∴x++x2﹣2x﹣＝3，
解得，x＝5或x＝﹣2，
∴Q（5，3）、Q′（﹣2，﹣）；
③如图4，当PC∥DQ，且PC＝DQ时．
过点P作PE⊥CD于点E，过点Q作QF⊥CD于点F．则PE＝QF，DE＝FC．
设P（x，﹣x2+2x+），则E（2，﹣x2+2x+），
∴Q（4﹣x，﹣x），F（2，﹣x），
∴由DE＝CF得，﹣（﹣x2+2x+）＝﹣x﹣，
解得，x＝1或x＝2（舍去），
∴Q（3，2）
综上所述，符合条件的点Q的坐标有：（1，1）、（5，3）、（﹣2，﹣）、（3，2）．




6．已知抛物线y＝x2﹣mx+2m﹣的顶点为点C．
（1）求证：不论m为何实数，该抛物线与x轴总有两个不同的交点；
（2）若抛物线的对称轴为直线x＝3，求m的值和C点坐标；
（3）如图，直线y＝x﹣1与（2）中的抛物线交于A、B两点，并与它的对称轴交于点D．直线x＝k交直线AB于点M，交抛物线于点N．求当k为何值时，以C，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形．
[来源:学科网]


解：（1）△＝（﹣m）2﹣4××（2m﹣）＝（m﹣2）2+3，
∵不论m为何实数，总有（m﹣2）2≥0，
∴△＝（m﹣2）2+3＞0，
∴无论m为何实数，关于x的一元二次方程x2﹣mx+2m﹣＝0总有两个不相等的实数根，
∴无论m为何实数，抛物线y＝x2﹣mx+2m﹣与x轴总有两个不同的交点；

（2）∵抛物线的对称轴为直线x＝3，
∴﹣＝3，即m＝3，
此时，抛物线的解析式为y＝x2﹣3x+＝（x﹣3）2﹣2，
∴顶点C坐标为（3，﹣2）．

（3）∵CD∥MN，C，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形，
∴四边形CDMN是平行四边形（直线在抛物线的上方）或四边形CDNM是平行四边形（直线在抛物线的下方），如图所示．

由已知D（3，2），M（k，k﹣1），N（k，k2﹣3k+），
∵C（3，﹣2），
∴CD＝4．
∴MN＝|k﹣1﹣（k2﹣3k+）|＝CD＝4．
①当四边形CDMN是平行四边形，
MN＝k﹣1﹣（k2﹣3k+）＝4，
整理得k2﹣8k+15＝0，
解得k1＝3（不合题意，舍去），k2＝5；

②当四边形CDNM是平行四边形，
NM＝k2﹣3k+﹣（k﹣1）＝4，
整理得k2﹣8k﹣1＝0，
解得k3＝4+，k4＝4﹣，．
综上所述，k＝5，或k＝4+，或k＝4﹣时，可使得C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形．






7．如图，在直角坐标系中，直线y＝x+1与x轴、y轴的交点分别为A、B，以x＝﹣1为对称轴的抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴分别交于点A、C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P是第二象限内抛物线上的动点，其横坐标为t．设抛物线的对称轴l与x轴交于一点D，连接PD，交AB于E，求出当以A、D、E为顶点的三角形与△AOB相似时点P的坐标；
（3）点M是对称轴上任意一点，在抛物线上是否存在点N，使以点A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，说明理由．

解：（1）∵直线y＝x+1与x轴交点为A，
∴点A的坐标为（﹣3，0），
∵抛物线的对称轴为x＝﹣1，
∴点C的坐标为（1，0），
∵抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴分别交于点A、C，
∴抛物线为y＝﹣（x+3）（x﹣1）＝﹣x2﹣2x+3；

（2）∵抛物线y＝﹣x2﹣2x+3的对称轴为x＝﹣1，
∴点D的坐标为（﹣1，0），
①当∠ADE＝90°时，△ADE∽△AOB．此时点P在对称轴上，即点P为抛物线的顶点，坐标为（﹣1，4）；
②当∠AED＝90°时，△AED∽△AOB．
过点P作PG⊥AC于点G，则△AED∽△PGD．
于是 ＝＝＝，
∴PG＝3GD．
即：﹣t2﹣2t+3＝3（﹣1﹣t），
解得 t1＝﹣2，t2＝3（不合题意，舍去）．
当t＝﹣2时，﹣22+2×2+3＝3，
所以此时点P的坐标为（﹣2，3）．
综上所述，点P的坐标是（﹣1，4）或（﹣2，3）；

（3）点N的坐标为：以线段AB为边时，N1（2，﹣5），N2（﹣4，﹣5），
以线段AB为对角线时，N3（﹣2，3）．
综上所述，点N的坐标分别是：N1（2，﹣5），N2（﹣4，﹣5），N3（﹣2，3）．



8．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与y轴交于点A（0，4），与x轴负半轴交于B，与正半轴交于点C（8，0），且∠BAC＝90°．
（1）求该二次函数解析式；
（2）若N是线段BC上一动点，作NE∥AC，交AB于点E，连结AN，当△ANE面积最大时，求点N的坐标；
（3）若点P为x轴上方的抛物线上的一个动点，连接PA、PC，设所得△PAC的面积为S．问：是否存在一个S的值，使得相应的点P有且只有2个？若有，求出这个S的值，并求此时点P的横坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）∵∠BAC＝90°，∠AOC＝90°，
∴由射影定理可得出：OA2＝OB•OC，
由题意知：OA＝4，OC＝8，
∴42＝OB•8，
∴OB＝2，
∴B（﹣2，0），
将A、B、C三点坐标代入即得：
，
解得：，
∴抛物线解析式为：y＝﹣x2+x+4；

（2）设N（n，0），则BN＝n+2，BC＝10，
∵NE∥AC，
∴△BNE∽△BAC，
∴＝（）2，
∵S△BAC＝×10×4＝20，
∴＝（）2，
S△BEN＝（n+2）2，
∵S△BAN＝×（n+2）×4＝2n+4，
∴S△ANE＝（2n+4）﹣（n+2）2＝﹣（n﹣3）2+5，
∵a＝﹣，
∴当n＝3时，最大值S△ANE＝5，
此时N的坐标为：（3，0）；

（3）设直线AC对应的函数解析式为：y＝kx+b，
则，
解得：，
∴直线AC对应的函数解析式为：y＝﹣x+4，
如图，过P作PH⊥OC，垂足为H，交直线AC于点Q；
设P（m，﹣m2+m+4），则Q（m，﹣m+4）．
①当0＜m＜8时，
PQ＝（﹣m2+m+4）﹣（﹣m+4）＝﹣m2+2m，
S＝S△APQ+S△CPQ＝×8×（﹣m2+2m）＝﹣（m﹣4）2+16，[来源:学|科|网]
∴0＜S≤16；
②当﹣2≤m＜0时，
PQ＝（﹣m+4）﹣（﹣m2+m+4）＝m2﹣2m，
S＝S△CPQ﹣S△APQ＝×8×（m2﹣2m）＝（m﹣4）2﹣16，
∴0＜S＜20；
∴当0＜S＜16时，0＜m＜8中有m两个值，﹣2≤m＜0中m有一个值，此时有三个；
当16＜S＜20时，﹣2≤m＜0中m只有一个值；
当S＝16时，m＝4或m＝4﹣4这两个．
故当S＝16时，相应的点P有且只有两个．


9．如图，在平面直角坐标系中，坐标原点为O，A点坐标为（﹣4，0），B点坐标为（1，0），以AB的中点P为圆心，AB为直径作⊙P与y轴的负半轴交于点C．
（1）求经过A、B、C三点的抛物线对应的函数表达式；
（2）设M为（1）中抛物线的顶点，试说明直线MC与⊙P的位置关系，并证明你的结论；
（3）在第二象限中是否存在的一点Q，使得以A，O，Q为顶点的三角形与△OBC相似？若存在，请求出所有满足的Q点坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）连接PC，
∵A（﹣4，0），B（1，0）
∴AB＝5，
∵P是AB的中点，且是⊙P的圆心
∴PC＝PA＝2.5，OP＝4﹣2.5＝1.5．
∴OC＝PC2﹣OP2＝2
∴C（0，﹣2）．
设经过A、B、C三点的抛物线为y＝a（x﹣1）（x+4），
∴﹣2＝a（0﹣1）（0+4）
∴a＝．
∴抛物线为y＝（x﹣1）（x+4）．

（2）直线MC与⊙P相切．
将y＝x2+x﹣2配方，得y＝（x+）2﹣，
∴顶点M为（﹣，﹣）．
设直线MC为y＝kx+b，则有，
解得．
∴直线MC为y＝x﹣2．
设MC与x轴交于点N，
在y＝x﹣2中，令y＝0，得x＝．
∴ON＝，PN＝+＝，CN＝＝＝．
∴CN2+PC2＝PN2．
∴∠PCN＝90度．
∴MC与⊙P相切．

（3）△OBC与△AOQ相似，OB：OC＝AO：AQ，即1：2＝4：AQ，解得AQ＝8，则Q点坐标为（﹣4，8）；
△OBC与△AQO相似，OB：OC＝AQ：AO，即1：2＝AQ：4，解得AQ＝2，则Q点坐标为（﹣4，2）；
△OBC与△QAO相似，OC：BC＝QO：AO，即2：＝QO：4，解得QO＝，则Q点横坐标为﹣×＝﹣，纵坐标为×＝，则Q点坐标为；
△OBC与△QOA相似，OB：BC＝QO：AO，即1：＝QO：4，解得QO＝，则Q点横坐标为﹣×＝﹣，纵坐标为×＝，则Q点坐标为．
综上所述，使得以A，O，Q为顶点的三角形与△OBC相似，所有满足的Q点坐标为（﹣4，8）；（﹣4，2）；；．
[来源:学。科。网]


10．平面直角坐标系中，平行四边形ABOC如图放置，点A、C的坐标分别为（0，3）、（﹣1，0），将此平行四边形绕点O顺时针旋转90°，得到平行四边形A'B'OC'．
（1）若抛物线过点C，A，A'，求此抛物线的解析式；
（2）求平行四边形ABOC和平行四边形A'B'OC'重叠部分△OC'D的周长；
（3）点M是第一象限内抛物线上的一动点，问：点M在何处时；△AMA'的面积最大？最大面积是多少？并求出此时M的坐标．

解：（1）∵▱A′B′O′C′由▱ABOC旋转得到，且A的坐标为（0，3），得
点A′的坐标为（3，0）．
设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c，
将A，A′C的坐标代入，得
，
解得，
抛物线的解析式y＝﹣x2+2x+3；

（2）∵AB∥OC，
∴∠OAB＝∠AOC＝90°，
∴OB＝＝，
又∠OC′D＝∠OCA＝∠B，∠C′OD＝∠BOA，
∴△C′OD∽△BOA，又OC′＝OC＝1，
∴＝＝，
又△ABO的周长为4+，
∴△C′OD的周长为＝1+．
（3）
作MN⊥x轴交AA′于N点，
设M（m，﹣m2+2m+3），
AA′的解析式为y＝﹣x+3，N点坐标为（m，﹣m+3），MN的长为﹣m2+3m，
S△AMA′＝MN•xA′＝（﹣m2+3m）×3
＝﹣（m2﹣3m）＝﹣（m﹣）2+，
∵0＜m＜3，∴当m＝时，﹣m2+2m+3＝，M（，），
△AMA′的面积有最大值．