专题03 数列（选择题、填空题）（理）（9月第02期）（解析版）-2020-2021学年高二《新题速递•数学（理）

专题03 数列（选择题、填空题）
1．（安徽省黄山市屯溪第一中学2019-2020学年高一下学期期中数学试题）已知为等比数列，下面结论中正确的是（ ）
A． B．
C．若，则 D．若，则
【答案】B
【解析】设{an}的首项为a1，公比为q，当a1<0，q<0时，可知a1<0，a3<0，a2>0，所以A不正确；当q＝－1时，C选项错误；当q<0时，a3>a1⇒a3q 2．（湖南省常德市2019-2020学年高一下学期期末数学试题）等差数列中，，，则（ ）
A．14 B．17
C．20 D．23
【答案】B
【分析】根据等差数列的性质结合已知条件，求公差d，进而求出的值
【解析】由等差数列中，，，令公差为d，则，
∴，解得，而，故选B
3．（安徽省滁州市定远县育才学校2019-2020学年高二下学期期末数学（理）试题）计算机是将信息转换成二进制进行处理的，二进制即“逢二进一”．如表示一个二进制数，将它转换成十进制的数就是，那么将二进制数转换成十进制数就是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题的考查点为二进制与十进制数之间的转换，只要根据二进制转换为十进制方法逐位进行转换，即可得到答案.
【解析】.故选B.
【点睛】二进制转换为十进制方法：按权相加法，即将二进制每位上的数乘以权（即该数位上的1表示2的多少次方），然后相加之和即是十进制数，是基础题.
4．（贵州省兴仁市凤凰中学2019-2020学年高二下学期第二次月考数学（文）试题）已知数列中，，，则等于　　
A．18 B．54
C．36 D．72
【答案】B
【解析】数列中，，，
数列是等比数列，公比．则．故选B．
5．（山西省大同市灵丘县豪洋中学2019-2020学年高一下学期期末数学试题）已知为等比数列，，，则公比（ ）
A．2 B．4
C． D．
【答案】C
【解析】因为是等比数列，故可得，解得.故选.
6．（河北省唐山市开滦一中2019-2020学年高一下学期期末数学试题）已知数列：，，，…，又，则数列的前n项的和为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】因为数列为:，，，，…
所以，所以，
所以的前项和为，故选C.
7．（四川省广元市2019-2020学年高一（下）期末数学试题）两数与的等比中项是（ ）
A．1 B．－1
C．±1 D．
【答案】C
【解析】设两数的等比中项为，等比中项为-1或1
8．（广西钦州市2019-2020学年高一下学期期末教学质量监测数学试题）等比数列的各项均为正数，且，则（ ）
A．8 B．10
C．12 D．14
【答案】A
【分析】由已知结合等比数列的性质可得的值，再由对数的运算性质即可求得的值．
【解析】等比数列的各项均为正数，且，
由等比数列的性质可得：，
．故选．
9．（安徽省合肥市第六中学2019-2020学年高一下学期学情检测数学试题）各项均为实数的等比数列的前项和记为，若，，则（ ）
A． B．30或
C．30 D．40
【答案】C
【解析】设等比数列的公比为，由题意易知，
则为等比数列，
可得，
，
解得或（舍），故.故选C.
10．（湖南省常德市2019-2020学年高一下学期期末数学试题）明代数学家吴敬所著的《九章算术比类大全》中，有一道数学命题叫“宝塔装灯”，内容为“远望魏巍塔七层，红灯点点倍加增：共灯三百八十一，…”（“倍加增”指灯的数量从塔的顶层到底层按公比为2的等比数列递增），根据此诗，可以得出塔的第四层灯的数量为（ ）
A．12 B．24
C．48 D．96
【答案】B
【解析】设每层灯的盏数为等比数列，首项为顶层灯的盏数，公比，
，解得：，，
塔的第四层灯的数量为24.故选B.
11．（山西省2019-2020学年高一下学期期末数学（理）试题）在公比为整数的等比数列中，是数列的前项和，若，，则下列说法错误的是（ ）
A． B．数列是等比数列
C． D．数列是公差为2的等差数列
【答案】D
【解析】因为，，
所以，所以，（舍），A正确；
所以，，，，C正确；
又，所以是等比数列，B正确；
又，所以是公差为的等差数列.D错误；故选D.
12．（山西省大同市灵丘县豪洋中学2019-2020学年高一下学期期末数学试题）在等差数列中，若，是方程的两根，则的值为（ ）
A．6 B．-14
C．16 D．14
【答案】C
【解析】根据题意，；
根据等差数列的下标和性质，即可得：.故选.
13．（山西省大同市灵丘县豪洋中学2019-2020学年高一下学期期末数学试题）已知的一个内角为，并且三边长构成公差为2的等差数列，则的面积为（ ）
A． B．4
C． D．6
【答案】A
【分析】由等差数列的性质可设三角形三边长分别为，，，（），由余弦定理列方程可得，再由三角形面积公式即可得解.
【解析】因为三边长构成公差为2的等差数列，所以设三角形三边长分别为，，，（），所以边长为的边所对的角为，
由余弦定理得，所以，
所以.故选A.
14．（山西省大同市灵丘县豪洋中学2019-2020学年高一下学期期末数学试题）设是等差数列，且，，则（ ）
A．13 B．23
C．27 D．30
【答案】C
【解析】，,,解得，
，故选C.
15．（浙江省金华市永康市2020届高三下学期6月高考适应性考试数学试题）已知数列满足，，则数列的前10项和为（ ）
A．48 B．49
C．50 D．51
【答案】D
【分析】依次求出数列的前项，再求其前项和.
【解析】依题意，，，
所以，
，
所以前项和为.故选D.
16．（黑龙江省大庆实验中学2019-2020学年高一下学期期末考试数学试题）已知数列满足：，则数列的前项和为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为，
所以，
两式作差可得：，即，
又当时，，所以，满足，
因此，所以，
因此.故选D.
17．（云南省昆明市官渡区第一中学2019-2020学年高一下学期开学考试数学试题）已知函数的图象过点，令.记数列的前n项和为，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由已知条件推导出，．由此利用裂项求和法能求出．
【解析】由，可得，解得，则.
∴，
，故选.
18．（重庆市巴蜀中学2019-2020学年高一下学期期末数学试题）已知数列的各项均为正数，，，若数列的前n项和为5，则
A．119 B．121
C．120 D．1222
【答案】C
【分析】由已知推导出．，由此能求出n．
【解析】数列的各项均为正数，，，
，∴是以=4为首项，以d=4为公差的等差数列，
，．又∵，则，
∴数列的前n项和为5，
即，
，解得，．故选C．
19．（河北省枣强中学2019-2020学年高一下学期期中数学试题）已知是等差数列，若，数列满足，则等于（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据是等差数列，且，解得，利用等差数列的通项公式得到，进而得到，然后利用裂项相消法求解.
【解析】已知是等差数列，且，所以，解得，所以，所以，所以，所以.故选D.
20．（吉林省辽源市田家炳高级中学等友好学校2019-2020学年高一下学期期末考试数学（理）试题）在等差数列中，，则数列的前项和为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】因为，
所以，
，
因此前项和为，选C.
【点睛】裂项相消法是指将数列的通项分成两个式子的代数和的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如 (其中是各项均不为零的等差数列，c为常数)的数列. 裂项相消法求和，常见的有相邻两项的裂项求和(如本例)，还有一类隔一项的裂项求和，如或.
21．（贵州省铜仁市伟才学校2019-2020学年高一下学期期末考试数学试题）已知各项均为正数的等比数列中，，，则（ ）
A．2 B．54
C．162 D．243
【答案】C
【解析】设等比数列的公比为，由题意可得，
解得，.故选C.
22．（湖南师大附中2020届高三下学期月考（七）数学（文）试题）数学家也有许多美丽的错误，如法国数学家费马于1640年提出了以下猜想是质数．直到1732年才被善于计算的大数学家欧拉算出，不是质数．现设，表示数列的前n项和．则使不等式成立的最小正整数n的值是（提示）（ ）
A．11 B．10
C．9 D．8
【答案】C
【解析】把代入），得，
故，则，
则不等式成立，
代入计算可得，当不等式成立时．n的最小值为9．故选C．
23．（山西省大同市灵丘县豪洋中学2019-2020学年高一下学期期末数学试题）设等比数列的前项和为，且，则（ ）
A．255 B．375
C．250 D．200
【答案】A
【解析】由题得，成等比数列，则有，，解得，同理有，，解得.故选A.
24．（湖南省娄底市2019-2020学年高二下学期期末数学试题）记等差数列的前项和为.若，，则（ ）
A．45 B．75
C．90 D．95
【答案】B
【解析】根据题意，，结合等差数列的通项公式和前项和公式得：
，即：，解得，
所以.故选B.
25．（安徽省黄山市屯溪第一中学2019-2020学年高一下学期期中数学试题）已知等比数列的前项和为，则的值为( )
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】，，，故选C.
26．（安徽省黄山市屯溪第一中学2019-2020学年高一下学期期中数学试题）若数列是等差数列，首项，，，则使前项和成立的最大自然数是（ ）
A．4040 B．4041
C．4042 D．4043
【答案】A
【分析】由等差数列的，及得数列是递减的数列，因此可确定，然后利用等差数列的性质求前项和，确定和的正负．
【解析】∵，∴和异号，
又数列是等差数列，首项，∴是递减的数列，，
，∴，
，∴满足的最大自然数为4040．故选A．
27．（吉林省白城市洮南市第一中学2019-2020学年高一下学期第三次月考数学试卷）记为数列的前项和．若点，在直线上，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由题可得，，根据，可求得为等比数列，进而可求得本题答案.
【解析】因为点在直线上，所以.
当时，，得；
当时，①，②，①-②得，，
所以数列为等比数列，且公比，首项，
则.故选C.
28．（四川省南充西南大学实验学校2019-2020学年高一下学期7月月考数学试卷）已知数列且是首项为2，公差为1的等差数列，若数列是递增数列，且满足，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据等差数列和等比数列的定义可确定是以为首项，为公比的等比数列，根据等比数列通项公式，进而求得；由数列的单调性可知；分别在和两种情况下讨论可得的取值范围.
【解析】由题意得：，，
，，是以为首项，为公比的等比数列 ，，
，为递增数列，，即，①当时，，，，即，，，只需即可满足，②当时，，，，即，，，只需即可满足，综上所述：实数的取值范围为，故选.
【点睛】本题考查根据数列的单调性求解参数范围的问题，涉及到等差和等比数列定义的应用、等比数列通项公式的求解、对数运算法则的应用等知识；解题关键是能够根据单调性得到关于变量和的关系式，进而通过分离变量的方式将问题转化为变量与关于的式子的最值的大小关系问题.
29．（湖北省黄冈市黄梅县国际育才高级中学2019-2020学年高一下学期期中数学试题）定义为个正数的“均倒数”，若已知正整数数列的前项的“均倒数”为，又，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由已知可得数列的前项的“均倒数”为，
可得，则时，，
，当时，，满足，，
又，故，
.故选A
【点睛】本题考查新定义数列的理解，考查裂项相消法求和，以及已知求，属于基础题型，本题的关键是理解新定义.，并能抽象为.
30．（重庆市第一中学2019-2020学年高一下学期5月月考数学试题）正项数列满足：，，若前三项构成等比数列且满足，为数列的前项和，则的值为（ ）
（表示不超过的最大整数）.
A．4040 B．4041
C．5384 D．5385
【答案】C
【分析】结合等比中项的性质列方程，由此求得.然后求得，判断出数列是周期为的周期数列，由此求得，进而求得的值.
【解析】依题意，
，即，解得.
则，结合，解得.
依题意，
，，
所以数列是周期为的周期数列，，
，，所以.
故选C.
31．（安徽省黄山市屯溪第一中学2019-2020学年高一下学期期中数学试题）已知，（），则在数列｛｝的前50项中最小项和最大项分别是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】因为在上单调减，在单调减，
所以当时，此时，当时，此时，因此数列｛｝的前50项中最小项和最大项分别为，选C.
【点睛】数列是特殊的函数，研究数列最值问题，可利用对应函数性质，如等差数列通项与一次函数，等差数列和项与二次函数，等比数列通项、和项与指数函数.本题利用了函数性质.
32．（安徽省黄山市屯溪第一中学2019-2020学年高一下学期期中数学试题）已知数列的前n项和为，且满足，则下列命题错误的是
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】已知，则，两式相减得到，故A正确；根据A选项得到==，故B正确；===，故C不正确；根据
故D正确.故答案为C.
【点睛】这个题目考查了数列的应用，根据题干中所给的条件进行推广，属于中档题，这类题目不是常规的等差或者等比数列，要善于发现题干中所给的条件，应用选项中正确的结论进行其它条件的推广.
33．（安徽省黄山市屯溪第一中学2019-2020学年高一下学期期中数学试题）已知数列满足：，．若，，且数列是单调递增数列，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】∵数列{an}满足：a1＝1，，∴，化为,∴数列是首项为+1＝2，公比为2的等比数列，∴，∴bn+1＝（n﹣λ）（+1）＝（n﹣λ）•2n，∵数列{bn}是单调递增数列，∴bn+1＞bn，∴n≥2时，（n﹣λ）•2n＞（n﹣1﹣λ）•2n﹣1，化为λ＜n+1，∵数列{n+1}为单调递增数列，∴λ＜3．当n＝1时，b2＝（1﹣λ）×2＞﹣λ＝b1，解得λ＜2．综上可得：实数λ的取值范围为λ＜2．故选C．
34．（浙江省杭州市学军中学2020届高三下学期高考模拟数学试题）设等差数列的前项和为，并满足：对任意，都有，则下列命题不一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】设等差数列的公差为，对分、、三种情况讨论，在时验证即可；在时，取，可设，根据恒成立求得实数的取值范围，逐一验证各选项即可；同理可判断出时各选项的正误.
【解析】设等差数列的公差为，则.
①当时，则，，则对任意的恒成立，
A、B、C、D四个选项都成立；
②当时，不妨取，记，则，
由可得，即，
则，
令，可得；
令，可得.
，则，
解关于的不等式，
可得或，
所以或.
由于数列单调递减，该数列没有最小项；
由双勾函数的单调性可知，函数在区间上单调递增，
所以，数列单调递减，该数列的最大项为，
.
对于A选项，，，
则，
，
，
则，
所以，，A选项成立；
对于B选项，，
则，
，
，
则，
所以，，B选项成立；当时，；
当时，.
满足，.
对于C选项，，，
，
，
当时，，
所以C选项不一定成立；
对于D选项，，
，
所以，，D选项成立；
③当时，由②同理可知，C选项不一定成立.故选C.
35．（吉林省辽源市田家炳高级中学等友好学校2019-2020学年高一下学期期末考试数学（文）试题）数列中，若，，则（ ）
A．29 B．2563
C．2569 D．2557
【答案】D
【解析】数列中，若，，
可得，所以是等比数列，公比为2，首项为5，
所以，．
【点睛】本题主要考查数列的通项公式的求法——构造法．利用递推关系，选择合适的求解方法是解决问题的关键，常见的数列的通项公式的求法有：公式法，累加法，累乘法，构造法，取倒数法等．
二、多选题
36．（海南省海口市2020届高三高考模拟演练数学试题）已知正项等比数列满足，，若设其公比为q，前n项和为，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【解析】由题意，得，解得（负值舍去），选项A正确；
，选项B正确；
，所以，选项C错误；
，而，选项D正确．故选ABD.
37．（山东省2020届高三新高考预测数学试卷）已知等比数列的公比为，前4项的和为，且，，成等差数列，则的值可能为（ ）
A． B．1
C．2 D．3
【答案】AC
【解析】因为，，成等差数列，所以，
因此，，故．
又是公比为的等比数列，所以由，
得，即，解得或．故选AC．
38．（湖南省衡阳市第八中学2019-2020学年高二下学期6月第三次月考数学试题）在《增减算法统宗》中有这样一则故事：三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关．则下列说法正确的是（ ）
A．此人第三天走了二十四里路
B．此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里
C．此人第二天走的路程占全程的
D．此人走的前三天路程之和是后三天路程之和的8倍
【答案】BD
【解析】由题意，此人每天所走路程构成以为公比的等比数列，记该等比数列为，公比为，前项和为，则，解得，所以此人第三天走的路程为，故A错；
此人第一天走的路程比后五天走的路程多里，故B正确；此人第二天走的路程为，故C错；
此人前三天走的路程为，后三天走的路程为，，即前三天路程之和是后三天路程之和的8倍，D正确；故选BD.
39．（2020届山东省寿光市第二中学高三线上2月29日数学高考模拟题（三））记为等差数列的前n项和.若，，则下列正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】根据已知条件，构造关于的方程组，即可求解出的值并完成选项的判断.
【解析】因为，所以，故选AC.
【点睛】本题考查等差数列的通项公式以及等差数列求和公式中的基本量的计算，难度较易.已知两个关于等差数列的等式，求解等差数列首项和公差的常见方法：（1）化简为关于首项、公差的方程组求解；（2）借助等差数列的性质进行求解.
40．（江苏省盐城市2019-2020学年高二下学期期终数学试题）设，分别为等差数列的公差与前项和，若，则下列论断中正确的有（ ）
A．当时，取最大值 B．当时，
C．当时， D．当时，
【答案】BC
【解析】因为，所以，解得.
对选项A，因为无法确定和的正负性，所以无法确定是否有最大值，故A错误.
对选项B，，故B正确.
对选项C，，故C正确.
对选项D，，，
因为，所以，，，故D错误.
故选BC.
41．（广东省佛山市禅城区2019-2020学年高一下学期期末数学试题）已知是等差数列，其前项和为，满足，则下列四个选项中正确的有（ ）
A． B．
C．最小 D．
【答案】ABD
【解析】因为是等差数列，，所以，
所以，即，即，所以，
，所以正确的有ABD.故选ABD.
42．（湖南省益阳市桃江县2019-2020学年高二下学期期末数学试题）设公差不为0的等差数列的前n项和为，若，则下列各式的值为0的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【解析】因为，所以，所以，
因为公差，所以，故不正确；
，故正确；
，故不正确；
，故正确.故选BD.
43．（江苏省苏州市实验中学2019-2020学年高二上学期阶段性调研（二）数学试题）已知等差数列的首项为1，公差，前n项和为，则下列结论成立的有( )
A．数列的前10项和为100
B．若成等比数列，则
C．若，则n的最小值为6
D．若，则的最小值为
【答案】AB
【解析】由已知可得:,,,则数列为等差数列,则前10项和为.所以A正确;
成等比数列,则,即,解得故B正确;
因为，
所以,解得,故的最小值为7,故选项C错误;等差的性质可知,所以,当且仅当时,即时取等号,因为,所以不成立,故选项D错误.故选:AB.
44．（广东省佛山市第一中学2019-2020学年高一下学期第一次段考数学试题）下列命题中，其中错误命题有（ ）
A．单位向量都相等
B．在中，若，则一定大于
C．若数列的前项和为（、、均为常数），则数列一定为等差数列
D．若数列是等比数列，则数列也是等比数列
【答案】ACD
【解析】A. 单位向量不一定相等，因为向量既有大小，又有方向，所以该命题错误；
B. 在中，若，所以所以，则一定大于，所以该命题正确；
C. 若数列的前项和为（、、均为常数），由等差数列性质得，当时，数列一定为等差数列；当时，数列从第二项起，是等差数列，所以该命题错误；
D. 若数列是等比数列，则数列不一定是等比数列，如当公比时，为偶数，均为零，所以该命题错误.故选ACD.
45．（安徽省合肥一六八中学2018-2019学年高一（宏志班）下学期期中数学试题）设是各项为正数的等比数列，是其公比，是其前项的积，且，，则下列选项中成立的（ ）
A． B．
C． D．与均为的最大值
【答案】ABD
【解析】对于，若，则，故正确；
对于，由可得，则，故正确；
对于，由是各项为正数的等比数列且可得数列单调递减，则有，故错误；
对于，结合，，可得正确.
故选.
46．（湖南省长沙市长郡中学2020-2021学年高三上学期月考（一）数学试题）已知数列前项和为.且，（为非零常数）测下列结论中正确的是（ ）
A．数列为等比数列 B．时，
C．当时， D．
【答案】AC
【分析】由和等比数列的定义，判断出A正确；利用等比数列的求和公式判断B错误；利用等比数列的通项公式计算得出C正确，D不正确．
【解析】由，得.
时，，相减可得，
又，数列为首项为，公比为的等比数列，故A正确；
由A可得时，，故B错误；
由A可得等价为，可得，故C正确；
，，
则，即D不正确；故选AC.
47．（山东省2020年普通高等学校招生统一考试数学必刷卷（二））记单调递增的等比数列的前项和为，若，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【解析】由得，则．设等比数列的公比为，由，得，即，解得或．又因为数列单调递增，所以，所以，解得．所以，，所以.故选BC
48．（河北省沧州市第一中学2019-2020学年高一下学期第二次学段检测数学试题）已知等差数列的前项和为，且，，则下列说法正确的是（ ）
A．最大. B．
C． D．数列中绝对值最小的项为
【答案】ABD
【解析】∵，，∴，
，∴，，
可得，，，故A，B都正确，C错误，
由等差数列的单调性即可得出：此数列中绝对值最小的项为，故D正确.故选ABD.
49．（2020届山东省威海市高三一模数学试题）等差数列的前项和记为，若，，则（ ）
A． B．
C． D．当且仅当时
【答案】ABC
【解析】因为等差数列中，所以，
又，所以，所以，，故ABC正确；
因为，故D错误,故选ABC.
50．（河北省石家庄二中2019-2020学年高一下学期期中数学试题）设等差数列的前项和为，公差为，且满足，，则对描述正确的有（ ）
A．是唯一最小值 B．是最小值
C． D．是最大值
【答案】CD
【分析】根据等差数列中可得数列的公差，再根据二次函数的性质可知是最大值，同时可得，进而得到，即可得答案；
【解析】，，设，则点在抛物线上，
抛物线的开口向下，对称轴为，且为的最大值，
，，
故选CD.
51．（河北省邯郸市大名中学2019-2020学年高二（清北班）下学期第五次半月考（6月9日）数学试题）已知数列不是常数列，其前项和为，则下列选项正确的是（ ）
A．若数列为等差数列，恒成立，则为递增数列
B．若数列为等差数列，，，则的最大值在或7时取得
C．若数列为等比数列，则恒成立
D．若数列为等比数列，则也为等比数列.
【答案】ABC
【解析】对于A：若数列为等差数列，恒成立，则公差，故为递增数列，故A正确；
对于B：若数列为等差数列，，设公差为，由，得
，即，故，
所以，当时，，，故的最大值在或7时取得，故B正确；
对于C：若数列为等比数列，
则恒成立，故C正确；
对于D：若数列为等比数列，则，
所以不是常数，故不是等比数列，故D错误.故选ABC.
52．（山东省烟台市第三中学（等级赋分）2019-2020学年度第一学期高二期中学业水平数学诊断试题）已知为等差数列，其前项和为，且，则以下结论正确的是（ ）
A． B．最小
C． D．
【答案】ACD
【解析】即，正确；
当时，没有最小值，错误；
，正确；
，正确.故选
53．（福建省三明市2019-2020学年高一（下）期末数学试题）已知数列{an}满足a1＝﹣11，且3（2n﹣13）an+1＝（2n﹣11）an，则下列结论正确的是（ ）
A．数列{an}的前10项都是负数 B．数列{an} 先增后减
C．数列{an} 的最大项为第九项 D．数列{an}最大项的值为
【答案】BD
【解析】对于A，将等式整理得，
当，解得或，，解得，
a1＝﹣11，则数列前项都为负，第七项为正，之后都为正，故A错误；
对于B，对所有的，当时，满足时，
为负，时，乘以一个小于的正数，一直增加；
当时，，
当时， ，当时，为正数，
乘以一个小于的正数，在减少，故B正确；
对于C，数列{an} 的最大项为第七项，故C错误；
对于D，

，故D正确；
故选BD.
54．（山东省2020年普通高等学校招生统一考试数学必刷卷（五））设首项为1的数列的前项和为，已知，则下列结论正确的是（ ）
A．数列为等比数列
B．数列的通项公式为
C．数列为等比数列
D．数列的前项和为
【答案】AD
【解析】因为，所以．
又，所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，故A正确；
所以，则．
当时，，但，故B错误；
由可得，即，故C错；
因为，所以

所以数列的前项和为，故D正确．故选:AD．
三、填空题
55．（安徽省合肥市第六中学2019-2020学年高一下学期学情检测数学试题）设数列满足，且，则数列前2020项的和为__________．
【答案】
【解析】因为,
所以，
左右分别相加得，
所以，所以，
所以.
56．（安徽省黄山市屯溪第一中学2019-2020学年高一下学期期中数学试题）已知数列满足，且，则__________．
【答案】
【解析】设，则由得，∴，
∴，∴．故答案为：．
57．（全国高考2020届高三新课标数学（理科）试题（一）（Ⅰ卷））已知数列的前项和，若不等式，对恒成立，则整数的最大值为__________．
【答案】4
【解析】当时，，得， 当时，，
又，两式相减得，得，
所以．又，所以数列是以2为首项，1为公差的等差数列，
，即．因为，所以不等式，
等价于．记，
时，．所以时，
综上，，所以，所以整数的最大值为4．
58．（贵州省兴仁市凤凰中学2019-2020学年高二下学期第二次月考数学（文）试题）设数列中，，，则通项__________．
【答案】
【解析】因为，所以.
即，所以数列是以首项为，公差为的等差数列.
故，所以.故答案为：
59．（上海市静安区2019-2020学年高一下学期期末数学试题）数列的通项，则前10项的和__________．
【答案】5
【解析】的周期，当时的值为1,0，-1,0,
则前10项的和，
故答案为：5
60．（山西省大同市灵丘县豪洋中学2019-2020学年高一下学期期末数学试题）已知等差数列中，，，则其通项公式__________．
【答案】
【解析】∵等差数列{an}中,a4=8,a8=4，∴，解得a1=11，d=−1，
∴通项公式an=11+(n−1)×(−1)=12−n.
61．（湖南省常德市2019-2020学年高一下学期期末数学试题）已知等差数列的前项和为，为整数，，，则数列的通项公式为__________．
【答案】
【解析】设等差数列的公差为，则，为整数，
所以，
由，结合二次函数的图象与性质可得，，
解得，所以，所以，
所以.故答案为：.
62．（湖南省衡阳市第八中学2019-2020学年高二下学期6月第三次月考数学试题）已知数列是等差数列，是其前n项和.若，则的通项公式__________．
【答案】
【分析】由已知条件求出首项和公差，即可得通项公式．
【解析】设数列公差为，由已知得，解得．
∴．故答案为：．
63．（广西钦州市2019-2020学年高一下学期期末教学质量监测数学试题）已知等差数列中，，，则的前项和的最大值为__________．
【答案】25
【解析】设等差数列的公差为，
，则，解得，
，，
则要使取得最大值，需满足，解得，
则时，取得最大值为.故答案为：25.
64．（四川省广元市2019-2020学年高一（下）期末数学试题）定义：如果一个数列从第二项起，后一项与前一项的和相等且为同一常数，这样的数列叫“等和数列”，这个常数叫公和．给出下列命题：
①“等和数列”一定是常数数列；
②如果一个数列既是等差数列又是“等和数列”，则这个数列一定是常数列；
③如果一个数列既是等比数列又是“等和数列”，则这个数列一定是常数列；
④数列是“等和数列”且公和，则其前项之和；
其中，正确的命题为__________．（请填出所有正确命题的序号）
【答案】②
【分析】利用“等和数列”的定义对每一个命题逐一分析判断得解.
【解析】①“等和数列”不一定是常数数列,如数列是“等和数列”，但是不是常数数列，所以该命题错误；
②如果一个数列既是等差数列又是“等和数列”，则这个数列一定是常数列.如果数列是等差数列，所以，如果数列是“等和数列”，所以
所以所以，所以，所以这个数列一定是常数列，所以该命题是正确的.
③如果一个数列既是等比数列又是“等和数列”，则这个数列一定是常数列. 如果数列是等比数列，所以，如果数列是“等和数列”，所以
所以所以，所以，所以这个数列不一定是常数列，所以该命题是错误的.
④数列是“等和数列”且公和，则其前项之和，是错误的.举例“等和数列”其，所以该命题是错误的.故答案为：②
65．（吉林省松原市扶余市第一中学2019-2020学年高一下学期期中考试数学试题）在等差数列中，为其前项和，若，，则当__________时，最大．
【答案】10
【分析】根据等差数列的求和公式，由题意，推出，，结合等差数列的性质，判断出，，即可得出结果.
【解析】因为，，所以，，
所以，，所以，，所以最大．
故答案为：10.
【点睛】本题主要考查等差数列前项和的最值问题，熟记等差数列的求和公式，以及等差数列的性质即可，属于常考题型.
66．（湖南省娄底市2019-2020学年高二下学期期末数学试题）已知数列的前项和为且，则__________．
【答案】
【解析】根据公式得
当时，，解得；
当时，，
即，所以，
所以数列是以为公比，的等比数列，
所以，所以，故答案为：
67．（江苏省南通市2020届高三下学期高考考前模拟卷（九）数学试题）已知等比数列的公比，且，则__________．
【答案】1024
【解析】，所以==，所以，所以=,所以=.故答案为：1024.
68．（湖北省武汉市蔡甸区汉阳一中2020届高三下学期仿真模拟（一）理科数学试题）已知等比数列的各项均为正数，公比为，前项和为，若，有，则的取值范围是__________．
【答案】
【分析】就和分类讨论，结合前项和公式可求的取值范围.
【解析】①当时，，
因为，所以，恒成立；
②当时，由，得，
若，则，即或（舍），故.
若，则即对任意的恒成立，
但当时，，故舍去.综上所述，q的取值范围是．
69．（江苏省南京师范大附中2020届高三下学期6月高考模拟（1）数学试题）各项为正且公差不为0的等差数列的第1项、第2项、第6项恰好是等比数列的连续三项（顺序不变），设，若对于一切的，，则的最小值为__________．
【答案】
【解析】设等差数列的公差为d，由得，
因为，所以，所以，

，所以，则，
因为，所以，故的最小值为．
70．（上海市静安区2019-2020学年高一下学期期末数学试题）在实数1和81之间插入个实数，使得这个数构成递增的等比数列，将这个数的乘积记作，再令.则数列的通项公式__________．
【答案】
【分析】若记这个数构成的等比数列为，则，，从而由等比数列的性质可得，进而可求出数列的通项公式.
【解析】记这个数构成的等比数列为，则，，
且，∴，
从而.
71．（贵州省贵阳市2019-2020学年高一下学期期末考试数学试题）在等比数列中，若，且是，的等差中项，则数列的前5项和__________．
【答案】62
【解析】设数列的公比为，
∵是，的等差中项，∴，
又，∴，即，
解得，或（舍去），∴．
72．（四川省广元市2019-2020学年高一（下）期末数学试题）一个等比数列的前项和为10，前项和为30，则前项和为__________．
【答案】70
【解析】由题意得.
【名师点睛】（1）在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq”，可以减少运算量，提高解题速度.（2）等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形，二是等比中项的变形，三是前n项和公式的变形.根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口.
73．（安徽省江淮十校2020-2021学年高三上学期第一次联考文科数学试题）设数列满足，则数列的前2020项和为__________．
【答案】
【解析】，，
，，，
的前2020项和为，
故答案为：.
74．（湖南省长沙市长郡中学2020-2021学年高三上学期月考（一）数学试题）已知数列满足，则前48项之和为__________．
【答案】1176
【解析】由，则，，
，，，，
，…可知相邻奇数项的和为2，偶数项中，每隔一项构成公差为8的等差数列，由等差数列的求和公式计算即可得到所求值.
因，
，
而，
，
所以数列前48项之和为.
故答案为：1176.
四、双空题
75．（2021届北京市人民大学附属中学高三（上）8月练习数学试题）已知是等差数列，是公比为c的等比数列，，则数列的前10项和为__________，数列的前10项和为__________（用c表示）．
【答案】100
【解析】因为是等差数列，，所以，解得，
所以，所以
因为是公比为c的等比数列，且，所以，
故，当时，，
当时，，
综上,
故答案为：100；
76．（浙江省宁波市2019-2020学年高一下学期期末数学试题）已知等比数列的公比为q(q>0)，前n项和为.若，则__________，q=__________．
【答案】
【解析】若，则，无解，故.
当且时，，解得.
故答案为：；
77．（重庆市九龙坡区2020届高三第三次质量调研数学（文科）试题）已知数列与均为等差数列，且，则__________，__________．
【答案】
【解析】设，所以，
由于为等差数列，所以其通项是一个关于n的一次函数或常数函数，
所以所以
所以
故答案为：；.
78．（江苏省南京市2020-2021学年高三上学期9月期初数学试题）已知数列的各项均为正数，其前n项和为，且，n，则＝__________；若＝2，则＝__________．
【答案】4 220
【分析】当时，利用， 即可得到 ，取即可.
利用已知递推公式，结合首项可以求得，进一步做差可以得出的奇数项和偶数项分别成等差数列，分组后利用等差数列求和公式即可.
【解析】根据①，得②，①﹣②得，，
又时，，可得，故；
当＝2，，可得 ，
即可求得
．
故答案为：4；220
79．（北京166中2018-2019学年高二（上）9月考数学试题）如图，一粒子在区域{（x，y）|x≥0，y≥0}上运动，在第一秒内它从原点运动到点B1（0，1），接着按图中箭头所示方向在x轴、y轴及其平行方向上运动，且每秒移动一个单位长度，设粒子从原点到达点An、Bn、∁n时，所经过的时间分别为an、bn、cn，请你尝试求出＝__________，{bn}的通项公式bn＝__________．

【答案】8
【分析】根据题意，列举数列的前几项，归纳总结，即可求得以及.
【解析】根据题意，容易可得：；
；
.
由归纳可得：；且数列是首项为，公差为的等差数列，故可得；
容易知的奇数项是的奇数项减去1得到；
的偶数项是的偶数项加上1得到；故.
故答案为：；.
80．（2020年浙江省新高考考前原创冲刺卷（三））已知等差数列的前n项和为，若，，则__________，__________．
【答案】8 88
【分析】设出等差数列的公差,由,,列出方程组并解出其首项和公差,进而可求得和；也可以利用等差数列的性质求解.
【解析】法一：设等差数列的公差为d,由,,得,解得,所以,.
法二：由题意知,,解得.又,所以,.
故答案为：(1). 8 (2). 88
81．（山东省济宁市育才中学2019-2020学年高二（下）4月月考数学试题）已知数列的前n项和为，数列的前n项和为，满足，且.则__________；若存在，使得成立，则实数的最小值为__________．
【答案】
【解析】，，解得，
，①，当时，，所以；
当时，，②，
由①②可得，
即，，
，，，，，，
累乘可得，经检验符合题意，，，
，，令，
则，
数列为递增数列，，存在，使得成立，
，故实数的最小值为，
故答案为：；．
【点睛】本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前项和，以及数列的函数特征，考查满足条件的实数值是否存在的判断与求法，综合性强，属于难题.
82．（安徽省六安市第一中学2020届高三下学期高考适应性考试数学（文）试题）已知在数列中，且，设，，则__________，数列前n项和__________．
【答案】
【解析】，，
，
为常数列，，
，，适合上式．∴，，
，
∴．
故答案为：；．
【点睛】本题考查由递推公式求数列的通项公式，考查裂项相消法求数列的和．解题关键是由已知等式变形后构造新数列为常数列，从而得通项公式．