专题08 数列（解答题）（10月）（人教A版2019）（解析版）-2020-2021学年高二《新题速递_数学》

专题08 数 列（解答题）
一、解答题
1．（宁夏石嘴山市第三中学2020-2021学年高二上学期第一次月考）记等差数列的前项和为，设，且成等比数列． 求
（1） a1和d．
（2）求数列的前项和．
【答案】（1），，或，，（2）或
【解析】（1）设等差数列的公差为，
因为成等比数列，所以，
即，
因为，所以，即，
所以，，解得或，
当时，，当时，，
所以，，或，，
（2）当，时，，
当，时，.
2．（天一大联考2020-2021学年高二年级阶段性测试（一）（理））已知递增的等差数列满足，，成等比数列，且．
（1）求的通项公式；
（2）若求的前项和．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）设的公差为，
由题中条件可得，
解得，∴；
（2）当时，，
当时，，适合上式，综上所述，．
3．（云南省弥勒市第一中学2019-2020学年高二下学期第三次月考（文））已知数列的首项，，
（1）证明：数列是等比数列：
（2）设，求数列的前n项和．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】（1），，
，又，，
所以数列是以为首项，以为公比的等比数列；
（2）由（1）知，，
所以
．
4．（宁夏石嘴山市第三中学2020-2021学年高二上学期第一次月考）已知数列的前n项和为．
（1）求数列的通项公式；
（2） 求数列的前n项和．
【答案】（1），（2）
【分析】（1）利用求解数列的通项公式；
（2）由（1）由得，然后分和两种情况对化简求解即可
【解析】（1）当时，，即，
当时，，
时，满足上式，所以
（2）由得，而，
所以当时，，当时，，
当时，，
当时，
，
所以
5．（江苏省盐城市伍佑中学2020-2021学年高二上学期期初调研）（1）在等差数列中，若，求；
（2）已知为等差数列，，，求．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）由等差数列的性质可得，，
又，所以，解得，
因此；
（2）设等差数列的公差为，
因为，，所以，则，
因此．
6．（湖北省武汉市江岸区2019-2020学年高一下学期期末）已知公差不为零的等差数列的前项和为，且，是与的等比中项．
（1）求数列的通项公式；
（2）在①；②中选一个条件使数列是等比数列，并说明理由，然后求出数列的前项和．
【答案】（1），（2）若选①，；若选②，．
【解析】（1）设等差数列的公差为，
因为，是与的等比中项，所以，即，
解得或（舍），所以.
（2）若选①，则，所以，，
所以数列是首项为2，公比为4的等比数列．所以，
若选②，则，
因为，所以，所以，
即数列是首项为，公比为的等比数列，故.
7．（贵州省思南中学2020-2021学年高二上学期第一次月考）各项均为正数的数列满足，其中为的前项和．
（1）求的值；
（2）求数列的通项公式．
【答案】（1），；（2）．
【解析】（1），
，解得或(舍).
（2），，
，，
即，，(常数)，
所以数列是等差数列，
8．（贵州省思南中学2020-2021学年高二上学期第一次月考）在等比数列中，．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1），.
（2），.
9．（陕西省西安中学2020-2021学年高三上学期第一次月考（理））设是等差数列，是各项都为正数的等比数列，且，，，且数列的前n项和为．
（1）求､的通项公式；
（2）数列中，，且，求的通项公式．
【答案】（1），；（2）．
【解析】（1）设的公差为，的公比为，则依题意有
且解得，．
所以，．
（2）由（1）知，
∴，，……，，
以上各式相加得．
又，∴，∴．
当时，满足上式，故．
10．（四川省内江市第六中学2020-2021学年高二上学期开学考试（理））设数列满足．
（1）求的通项公式；
（2）求数列 的前项和．
【答案】（1） ；（2）．
【解析】（1）数列满足
时，，∴ ，
∴，当时，，上式也成立，∴.
（2），
∴数列的前n项和
．
11．（安徽省六安市舒城中学2020-2021学年高一上学期开学考试）在金融危机中，某钢材公司积压了部分圆钢，经清理知共有根．现将它们堆放在一起．

（1）若堆放成纵断面为正三角形(每一层的根数比上一层根数多根)，并使剩余的圆钢尽可能地少，则剩余了多少根圆钢?
（2）若堆成纵断面为等腰梯形(每一层的根数比上一层根数多根)，且不少于七层，
（i）共有几种不同的方案?
（i i）已知每根圆钢的直径为，为考虑安全隐患，堆放高度不得高于，则选择哪个方案，最能节省堆放场地？
【答案】（1）当时，能使剩余的圆钢尽可能地少，此时剩余56根圆钢；（2）（i）共有4中方案；（i i）选择堆放41层这个方案，最能节省堆放场地．
【解析】（1）由题意可知：第一层放1根，第二层放2根，第3层放3根，，第n层放n根，所以n层一共放了根圆钢，由题意可知，
因为当时，，当时，，
所以当时，能使剩余的圆钢尽可能地少，此时剩余56根圆钢；
（2）（i）当纵截面为等腰梯形时，设共堆放n层，则从上到下每层圆钢根数是以x为首项、1为公差的等差数列，从而，即，
因与n的奇偶性不同，所以与n的奇偶性也不同，且，
所以或或或，
共有4中方案可供选择；
（i i）因为层数越多，最下层堆放得越少，占用面积也越少，所以由（2）可知：
若，则，说明最上层有29根圆钢，最下层有69根圆钢，此时，两腰之长为400cm，上下底之长为280cm和680cm，从而梯形的高为，
且，所以符合条件；
若，则，说明最上层有17根圆钢，最下层有65根圆钢，此时两腰之长为480cm，上下底之长为160cm和640cm，则梯形的高为，显然大于4m，不合条件，舍去．
综上所述，选择堆放41层这个方案，最能节省堆放场地．
12．（陕西省安康市高新中学2020-2021学年高三上学期8月摸底（理））已知等比数列是递减数列，且满足，．
（1）求数列的通项公式;
（2）设，数列的前项和为，求的最大值及取得最大值时的值．
【答案】（1）；（2）当或4时，取最大值12．
【解析】（1）设公比为，由可得，∴，，，
∵，∴，解得，∴．
（2），
∴，
∴当或4时，取最大值12．
13．（湖南省衡阳市第一中学2020-2021学年高三上学期第二次月考）已知数列的前项和为，满足：，，数列为等比数列，满足，，．
（1）求数列，的通项公式；
（2）若的前项和为，数列的前项和为，试比较与的大小．
【答案】（1），；（2）当时，．当时，，即有．
【解析】（1）由，得，
即，又，所以数列是首项和公差均为1的等差数列，可得．
因为数列为等比数列，满足，，，
所以设公比为，可得，所以，
当时，，可得．
当时，，得，不满足，舍去，所以．
（2），
，，
此时．
易知：当时，．当时，，即有．
14．（百校联盟2021届高三普通高中教育教学质量监测（文））已知数列满足，且，数列是公差为的等差数列．
（1）探究：数列是等差数列还是等比数列，并说明理由；
（2）求使得成立的最小正整数的值．
【答案】（1）等比数列，理由见解析；（2）12．
【解析】（1）依题意，，
当时，，即，故，
则，故，
故，
而，故是以1为首项，2为公比的等比数列．
（2）由（1）可知，，故，记，
故，易见是递增数列，又，，
故满足的最小正整数的值为12．
15．（天一大联考2020-2021学年高二年级阶段性测试（一）（理））已知数列满足，且．
（1）证明：是等比数列；
（2）求的前项和．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【分析】（1）对所给条件进行变形，并利用定义法证明是等比数列；
（2）根据（1）的结论求解出的通项公式，采用分组求和的方法即可求解出．
【解析】（1）由题易知，且，
所以是等比数列．
（2）由（1）可知是以为首项，2为公比的等比数列，
所以，所以．所以
．
16．（甘肃省天水市第一中学2019-2020学年高二下学期期末考试（文））已知等比数列的各项均为正数，，．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和．
【答案】（1）（2）
【解析】（1）设公比为，由题意可知，整理得，
解得（舍），，即，则
（2），.
17．（百校联盟2021届高三普通高中教育教学质量监测考试全国（理））已知数列满足，且，数列是公差为的等差数列．
（1）证明是等比数列；
（2）求使得成立的最小正整数的值．
【答案】（1）证明见解析；（2）12．
【解析】依题意，，
当时，，即，故，
则，故，
故，
而，故是以1为首项，2为公比的等比数列．
（2）由（1）可知，，故，记，
故，
因为，，
而是递增数列，故满足的最小正整数的值为12．
18．（山东省青岛市2021届高三调研检测）已知数列的前项和为，，且为与的等差中项，当时，总有．
（1）求数列的通项公式；
（2）记为在区间内的个数，记数列的前项和为，求．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）因为，，，所以，，
因为，，，依次成等差数列，所以，得，所以，
所以数列是以1为首项，公比为的等比数列，所以．
（2）由题意知：，所以，
所以，即，所以，
当为偶数时，

，
所以．
【点睛】本题考查由求，求等比数列的通项公式，考查分组（并项）求和法．在由的转化中注意，因此后面的关系式、结论需验证时是否成立，否则易出错．在出现正负相间的数列求和时常常相邻项并项后再求和．
19．（河南省豫南九校2020-2021学年高二上学期第一次联考（9月）（理））已知在等比数列中，，且是和的等差中项．
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足，求的前项和．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）设等比数列的公比为，则，则，，
由于是和的等差中项，即，即，解得．
因此，数列的通项公式为；
（2），

．
20．（江苏省连云港市赣榆智贤中学2020-2021学年高二上学期9月月考）已知数列是公差的等差数列，其前n项和为，满足，且，，恰为等比数列的前三项．
（1）求数列，的通项公式；
（2）设，数列的前n项和为，求证：．
【答案】（1），；（2）见解析
【解析】（1）由题意，，得，
由，得，．所以．
由，，得公比，所以．
（2）因为，所以①
得②
①-②得．
所以．从而．
21．（安徽省六安市霍邱县第二中学2019-2020学年高一下学期段考）等比数列的各项均为正数，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）设 ，求数列的前项和．
【答案】（1） （2）
【解析】（1）设数列{an}的公比为q，由＝9a2a6得＝9，所以q2＝．
由条件可知q＞0，故q＝．由2a1＋3a2＝1得2a1＋3a1q＝1，所以a1＝．
故数列{an}的通项公式为an＝．
（2）bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an＝－（1＋2＋…＋n）＝－．
故．

所以数列的前n项和为
22．（新力量联盟2019-2020学年第二学期期中联考高一）已知数列满足：，，．
（1）求证是等差数列并求；
（2）求数列的前项和；
（3）求证：．
【答案】（1）证明见解析，；（2）；（3）证明见解析．
【解析】（1），
是首项为，公差为1的等差数列，，；
（2），，
两式相减得：，
；
（3），，，
当时，，，，

，即得证．
23．（安徽省宿州市泗县第一中学2020-2021学年高二上学期开学考试）已知数列满足，
（1）求，；
（2）设，，求证：数列是等比数列，并求其通项公式；
（3）已知，求证：．
【答案】（1），；（2）证明见解析；；（3）证明见解析．
【解析】（1）由数列的递推关系易知：，．
（2）因为
，
又，所以是首项为，公比为的等比数列，
即．
（3）证明：由（2）有．
所以，
∴
．
24．（河南省豫南九校2020-2021学年高二上学期第一次联考（9月）（文））已知 是公差不为零的等差数列， ，且成等比数列．
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列 的前 项和．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）设的公差为，因为， ，成等比数列
，可得，
，，所以，
又，解得，，；
（2）


25．（河南省豫西名校2020-2021学年高二10月联考）已知数列的前项和，在各项均不相等的等差数列中，，且，，成等比数列，
（1）求数列、的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
【答案】（1），；（2）．
【解析】（1）设数列的公差为，则，，
∵，，成等比数列，∴，即．
整理得，解得（舍去）或，
∴．当时，，
当时，．
验证：当时，满足上式，∴数列的通项公式为．
（2）由（1）得，，
∴

．
【点睛】本题考查等差数列的通项公式，由数列前项和求通项公式，考查用分组求和法求数列的和．在中要注意，需验证是否符合这个表达式．
26．（河南省豫西名校2020-2021学年高二10月联考）已知等差数列中，，．
（1）求数列的通项公式；
（2）记数列的前项和为，证明：．
【答案】（1）；（2）证明见解析．
【解析】（1）设数列的公差为，由题意得，
解得，，故数列的通项公式为．
（2）由（1）知，
所以，所以，
所以
．
27．（宁夏石嘴山市第三中学2020-2021学年高二上学期第一次月考）在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋2n．
（1）设bn＝．证明：数列{bn}是等差数列；
（2）求数列{an}的前n项和．
【答案】（1）见解析（2）Sn＝(n－1)·2n＋1．
【分析】（1）由及条件可得，即，可得数列为等差数列；（2）由（1）得，从而可得，利用错位相减法求和即可．
【解析】（1）∵ an＋1＝2an＋2n，
∴ bn＋1＝＝＝＋1＝bn＋1．∴bn＋1－bn＝1，
又b1＝a1＝1．∴数列{bn}是首项为1，公差为1的等差数列．
（2）解：由（1）知，bn＝n，∴＝bn＝n．
∴an＝n·2n－1．∴Sn＝1＋2·21＋3·22＋…＋n·2n－1，①
∴2Sn＝1×21＋2·22＋…＋(n－1)·2n－1＋n·2n，②
①-②得：－Sn＝1＋21＋22＋…＋2n－1－n·2n
∴Sn＝(n－1)2n＋1．
【点睛】用错位相减法求和的注意事项
（1）要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；
（2）在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式；
（3）在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解．
28．（北京市延庆区2021届高三上学期统测）设是公比不为1的等比数列，，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：
（1）求的公比；
（2）求数列的前项和．
条件①：为，的等差中项；条件②：设数列的前项和为，．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
【答案】条件性选择见解析，（1）-2；（2）
【解析】选① （1）因为为的等差中项，所以，
所以 ， 因为，所以，所以，（舍），
选② （1）因为，所以，
因为，所以，所以 .
（2）由题得等比数列的首项，所以，
设数列的前项和为，
因为数列是以为首项，为公差的等差数列，
所以．
29．（江苏省连云港市赣榆智贤中学2020-2021学年高二上学期9月月考）已知等差数列的前项和为，等比数列的前项和为．若，，．
（1）求数列与的通项公式；
（2）求数列的前项和．
【答案】（1）（2）
【解析】（1）由，，
则，
设等差数列的公差为，则，
所以，所以，
设等比数列的公比为，由，，
解得，所以，
（2），
数列的前项和
．
30．（江苏省连云港市赣榆智贤中学2020-2021学年高二上学期9月月考）设数列的前项和为，已知．
（1）求的值；
（2）求证：数列是等比数列；
（3）求的通项公式．
【答案】（1）（2）证明见解析（3）
【解析】（1），
当时，；
当时，，；
当时，，解得
（2），①
当时，．②
①②得，
，．
，即，．
，，故是以4为首项，2为公比的等比数列．
（3），，，．
，，符合，．
31．（云南省石林彝族自治县民族中学2019-2020学年高一6月月考）已知为等差数列，且，．
（1）求的通项公式；
（2）若等比数列满足，，求数列的前项和公式．
【答案】（1）;（2）．
【解析】（1）设公差为，由已知得，
解得，∴.
（2），
等比数列的公比
利用公式得到和．
32．（江苏省盐城市伍佑中学2020-2021学年高二上学期期初调研考试）记为等差数列的前项和，已知．
（1）若，求的通项公式；
（2）若，求使得的的取值范围．
【答案】（1）（2）
【解析】（1）设的公差为．
由得．由得．
于是．因此的通项公式为．
（2）由得，故．
由知，故等价于，解得．
所以的取值范围是
33．（福建省莆田一中2019-2020学年高一（下）期中）已知等差数列满足，．
（1）求的通项公式；
（2）各项均为正数的等比数列中，，，求的前项和．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）设等差数列的公差为，
∵，，∴，解得，．
∴数列的通项公式．
（2）设各项均为正数的等比数列的公比为，
由（1）知，，，
∴，∴或（舍去），∴的前项和．
34．（海南省临高二中2021届高三上学期第一次月考）己知为等差数列的前项和，且．
（1）求数列的通项公式．
（2）若，求数列的前项和．
【答案】（1）（2）
【解析】（1）在等差数列中，，，
，解得，，即数列的通项公式．
（2），，．
35．（山东省2021届高三开学质量检测）已知数列的前项和为．
（1）求数列的通项公式；
（2）数列，表示不超过的最大整数，求的前1000项和．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）当时，，
当时，，
将代入上式验证显然适合，所以．
（2）因为，，，，
所以，所以．
36．（重庆市育才中学2021届高三上学期入学考试）已知各项都是正数的数列的前项和为，，．
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列满足：，求数列的前项和．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）依题意，，
当时，，解得；
当时，，，两式相减并化简得
，其中，
所以，即．
所以数列的通项是首项为，公差为的等差数列，所以．
（2）由（1）得，所以，
所以．
37．（河北省邯郸市2021届高三上学期摸底）已知数列满足，．
（1）求证数列为等差数列，并求数列的通项公式；
（2）设为数列的前项和，证明：．
【答案】（1）证明见解析；；（2）证明见解析．
【解析】（1）由题，两边同时除以，得，
又，∴是首项为，公差为的等差数列，
∴，∴．
（2）由（1）．
∴．
∵，∴，即．
38．（安徽省皖北名校2020-2021学年高二上学期第一次联考）已知数列的前项和为，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足，求数列的通项公式；
（3）在（2）的条件下，设，问是否存在实数使得数列是单调递增数列？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明你的理由．
【答案】（1）；（2）；（3）存在，．
【解析】（1）由，可得，解得，
当时，，化为，
所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，
所以数列的通项公式为．
（2）当时，，可得，
当时，由，①
有，②
①②， 可得，可得
由符合，故数列的通项公式为．
（3）由（2）有，
由时，，，
若使得数列是单调递增数列，
则，可得，
①当为大于或等于2的偶数时，，当且仅当时，；
②当为大于或等于3的奇数时，，当且仅当时，．
综上可得，的取值范围为．
39．（重庆市第八中学2020届高三下学期第五次月考（理））设数列的前n项和为，已知，，．
（1）求通项公式；
（2）设，数列的前n项和为，求证：．
【答案】（1）；（2）证明见解析．
【解析】（1）因为，，，
所以当时，，以上两式做差得：，即，，
由于，所以， ，
所以数列是等比数列，公比为，首项为，所以 ．
（2）结合（1）得，
所以数列的前n项和为
，
由于，所以，所以．
40．（新疆呼图壁县第一中学2019-2020学年高一下学期期末考试）已知数列满足：
（1）求，的值；
（2）求数列的通项公式；
（3）设，数列的前项和，求证：
【答案】（1）；；（2）；（3）证明见解析．
【解析】（1）由题意，，；
（2）∵，
∴，
两式相减得：，，也适用，
∴，；
（3）由（2），
∴
．
【点睛】本题考查求数列的通项公式，考查用裂项相消法求数列的和，解题方法是类比已知求的方法，此法中注意一般情况下两式相减求得的中，需验证是否适合此表达式．数列求和中除等差数列和等比数列的前项和公式外还要掌握几种特殊方法：错位相减法，裂项相消法，分组（并项）求和法，倒序相加法．
41．（江西省上饶市横峰中学（统招班）2020-2021学年高二上学期开学考试（文））已知正项等比数列满足，，数列满足．
（1）求数列的前项和；
（2）若，且对所有的正整数都有成立，求实数的取值范围．
【答案】（1），；（2）
【解析】（1）因为正项等比数列，，，
所以，解得或（舍），所以，
则，所以，
则，
，
，
，
所以，．
（2）由（1），，则，
所以，
所以当时，；当时，，
所以数列在时取得最大值为，
所以当时，有恒成立，即恒成立，
因为，当且仅当，即时等号成立，
所以，则．
42．（江西省上饶市横峰中学（统招班）2020-2021学年高二上学期开学考试（理））已知正项等比数列满足，，数列满足．
（1）求和；
（2）求数列的前项和；
（3）若，且对所有的正整数都有成立，求实数的取值范围．
【答案】（1），；（2），；（3）．
【解析】（1）正项等比数列的公比设为q，q>0，
，可得，解得q=2(−1舍去)，可得；
；
（2），
前n项和，
，
两式相减可得
，化简可得；
（3）若，且对所有的正整数n都有成立，
即为，设，
由，
可得，可得时，取得最大值，
，即为，
可得，当且仅当时，取得最大值，
则．
43．（吉林省长春市第二实验中学2020-2021学年高二第一学期开学考试）已知数列满足，（为常数，且）．
（1）证明：为等比数列；
（2）当时，求数列的前几项和最大？
（3）当时，设，数列的前项和为，若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）证明见解析；（2）前2项和最大；（3）．
【解析】（1）∵数列满足，（为常数，且），
∴，∴，
又，∴是以为首项，以为公比的等比数列．
（2）解：当时，是以为首项，以为公比的等比数列，
∴，∴，由 ，解得．
∴数列的前2项和最大．
（3）解：当时，∴是以为首项，以为公比的等比数列，
∴，，
∴数列的前项和：，
∵不等式对任意的恒成立，
∴对任意的恒成立，
设，由，
∴当时，，当时，，
∵，，∴，解得．∴实数的取值范围是．
44．（江苏省盐城市响水中学2020-2021学年高二上学期学情分析（一））已知数列是公差为正数的等差数列，其前项和为，且，．数列满足，．
（1）求数列和的通项公式；
（2）是否存在正整数，，使得，，成等差数列？若存在，求出，的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1），；（2）．
【解析】（1）设等差数列的首项为，公差为，
则，解得，；
，
，，……
当时，，以上式子相加可得
，
， ，
当时，，成立，；
（2）假设存在正整数，使得成等差数列，
则，，，，
，即，
化简得，
当时，即时，（舍），
当，即时，，符合题意，
存在正整数，，使得成等差数列．
45．（安徽省阜阳市太和第一中学2020-2021学年高三上学期开学摸底检测（理））已知数列的前n项和为，点在抛物线上．
（1）求；
（2）求数列的前n项和．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）因为点在抛物线上，
所以，所以．
当时，；当时
．
所以
（2）易求
当时，；
当时，
．
综上，
46．（江苏省泰州中学2020-2021学年高三上学期第一次月度检测）设数列的前项和为，点，均在函数的图象上．
（1）数列的通项公式；
（2）记数列的前项和为，若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）依题意得，即．当时，，
当时，，∴．
（2）∵，
∴，
又，∴，解得或，
故实数的取值范围为．
47．（四川省绵阳南山中学2020-2021学年高三上学期开学考试（零诊模拟）（理））已知数列的前项和为，且满足．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
【答案】（1），；（2）．
【解析】（1），令，解得，，，
两式相减，得，所以数列是以为首项，为公比的等比数列．
所以数列的通项公式为，
（2）由（1）知，，所以，
即，
∴
．
48．（天一大联考2020-2021学年高二年级阶段性测试（一）（理））设数列的前项和为，，且对任意正整数，点都在直线上．
（1）求的通项公式；
（2）若，求的前项和．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）由点在直线上，有，
当时，，
两式相减得，即，，
又当时，而，解得，满足，
即是首项，公比的等比数列，∴的通项公式为．
（2）由（1）知，，则
，
．
两式相减得，所以．
49．（河南省豫南九校2020-2021学年高二上学期第一次联考（9月）（文））已知数列为公比不为1的等比数列，且，，，成等差数列．
（1）求数列的通项公式和前项和；
（2）设数列满足，对任意的，．
（i）求数列的最大项；
（ii）是否存在等差数列，使得对任意，都有？若存在，求出所有符合题意的等差数列；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）（i）第二项最大为2；（ii）存在，．
【解析】（1）设数列的公比为()，，由于，，成等差数列，
则或（舍去），所以，．
（2）（i），，，
所以数列是以1为首项，5为公差的等差数列，
，显然，
令，即，
令，即
所以，故．
（ii）假设存在等差数列，使得对任意，都有， ，由（i）得，，
设的公差为，则，
若，单调递增，存在使得，但是，则不能恒成立，故不存在；
若，单调递减，而单调递增，则不能恒成立，故不存在；
若，又因为，，故．
所以存在等差数列满足题意．
50．（河南省豫南九校2020-2021学年高二上学期第一次联考（9月）（理））已知数列中，，且当，时满足．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，若对任意的，数列是单调递减数列，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）由已知得，∴数列当时为常数列，且各项为，
∴时，又∵，∴．
（2）由（1）知，，
若对意的，数列是单调递减数列，
则对任意的恒成立，即，
又，
因为函数在区间上单调递减，在上单调递增，
所以由对勾函数的性质可知，
当或时，取得最小值6，即取得最大值，
故实数的取值范围为．
【点睛】本题考查由递推关系求数列的通项公式，考查数列的单调性，求通项公式的解题关键是构造出新数列，新数列是等差数列或等比数列或常数数列，从而易得通项公式，单调性问题利用单调性的定义转化为不等式恒成立，从而可转化为求函数的最值．
51．（中学生标准学术能力诊断性测试2020-2021学年高三数学9月测试）已知数列中，，且（且）．
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列的前项和为，求满足的所有正整数的值．
【答案】（1）；（2）和．
【解析】（1），
，即，
由累加法可知，当时，
，
满足，因此，；
（2）令，其前项和为，用错位相减法求和，
，
两式相减得：
，
所以，则有．
记．
当时，；当时，；
当且为奇数，，，则；
当且为偶数，，
，则．
综上所述，不等式成立的为和．
52．（福建省厦门市双十中学2019-2020学年高一（下）期中）已知数列中，，，且．
（1）求、的值，
（2）设试用表示，并求的通项公式；
（3）设，求数列的前项和．
【答案】（1），；（2），，，；（3）．
【解析】（1）∵数列中，，，且
∴，，∴，·
（2）当时，，
∴当时，，故，，
累乘得，
∵，∴，．
（3）∵，
∴
·
53．（宁夏石嘴山市第三中学2020-2021学年高二上学期第一次月考）已知，数列{an}的首项，an＋1＝f(an)(n∈N*)．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设，数列{bn}的前n项和为Sn，求使Sn>2012的最小正整数n．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）依题可得，，
而，递推可知，，所以，，
即，因此数列是以为首项，为公差的等差数列，
，故的通项公式为．
（2）因为，所以
①，
②，①－②得，
，化简得．
由可得，，
易知当时不等式不成立，当时，关于递增，当时，，当时，，故满足的最小正整数为．
54．（江苏省盐城市伍佑中学2020-2021学年高二上学期期初调研考试）已知数列满足，且，．
（1）若，求数列的前项和；
（2）若，求数列的通项公式．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）当时，，即，
所以，数列是等差数列．
设数列公差为，则，解得
所以．
（2）由题意，，即，所以．
又，所以，
由，得，
所以，数列是以为首项，为公差的等差数列．
所以，当时，有，
于是，，，…
，，
叠加得，，
所以，
又当时，也适合．所以数列的通项公式为．
55．（安徽省六安中学2020-2021学年高三上学期开学考试（理））等差数列的前项和为，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足且，求的前n项和．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）设等差数列的公差为，
由题意可得，，解得，
所以．
（2）由（1）知，
则时，
，
又符合上式，∴，
故，
则前n项和
．
56．（贵州省思南中学2020-2021学年高二上学期第一次月考）已知数列满足，且
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1），时，有，
即，故，又时也适合该式，.
（2）因为，所以①
则②
①-②得，
．
57．（江苏省南京市金陵中学2020届高三下学期6月考前适应性训练）设数列的前n项和为，
（1）求证：数列是等比数列；
（2）若，是否存在q的某些取值，使数列中某一项能表示为另外三项之和？若能求出q的全部取值集合，若不能说明理由．
（3）若，是否存在，使数列中，某一项可以表示为另外三项之和？若存在指出q的一个取值，若不存在，说明理由．
【答案】（1）见详解；（2）不存在；（3）不存在
【解析】（1）n=1时，，
时，（n=1也符合）
，，即数列是等比数列．
（2）若则
可设，两边同除以得：
因为左边能被q整除，右边不能被q整除，因此满足条件的q不存在．
（3）若则
可设，，， 不成立．
58．（四川省内江市第六中学2020-2021学年高二上学期开学考试（理））已知等比数列的前n项和为，，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列为递增数列，数列满足，求数列的前n项和．
（3）在条件（2）下，若不等式对任意正整数n都成立，求的取值范围．
【答案】（1）当时： ；当时：；
（2）（3）
【解析】（1）
当时： ，当时：
（2）数列为递增数列，，


两式相加，化简得到

（3）

设 ，原式 （为奇数），
根据双勾函数知：或时有最大值．
时，原式 时，原式，故.
【点睛】本题考查了等比数列的通项公式，错位相减法求前N项和，恒成立问题，将恒成立问题转化为利用双勾函数求数列的最大值是解题的关键，此题综合性强，计算量大，意在考查学生对于数列公式方法的灵活运用．
59．（浙江省台州市书生中学2020-2021学年高二上学期起始考试）已知正项数列满足：，．
（1）求；
（2）证明：；
（3）设为数列的前n项和，证明：．
【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）证明见解析
【解析】（1）由题意可得，解得，或（舍去）；
（2）证明：由，可得，，
可得与，，与同号，而，则，
又，可得；
（3）证明：令，，，
由，可得，
当时，，
又，可得，即，
则，
，
即有，当时，成立，故成立．
60．（上海市上海交通大学附属中学2021届高三上学期开学摸底考试）已知数列（）的首项，前项和为，设与是常数，若对一切正整数，均有成立，则称此数列为“”数列．
（1）若等差数列是“”数列，求λ的值；
（2）若数列是“”数列，且，求数列的通项公式；
（3）对于给定的，是否存在三个不同的数列为“”数列，且？若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由．
【答案】（1）；（2）；（3）存在，．
【解析】（1）∵等差数列是“λ～1”数列，则，即，
也即，此式对一切正整数均成立，
若，则恒成立，∴，而，这与是等差数列矛盾，
∴．（此时，任意首项为1的等差数列都是“1～1”数列）
（2）∵数列是“”数列，
∴，即，
∵，∴，则，
令，则，即，
解得：，即，也即，∴数列是公比为4的等比数列，
∵，∴．时，，
∴
（3）设各项非负的数列为“”数列，
则，即，
∵，而，∴，则，
令，则，即．（*）
①若或，则（*）只有一解为，即符合条件的数列只有一个；（此数列为1，0，0，0，…）
②若，则（*）化为，
∵，∴，则（*）只有一解为，
即符合条件的数列只有一个；（此数列为1，0，0，0，…）
③若，则的两根分别在（0，1）与（1，+∞）内，
则方程（*）有两个大于或等于1的解：其中一个为1，另一个大于1（记此解为t），
∴或，由于数列从任何一项求其后一项均有两种不同结果，
∴这样的数列有无数多个，则对应的有无数多个；
综上：能存在三个各项非负的数列为“”数列，的取值范围是．
【点睛】本题考查数列新定义，解题是把新定义进行转化，本题就是转化为已知求，这样只要利用与的关系进行转化．考查了学生分析问题、解决问题的能力，转化与化归能力，本题属于难题．
61．（北京实验学校2020-2021学年高三9月月考）数列：满足：，或1（）．对任意，都存在，使得．，其中 且两两不相等．
（1）若．写出下列三个数列中所有符合题目条件的数列的序号；
①1，1，1，2，2，2;②1，1，1，1，2，2，2，2;③1，l，1，1，1，2，2，2，2
（2）记．若，证明：；
（3）若，求的最小值．
【答案】(1) ②③（2）见解析（3）的最小值为
【解析】（1）对于①，，对于，或，不满足要求；对于②，若，则，且彼此相异，若，则，且彼此相异，若，则，且彼此相异，故②符合题目条件；同理③也符合题目条件，故符合题目条件的数列的序号为②③．
注：只得到 ② 或只得到 ③ 给[ 1分]，有错解不给分．
（2）当时，设数列中出现频数依次为，由题意．
① 假设，则有（对任意），与已知矛盾，所以．同理可证：．
② 假设，则存在唯一的，使得．那么，对，有（两两不相等），与已知矛盾，所以．
综上：，，，所以．
（3）设出现频数依次为．同（2）的证明，可得：，，，┄，，，，则．
取得到的数列为：

下面证明满足题目要求．对，不妨令，
① 如果或，由于，所以符合条件；
② 如果或，由于，所以也成立；
③ 如果，则可选取；同样的，如果，
则可选取，使得，且两两不相等；
④ 如果，则可选取，注意到这种情况每个数最多被选取了一次，因此也成立．综上，对任意，总存在，使得，其中且两两不相等．因此满足题目要求，所以的最小值为．
【点睛】此类问题为组合最值问题，通常的做法是先找出变量的一个范围，再构造一个数列，使得前述范围的等号成立，这样就求出了最值．
62．（江西省乐平市第一中学2021届高三上学期联考（理））记首项为1的数列的前项和为，且，数列满足．
（1）求证：数列是等比数列；
（2）求满足成立的最小正整数的值．
【答案】（1）见解析；（2）1．
【解析】（1）当时，，又，则，
所以有，即，
又，，所以，解得，
所以 ，所以
，所以，
又，所以数列是以1为首项，公比为3的等比数列；
（2），
，
所以，
即，解得，
所以使得不等式成立的最小正整数k的值为1．