山西省吕梁市2020-2021学年高二下学期期末考试数学（文科）试卷 Word版含解析

2020-2021学年山西省吕梁市高二（下）期末数学试卷（文科）

一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）.

1．设i是虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（　　）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

2．已知集合，集合B＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，则A∩B＝（　　）

A．{﹣1，0，2} B．{﹣1，0，1，2} 

C．{﹣2，﹣1，0，1} D．{﹣2，﹣1，0，1，2}

3．已知集合A＝{y|y＝log2x，x＞1}，B＝{y|y＝，x＞1}，则A∩B＝（　　）

A． B．{y|0＜y＜1} C． D．∅

4．定义域为R的四个函数中y＝x3，，y＝2sinx，中，奇函数的个数是（　　）

A．4 B．3 C．2 D．1

5．给出下列说法：

①回归直线恒过样本点的中心（，）；

②相关系数r越小，表明两个变量相关性越弱；

③在回归直线方程中，当解释变量x增加一个单位时，预报变量平均减少05个单位；

④若所有样本点都在回归直线上，则这组样本数据的线性相关系数为1．

其中正确的说法有（　　）

A．①④ B．①③ C．③④ D．②③④

6．若a＝20.7，b＝logπ2.9，c＝log20.4，则（　　）

A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．b＞c＞a

7．将正偶数数列2，4，6，8，10……依次按一项，二项，三项分组如下：（2），（4，6），（8，10，12），（14），（16，18），（20，22，24）……称（2）为第1组，（4，6）为第2组，以此类推，则原数列中2020位于分组序列中的（　　）组

A．1010 B．1011 C．506 D．505

8．若关于x方程x2+（m﹣1）x+m2﹣2＝0的一个实根小于﹣1，另一个实根大于1，则实数m的取值范围是（　　）

A． B．（﹣2，0） C．（﹣2，1） D．（0，1）

9．函数的值域是（　　）

A．[1，+∞） B．（﹣∞，1] C．（﹣∞，0] D．[0，+∞）

10．设f（x）是定义域为R的奇函数，且f（1+x）＝f（﹣x）．若f（﹣）＝，则f（）＝（　　）

A．﹣ B．﹣ C． D．

11．函数f（x）＝（a＞0，且a≠1）值域是R，则实数a范围是（　　）

A．（0，） B．（0，] C．（0，1） D．[，1）

12．已知函数f（x）＝x2+m，，对任意x1∈[﹣1，3]，存在x2∈[﹣1，3]，使得f（x1）≥g（x2），则实数m的取值范围是（　　）

A．[﹣7，+∞） B．[2，+∞） C． D．

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．比较大小：　 　．

14．函数的定义域为R，则实数a的取值范围为 　                　．

15．具有线性相关关系的变量x，y，满足一组数据如表所示：

若y与x的回归直线方程为＝3x﹣，则m的值是　 　．

16．已知函数f（x）＝x4（a•3x﹣3﹣x）是奇函数，则a＝　 　．

三、解答题（本大题共5小题，共70分；第17-21小题每题12分，第22题为选做题，两道题目只选做一道，共10分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤

17．已知复数．

（1）当实数m取什么值时，复数z是实数；

（2）当实数m取什么值时，复数z是纯虚数；

（3）当实数m取什么值时，复数z＝2+5i．

18．某课外研究性学习小组为研究喜欢综艺节目与男女生性别的关系，统计了某高中的相关信息，其中被统计的学生中男生的人数与女生的人数相同，其中女生中不喜欢综艺节目的人数约占女生人数的，男生中不喜欢综艺节目的人数约占男生人数的，现设被统计的男生人数为5x．

（1）请完成下面2×2列联表：

（2）若研究得到有99%的把握认为喜欢综艺节目与性别有关，计算被统计的男生至少有多少人？

19．设函数f（x）＝mx2﹣mx﹣1，若对于x∈[1，2]，f（x）＜﹣m+4恒成立，求实数m的取值范围．

20．某商场在六一分别推出支付宝和微信扫码支付活动，活动设置了一段时间的推广期，由于推广期内使用扫码支付优惠力度较大，吸引越来越多的人开始使用扫码支付．统计了活动刚推出一周内每一天使用扫码支付的人次，用x表示活动推出的天数，y表示每天使用扫码支付的人次（单位：十人次），统计数据如表所示：

根据以上数据，绘制了如图所示的散点图．

（1）根据散点图判断，在推广期内，y＝a+bx与y＝c•dx（c，d均为大于零的常数）哪一个适宜作为扫码支付的人次y关于活动推出天数x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）；

（2）根据（1）的判断结果及下表中的数据，求y关于x的回归方程；

（3）预测活动推出第8天使用扫码支付的人次．

参考数据：其中ui＝lgyi，，．

21．已知函数f（x）＝ex﹣x2+lnx，g（x）＝2﹣ex﹣lnx．

（1）设曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为k1，曲线y＝g（x）在点（1，g（1））处的切线斜率为k2，求k1+k2的值；

（2）若h（x）＝f（x）+g（x），设曲线y＝h（x）在点（t，h（t））处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为S（t），求S（t）的最小值．

选做题（22A，22B中选做一题）A.[选修4-4：坐标系与参数方程]

22．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2（1+8sin2θ）＝9，点P的直角坐标为（0，2）．

（1）求直线l的普通方程及曲线C的参数方程；

（2）若a＝8，Q为曲线C上的动点，求Q到直线l的距离的最大值．

B.[选修4-5：不等式选讲]

23．已知函数f（x）＝|x+1|+|2x﹣1|．

（1）解不等式f（x）≤2；

（2）若f（x）≥2a2+2a对任意x∈R恒成立，求a的取值范围．

参考答案

一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）.

1．设i是虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（　　）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

解：＝i（1+i）＝﹣1+i，对应复平面上的点为（﹣1，1），在第二象限，

故选：B．

2．已知集合，集合B＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，则A∩B＝（　　）

A．{﹣1，0，2} B．{﹣1，0，1，2} 

C．{﹣2，﹣1，0，1} D．{﹣2，﹣1，0，1，2}

解：∵A＝{x|x2+3x+2≥0}＝{x|x≤﹣2或x≥﹣1}，B＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，

∴A∩B＝{﹣2，﹣1，0，1，2}．

故选：D．

3．已知集合A＝{y|y＝log2x，x＞1}，B＝{y|y＝，x＞1}，则A∩B＝（　　）

A． B．{y|0＜y＜1} C． D．∅

解：由题意可得：，∴．

故选：A．

4．定义域为R的四个函数中y＝x3，，y＝2sinx，中，奇函数的个数是（　　）

A．4 B．3 C．2 D．1

解：y＝x3的定义域为R，为奇函数，

的定义域为[0，+∞），为非奇非偶函数，

y＝2sinx的定义域为R，为奇函数，

的定义域为R，f（﹣x）＝＝f（x），则f（x）是偶函数，不满足条件．

故奇函数的个数是2个，

故选：C．

5．给出下列说法：

①回归直线恒过样本点的中心（，）；

②相关系数r越小，表明两个变量相关性越弱；

③在回归直线方程中，当解释变量x增加一个单位时，预报变量平均减少05个单位；

④若所有样本点都在回归直线上，则这组样本数据的线性相关系数为1．

其中正确的说法有（　　）

A．①④ B．①③ C．③④ D．②③④

解：①回归直线恒过样本点的中心（，），正确；

②相关系数r越小，表明两个变量相关性越强；故②错误；

③在回归直线方程中，当解释变量x增加一个单位时，预报变量平均减少0.5个单位，正确；

④若所有样本点都在回归直线上，则这组样本数据的线性相关系数为﹣1或1．故④错误，

故选：B．

6．若a＝20.7，b＝logπ2.9，c＝log20.4，则（　　）

A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．b＞c＞a

解：因为a＝20.7＞20＝1，0＜b＝log，

c＝log，

所以a＞b＞c，

故选：A．

7．将正偶数数列2，4，6，8，10……依次按一项，二项，三项分组如下：（2），（4，6），（8，10，12），（14），（16，18），（20，22，24）……称（2）为第1组，（4，6）为第2组，以此类推，则原数列中2020位于分组序列中的（　　）组

A．1010 B．1011 C．506 D．505

解：由题可得，每3组共6个偶数为一大组，其中第一小组1个数，第二小组2个数，第三小组3个数，

因为2020为第1010个偶数，且1010＝168×6+3，

故2020在第168大组的第二小组内，即2020位于分组序列中的第168×3+2＝506组中，

故选：C．

8．若关于x方程x2+（m﹣1）x+m2﹣2＝0的一个实根小于﹣1，另一个实根大于1，则实数m的取值范围是（　　）

A． B．（﹣2，0） C．（﹣2，1） D．（0，1）

解：令f（x）＝x2+（m﹣1）x+m2﹣2，则由题意可得，

求得 0＜m＜1，

故选：D．

9．函数的值域是（　　）

A．[1，+∞） B．（﹣∞，1] C．（﹣∞，0] D．[0，+∞）

解：∵当x＞1时，函数 y＝＝，且（x﹣2）2≥0，x﹣1＞0，

∴y≥0，即函数的值域为[0，+∞），

故选：D．

10．设f（x）是定义域为R的奇函数，且f（1+x）＝f（﹣x）．若f（﹣）＝，则f（）＝（　　）

A．﹣ B．﹣ C． D．

解：由题意得f（﹣x）＝﹣f（x），

又f（1+x）＝f（﹣x）＝﹣f（x），

所以f（2+x）＝f（x），

又f（﹣）＝，

则f（）＝f（2﹣）＝f（﹣）＝．

故选：C．

11．函数f（x）＝（a＞0，且a≠1）值域是R，则实数a范围是（　　）

A．（0，） B．（0，] C．（0，1） D．[，1）

解：当x≤时，f（x）＝（）单调递减，∴f（x）≥f（）＝（）﹣1＝2，

当a＞1时，显然f（x）在（，+∞）上是增函数，与f（x）的值域为R矛盾，不符合题意；

∴0＜a＜1，∴f（x）在（，+∞）上是减函数，∴loga≥2，解得≤a＜1．

故选：D．

12．已知函数f（x）＝x2+m，，对任意x1∈[﹣1，3]，存在x2∈[﹣1，3]，使得f（x1）≥g（x2），则实数m的取值范围是（　　）

A．[﹣7，+∞） B．[2，+∞） C． D．

解：x1∈[﹣1，3]时，f（x1）＝x12+m，

f′（x1）＝2x1，令f′（x1）＝0，解得：x1＝0，

故f（x1）在[﹣1，0）递减，在[0，3]递增，

所以g（0）≤f（x1）≤f（3），即m≤f（x1）≤m+9，

所以f（x1）值域为[m，m+9]，

x2∈[﹣1，3]时，g（x2）＝（）x2是减函数，

所以g（3）≤g（x2）≤g（﹣1），即≤g（x2）≤2，

所以g（x2）的值域为[，2]；

根据题意可得 f（x1）min≥g（x2）min，

所以m≥，

故实数m的取值范围是[，+∞），

故选：C．

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．比较大小：　＜　．

解：∵＝13+2，＝13+2，

∴＜，∴+＜+，

∴﹣＜﹣．

故答案为：＜．

14．函数的定义域为R，则实数a的取值范围为 　[0，）　．

解：∵函数的定义域为R，∴ax2﹣4ax+2＞0恒成立，

∴a＝0，或，

求得a＝0，或0＜a＜．

综合，可得实数a的取值范围为[0，），

故答案为：[0，）．

15．具有线性相关关系的变量x，y，满足一组数据如表所示：

若y与x的回归直线方程为＝3x﹣，则m的值是　4　．

解：由题意，＝1.5，＝，

∴样本中心点是坐标为（1.5，），

∵回归直线必过样本中心点，y与x的回归直线方程为＝3x﹣，

∴＝3×1.5﹣1.5，

∴m＝4

故答案为：4．

16．已知函数f（x）＝x4（a•3x﹣3﹣x）是奇函数，则a＝　1　．

解：∵f（x）是奇函数，

∴f（﹣1）＝﹣f（1），

即a﹣3＝﹣（3a﹣）＝﹣3a+，

得a＝，得a＝1，

故答案为：1

三、解答题（本大题共5小题，共70分；第17-21小题每题12分，第22题为选做题，两道题目只选做一道，共10分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤

17．已知复数．

（1）当实数m取什么值时，复数z是实数；

（2）当实数m取什么值时，复数z是纯虚数；

（3）当实数m取什么值时，复数z＝2+5i．

解：（1）对于复数，要使复数z是实数，

需，可得m＝4，即当m＝4时，复数z是实数．

（2）对于复数，要使复数z是纯虚数，

需 ，可得m＝1，即当m＝1时，复数z是纯虚数．

（3）对于复数，要使复数z＝2+5i，

需 ，可得m＝﹣1，即当m＝﹣1时，复数z＝2+5i．

18．某课外研究性学习小组为研究喜欢综艺节目与男女生性别的关系，统计了某高中的相关信息，其中被统计的学生中男生的人数与女生的人数相同，其中女生中不喜欢综艺节目的人数约占女生人数的，男生中不喜欢综艺节目的人数约占男生人数的，现设被统计的男生人数为5x．

（1）请完成下面2×2列联表：

（2）若研究得到有99%的把握认为喜欢综艺节目与性别有关，计算被统计的男生至少有多少人？

解：（1）被统计的男生的人数与女生的人数相同，

女生且不喜欢综艺节目的人数约占，男生且不喜欢综艺的人数约占，

由被统计的男生的人员人数为5x，

填写2×2列联表如下：

（2）∵，

又∵有99%的把握认为喜欢综艺节目与性别有关，

∴，即5x≥19.905，

故被统计的男生的人员人数至少为20人．

19．设函数f（x）＝mx2﹣mx﹣1，若对于x∈[1，2]，f（x）＜﹣m+4恒成立，求实数m的取值范围．

解：函数f（x）＝mx2﹣mx﹣1，

若对于x∈[1，2]，f（x）＜﹣m+4，

即mx2﹣mx+m﹣5＜0对于x∈[1，2]恒成立，

令g（x）＝mx2﹣mx+m﹣5，

当m＝0时，﹣5＜0恒成立；

当m＜0时，g（x）在[1，2]递减，可得g（x）max＝g（1）＝m﹣5＜0，解得m＜5，

则m＜0；

当m＞0时，g（x）在[1，2]递增，可得g（x）max＝g（2）＝4m﹣2m﹣1+m﹣4＜0，

解得0＜m＜．

综上所述，实数m的取值范围为（﹣∞，）．

20．某商场在六一分别推出支付宝和微信扫码支付活动，活动设置了一段时间的推广期，由于推广期内使用扫码支付优惠力度较大，吸引越来越多的人开始使用扫码支付．统计了活动刚推出一周内每一天使用扫码支付的人次，用x表示活动推出的天数，y表示每天使用扫码支付的人次（单位：十人次），统计数据如表所示：

根据以上数据，绘制了如图所示的散点图．

（1）根据散点图判断，在推广期内，y＝a+bx与y＝c•dx（c，d均为大于零的常数）哪一个适宜作为扫码支付的人次y关于活动推出天数x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）；

（2）根据（1）的判断结果及下表中的数据，求y关于x的回归方程；

（3）预测活动推出第8天使用扫码支付的人次．

参考数据：其中ui＝lgyi，，．

解：（1）根据散点图中点的走势，y＝c⋅dx适宜作为扫码支付的人数y关于活动推出天数x的回归方程类型．

（2）∵y＝c⋅dx，

两边同时取常用对数得，lgy＝lg（c⋅dx）＝lgc+lgd⋅x，

设lgy＝u，

∴u＝lgc+lgd⋅x，

∵，，，，

∴，

把样本中心点（4，1.54）代入u＝lgc+lgd⋅x，可得lgc＝0.54，

∴lgy＝0.54+0.25x，

∴y关于x的回归方程式为．

（3）把x＝8代入上式可得，，

活动推出第8天使用扫码支付的人次为347人次．

21．已知函数f（x）＝ex﹣x2+lnx，g（x）＝2﹣ex﹣lnx．

（1）设曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为k1，曲线y＝g（x）在点（1，g（1））处的切线斜率为k2，求k1+k2的值；

（2）若h（x）＝f（x）+g（x），设曲线y＝h（x）在点（t，h（t））处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为S（t），求S（t）的最小值．

解：（1）因为f（x）＝ex﹣x2+lnx，所以f'（x）＝ex﹣2x+，故k1＝f'（1）＝e﹣1，

又因为g（x）＝2﹣ex﹣lnx，所以g'（x）＝﹣ex﹣，故k2＝g'（1）＝﹣e﹣1，

所以k1+k2＝﹣2；

（2）h（x）＝f（x）+g（x）＝2﹣x2，（x＞0），h'（x）＝﹣2x，又点（t，h（t））为（t，2﹣t2），

所以y＝h（x）在点（t，2﹣t2）处得切线方程为y﹣（2﹣t2）＝﹣2t（x﹣t），

故当x＝0时，y＝t2+2，当y＝0时，x＝，

所以S（t）＝＝（t＞0），

所以S（t）＝，

又S'（t）＝＝＝，

由S'（t）＞0得t＞，由S'（t）＜0得0＜t＜，

所以S（t）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，

所以当t＝时，S（t）取得极小值，也是最小值S（）＝，

故所求最小值为．

选做题（22A，22B中选做一题）A.[选修4-4：坐标系与参数方程]

22．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2（1+8sin2θ）＝9，点P的直角坐标为（0，2）．

（1）求直线l的普通方程及曲线C的参数方程；

（2）若a＝8，Q为曲线C上的动点，求Q到直线l的距离的最大值．

解：（1）直线l的参数方程为（t为参数），消去参数得到普通方程为：x+4y﹣a﹣4＝0．

曲线C的极坐标方程为ρ2（1+8sin2θ）＝9，根据，转换为直角坐标方程为x2+9y2＝9，

整理得：，转换为参数方程为（θ为参数）．

（2）由于a＝8，

故直线方程转换为x+4y﹣12＝0，

所以设曲线上点Q（3cosθ，sinθ），

利用点到直线的距离公式的应用d＝＝（cos，sin），

当点Q（）时，点Q到直线的最大距离d＝．

B.[选修4-5：不等式选讲]

23．已知函数f（x）＝|x+1|+|2x﹣1|．

（1）解不等式f（x）≤2；

（2）若f（x）≥2a2+2a对任意x∈R恒成立，求a的取值范围．

解：（1）当x≤﹣1时，不等式化简为﹣3x≤2，解得，无解．

当时，不等式化简为2﹣x≤2，解得，

当时，不等式化简为3x≤2，解得，

综上，不等式的解集为．

（2），所以f（x）在上递减，在上递增，当时，有最小值．

故条件等价于，整理得4a2+4a﹣3≤0，解得，

所以a的取值范围是．