人教版九年级上册24.4 弧长及扇形的面积同步测试题

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24.4弧长和扇形面积课后培优练培优第一阶——基础过关练一、单选题1．在半径为6的圆中，120°的圆心角所对的弧长是（　 　）A．3π B．4π C．6π D．12π【答案】B【详解】解：根据弧长的公式l，得到：l4π．故选：B．2．如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径cm，扇形的圆心角为120°，则该圆锥的母线l长为（         ）．A．4cm B．5cm C．6cm D．8cm【答案】C【详解】解：根据题意得：，解得：l＝6，即该圆锥母线l的长为6．故选：C．3．如图，圆锥的底面半径OB＝3cm，高OC＝4cm．则这个圆锥的侧面积是(      )A．15cm2 B．12πcm2 C．15πcm2 D．20πcm2【答案】A【详解】解∶根据题意得：，∴这个圆锥的侧面积是．故选：A4．如图，△ABC中，AB=2，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AB1C1，AB1恰好经过点C．则阴影部分的面积为（        ）A． B． C． D．【答案】A【详解】由旋转得：∠B1AB＝60°，∵，∴＝＝．故选：A．5．将一个圆心角为120°，半径为6的扇形围成一个圆锥的侧面，则该圆锥底面圆的半径为（         ）A．2 B．6 C．6 D．18【答案】A【详解】解：设该圆锥底面圆的半径为，根据题意得，解得，即该圆锥底面圆的半径为2．故选：A．6．圆锥的底面圆半径是1，母线长是3，它的侧面展开图的圆心角是（        ）A．90° B．100° C．120° D．150°【答案】C【详解】解：设这个圆锥的侧面展开图的圆心角是，由题意得：，解得，则这个圆锥的侧面展开图的圆心角是，故选：C．二、填空题7．已知圆心角为的扇形面积为，则扇形的半径为______．【答案】8【详解】解：根据S＝ ，可得：24π＝，解得：r＝8．故答案为：8．8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AC＝12，以边AC所在直线为轴将Rt△ABC旋转一周得到一个圆锥，则这个圆锥的侧面积是__________．【答案】65π【详解】解：由已知得，母线长AB=13，半径r为5，∴圆锥的侧面积==65π，故答案为：65π．9．若一个扇形的圆心角是60°，半径为6，则该扇形的面积为__________．【答案】【详解】解：该扇形的面积是：．故答案是：6π．10．已知圆锥的侧面积是8π，底面半径是2，则圆锥的母线长是_________．【答案】4【详解】解：设母线长为R，∵底面半径是2，∴底面周长=2×2π=4π，∵圆锥的侧面积是8π，∴，解得：R=4．故答案为：4三、解答题11．如图，已知扇形AOB的圆心角为120°，半径OA为6cm．求扇形AOB的弧长和面积．【答案】弧长为4πcm；扇形面积为12πcm2．【详解】解：由题意可知：扇形AOB的弧长（cm）；扇形AOB的扇形面积（cm2）．12．求下列图形中阴影部分的面积．【答案】①；②26【详解】①∵△ABC为直角三角形，且，，，∴，∴；②∵△ABC为直角三角形，且，，，∴，∴．13．如图，正方形的边长为4，以点为圆心，为半径画圆弧得到扇形（阴影部分，点在对角线上）．若扇形正好是一个圆锥的侧面展开图，求圆锥的底面圆的半径．【答案】【详解】解：∵正方形的边长为4∴∵是正方形的对角线∴∴∴圆锥底面周长为，解得∴该圆锥的底面圆的半径是培优第二阶——拓展培优练一、单选题(共0分)1．如图，从一张腰长为90cm，顶角为120°的等腰三角形铁皮OAB中剪出一个最大的扇形OCD，用此剪下的扇形铁皮围成一个圆锥的侧面（不计损耗），则该圆锥的底面圆的半径为（　 　）cm．A．15 B．30 C．45 D．30π【答案】A【详解】如图，过点O作OE⊥AB，垂足为E，∵△OAB为顶角为120°的等腰三角形，∴=30°，cm，∴cm，设圆锥的底面圆半径为rcm，根据题意得，，解得，所以该圆锥的底面圆的半径为15cm，故选A．2．如图，圆锥的底面圆半径r为5cm，高h为12cm，则圆锥的侧面积为（            ）A．cm2 B．cm2 C．cm2 D．cm2【答案】A【详解】解：由圆锥底面半径r=5cm，高h=12cm，根据勾股定理得到母线长l==13（cm），根据圆锥的侧面积公式：πrl=π×5×13=65π（cm2），故选：A．3．如图，边长为2的菱形ABCD绕点A旋转，当B、C两点恰好落在扇形AEF的EF上时，弧BC的长度等于（        ）A． B． C． D．【答案】B【详解】解：连接AC，∵菱形ABCD中，AB=BC，又AC=AB，∴AB=BC=AC，即△ABC是等边三角形．∴∠BAC=60°，又∵AB=2，∴故选B．4．如图，把半径为3的⊙O沿弦AB，AC折叠，使和都经过圆心O，则阴影部分的面积为（        ）．A． B． C． D．【答案】C【详解】如图，连接OA，OB，OC，并做O点关于AC的对称点D点，连接OD，叫AC于点E．∵OA=OB=OC，∴，∴，∵O点、D点关于AC的对称，∴OE=DE=1，∴OE=OA=OC，∴∠OCE=∠OAE =30°∴∠AOC=120°同理可得∠AOB=120°，∴∠BOC=120°，∴，故选C．5．如图，过⊙O外一点P作圆的两条切线PA，PB，切点为A，B，过PA上一点Q作切线QC交PB于T，切点为C，且QC⊥PA，若BT＝2，∠TOQ＝75°，则阴影部分的面积为（　 　）A． B． C． D．【答案】A【详解】解：连接OC．∵PA，QC 是⊙O的切线，∴∠A＝∠QCO＝90°，∵CQ⊥PA，∴∠QCO＝90°，∴四边形AOCQ是矩形，∵OA＝OC，∴四边形AOCQ是正方形，∴∠QOC＝45°，∵∠QOT＝75°，∴∠COT＝30°，∵TC，TB是⊙O的切线，∴∠OBT＝∠OCT＝90°，∠COT＝∠BOT＝30°，在Rt△OBT中，∠BOT＝30°，BT＝2，∴OBBT＝2，∴S阴＝2S△OBT﹣S扇形OBC＝22×242π．故选：A．6．如图，在平面直角坐标系中， ，以点A为圆心，OA长为半径作圆，交x轴正半轴于点C，点D为上一动点，连接BD，以BD为边，在直线BD的上方作正方形BDEF，若点D从点O出发，按顺时针方向以每秒个单位长度的速度在上运动，则第2022秒结束时，点F的坐标为（        ）A． B． C． D．【答案】A【详解】解：∵，∴，∴的周长为．，，∴第2022秒结束时和第6秒结束时，点D的位置相同，正方形BDEF的位置相同．∵ ，∴点D在x轴下方的圆弧上，且的长为．连接AD，过点F作x轴的垂线，垂足为G，如下图所示．设，则，∴ ．即．∵ ，∴ ．又∵，∴．又∵∴ ．∴．∴，∴点F的坐标为，故选A．二、填空题(共0分)7．如图，点P为⊙O外一点，PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，，若⊙O半径为3，则图中阴影部分的面积为__________（结果保留π）【答案】【详解】解：如图，连接，分别与相切于点，，又，四边形是正方形，，则图中阴影部分的面积为，故答案为：．8．如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，先将沿BC翻折交AB于点D，再将沿AB翻折交BC于点E．若，AB＝4，则的长度为________．【答案】【详解】∵、、、所在的圆是等圆又∵、、所对的圆周角都是∴==        又∵=∴===       又∵ +++=∴=∴又∵AB是的直径∴所对的圆心角为         ∴的长=故答案为9．如图，矩形ABCD中，以A为圆心，AB的长为半径画圆，交CD于点E，再以D为圆心，DA的长为半径画圆，恰好经过点E．已知，，则图中阴影部分的面积为_________．【答案】2【详解】解：连接AE，由题意可知：阴影部分的面积＝△DAE的面积＋扇形EAB的面积−扇形EDA的面积，∵以A为圆心，AB的长为半径画圆，交CD于点E，，∴，∵以D为圆心，DA的长为半径画圆，恰好经过点E，，∴，∴△DAE是等腰直角三角形，∴∠DAE＝∠EAB＝45°，∴，故答案为：2．10．如图，四边形ABCD是边长为的正方形，曲线DA1B1C1D1A2 …是由多段90°的圆心角所对的弧组成的．其中，弧DA1的圆心为A，半径为AD；弧A1B1的圆心为B，半径为BA1；弧B1C1的圆心为C，半径为CB1；弧C1D1的圆心为D，半径为DC1…．弧DA1、弧A1B1、弧B1C1、弧C1D1…的圆心依次按点A、B、C、D循环，则弧C2022D2022的长是___________（结果保留π）．【答案】2022π【详解】根据题意有：的半径，的半径，的半径，的半径，的半径，的半径，的半径，的半径，．．．以此类推可知，故弧的半径为：，即弧的半径为：，即弧的长度为：，故答案为：．三、解答题(共0分)11．如图，在等腰中，，O和D为线段AC的三等分点，以O为圆心，线段OC的长为半径画圆．(1)求证：AB是圆O的切线；(2)若圆O的半径为1，求阴影部分面积是多少？【答案】(1)证明过程见详解；(2)．【解析】(1)证明：连接OB，如图，∵等腰△ABC中，∠A=30°，∴∠C=30°，∵OB=OC，∴∠OBC=∠C=30°，∴∠AOB=∠C+∠OBC=60°，∵∠OBA=180°-60°-30°=90°，∴OB⊥AB，∴AB是圆O的切线；(2)解：在Rt△OBA中，AB=OB=，∴阴影部分面积=S△AOB-S扇形OBD=•1•-．12．如图，在中，点A是边BE上一点，以AB为直径的与CE相切于点D，，点F为OC与的交点．(1)求证：CB是的切线；(2)连接DB与OC交于点G，，，求阴影部分面积．【答案】(1)证明见解析；(2)【解析】(1)连接OD，则OD=OA，∴∠DAO=∠ADO，，，，∵在△COD和△COB中，，∴∠CBO=∠CDO，∵CD是切线，∴OD⊥CD，∴∠CBO=∠CDO=90°，∴CB是的切线；(2)∵CD、CB都是圆O的切线，∴CD=CB，OC垂直平分DB，设圆O的半径为r，则OD=r，OG=OF-FG=r-2，∵OD2=OG2+DG2∴，解得r=4，∴OG=2，∴∠ODG=30°，∴∠COD=60°，∠DOB=2∠COD=120°，∵，∴，∴，∵S四边形CDOB，S扇形DOB，∴S阴影= S四边形CDOB- S扇形DOB=．13．如图，已知AB是⊙O直径，且AB＝8.C，D是⊙O上的点，OCBD，交AD于点E，连接BC，∠CBD＝30°．(1)求∠COA的度数．(2)求出CE的长度．(3)求出图中阴影部分的面积（结果保留π）．【答案】(1)60°；(2)2；(3)【解析】(1)解：∵OCBD，∴∠OCB＝∠CBD＝30°，∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠OBC＝30°，∴∠COA＝∠OCB＋∠OBC＝60°；(2)解：∵AB是⊙O直径，∴∠ADB＝90°，∵OCBD，∴∠AEO＝∠ADB＝90°，∵∠AOC＝60°，∴∠OAE＝30°，∴OEOA，∴CEOC2；(3)解：连接OD，∵∠CBD＝∠OBC＝30°，∴∠BOD＝60°，∵OB＝OD，∴△BOD是等边三角形，∴S阴影＝S扇形BOD﹣S△BODπ﹣4．培优第三阶——中考沙场点兵一、单选题1．（2022·山东济宁·中考真题）已知圆锥的母线长8cm，底面圆的直径6cm，则这个圆锥的侧面积是（    ）A．96πcm2 B．48πcm2 C．33πcm2 D．24πcm2【答案】D【详解】解：底面直径为6cm，则底面周长=6π，侧面面积=×6π×8=24πcm2．故选D．2．（2022·甘肃兰州·中考真题）如图1是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图2所示，它是以O为圆心，OA，OB长分别为半径，圆心角形成的扇面，若，，则阴影部分的面积为（        ）A． B． C． D．【答案】D【详解】解：S阴影=S扇形AOD-S扇形BOC====2.25π（m2）故选：D．3．（2022·广西柳州·中考真题）如图，圆锥底面圆的半径AB＝4，母线长AC＝12，则这个圆锥的侧面积为（　 　）A．16π B．24π C．48π D．96π【答案】C【详解】解：由题意可知：圆锥的侧面积为：，其中l是圆锥的母线，r是底圆的半径，．故选：C4．（2022·广西河池·中考真题）如图，在Rt△ABC中，，，，将绕点B顺时针旋转90°得到．在此旋转过程中所扫过的面积为(      )A．25π+24 B．5π+24 C．25π D．5π【答案】A【详解】解：∵，，，∴，∴所扫过的面积为．故选：A．5．（2022·内蒙古赤峰·中考真题）如图，是的直径，将弦绕点顺时针旋转得到，此时点的对应点落在上，延长，交于点，若，则图中阴影部分的面积为（        ）A． B． C． D．【答案】C【详解】解：如图，连接OE，OC，过点O作OF⊥CE于点F，则，由旋转得，∴∠，∵∠∴∠∴∠∴∠又∠∴∠∴∠∴∴∵∴∠∴∠∴故选：C．6．（2022·四川广安·中考真题）蒙古包可以近似地看作由圆锥和圆柱组成．下图是一个蒙古包的示意图，底面圆半径DE=2m，圆锥的高AC=1.5m，圆柱的高CD=2.5m，则下列说法错误的是（　 　）A．圆柱的底面积为4πm2 B．圆柱的侧面积为10πm2C．圆锥的母线AB长为2.25m D．圆锥的侧面积为5πm2【答案】C【详解】解：根据题意，∵底面圆半径DE=2m，∴圆柱的底面积为：；故A正确；圆柱的侧面积为：；故B正确；圆锥的母线为：；故C错误；圆锥的侧面积为：；故D正确；故选：C二、填空题7．（2022·江苏盐城·中考真题）如图，在矩形中，，将线段绕点按逆时针方向旋转，使得点落在边上的点处，线段扫过的面积为___________．【答案】【详解】解：∵矩形中，由旋转可知， ∵，∴∴线段AB扫过的面积故答案为：8．（2022·青海·中考真题）如图，从一个腰长为60cm，顶角为120°的等腰三角形铁皮OAB中剪出一个最大的扇形OCD，则此扇形的弧长为______cm.【答案】【详解】解：过O作OE⊥AB于E，∵OA=OB=60cm，∠AOB=120°，∴∠A=∠B=30°，∴OE=OA=30cm，∴弧CD的长=(cm)，故答案为：．9．（2022·湖北恩施·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，⊙O为Rt△ABC的内切圆，则图中阴影部分的面积为（结果保留π）________．【答案】-【详解】解：设切点分别为D、E、F，连接OD、OE、OF，∵⊙O为Rt△ABC的内切圆，∴AE=AF、BD=BF、CD=CE，OD⊥BC，OE⊥AC，∵∠C=90°，∴四边形CDOE为正方形，∴∠EOF+∠FOD=360°-90°=270°，设⊙O的半径为x，则CD=CE=x，AE=AF=4-x，BD=BF=3-x，∴4-x+3-x=5，解得x=1，∴S阴影=S△ABC-( S扇形EOF+ S扇形DOF)- S正方形CDOE=×3×4-×1×1=-．故答案为：-．10．（2022·山东聊城·中考真题）如图，线段，以AB为直径画半圆，圆心为，以为直径画半圆①；取的中点，以为直径画半圆②；取的中点，以为直径画半圆③…按照这样的规律画下去，大半圆内部依次画出的8个小半圆的弧长之和为______________．【答案】##【详解】解：∵， ∴，半圆①弧长为，同理，半圆②弧长为，，半圆③弧长为，……半圆⑧弧长为，∴8个小半圆的弧长之和为．故答案为：．三、解答题11．（2022·江苏宿迁·中考真题）如图，在中，∠ =45°，，以为直径的⊙与边交于点．(1)判断直线与⊙的位置关系，并说明理由；(2)若，求图中阴影部分的面积．【答案】(1)证明见解析；(2)【解析】(1)证明： ∠ =45°，， 即 在上，为的切线．(2)如图，记BC与的交点为M，连接OM， ， ， ， ，， ， ．12．（2022·浙江绍兴·中考真题）如图，半径为6的⊙O与Rt△ABC的边AB相切于点A，交边BC于点C，D，∠B=90°，连接OD，AD．(1)若∠ACB=20°，求的长（结果保留）．(2)求证：AD平分∠BDO．【答案】(1)；(2)见解析【解析】(1)解：连接OA，∵∠ACB＝20°，∴∠AOD＝40°，∴，．(2)证明：，，切于点，，，，，，平分．13．（2022·江苏泰州·中考真题）如图①，矩形ABCD与以EF为直径的半圆O在直线l的上方，线段AB与点E、F都在直线l上，且AB=7，EF=10，BC＞5. 点B以1个单位/秒的速度从点E处出发，沿射线EF方向运动矩形ABCD随之运动，运动时间为t秒(1)如图2，当t=2.5时，求半圆O在矩形ABCD内的弧的长度；(2)在点B运动的过程中，当 AD、BC都与半圆O相交，设这两个交点为G、H连接OG，OH.若∠GOH为直角，求此时t的值.【答案】(1)；(2)8或9秒【解析】(1)解：设BC与⊙O交于点M，如下图所示：当t=2.5时，BE=2.5，∵EF=10，∴OE=EF=5，∴OB=2.5，∴EB=OB，在正方形ABCD中，∠EBM=∠OBM=90°，且MB=MB，∴△MBE≌△MBO(SAS)，∴ME=MO，∴ME=EO=MO，∴△MOE是等边三角形，∴∠EOM=60°，∴．(2)解：连接GO和HO，如下图所示：∵∠GOH=90°，∴∠AOG+∠BOH=90°，∵∠AOG+∠AGO=90°，∴∠AGO=∠BOH，在△AGO和△OBH中，，∴△AGO≌△BOH(AAS)，∴AG=OB=BE-EO=t-5，∵AB=7，∴AE=BE-AB=t-7，∴AO=EO-AE=5-(t-7)=12-t，在Rt△AGO中，AG2+AO2=OG2，∴(t-5)2+(12-t)2=52，解得：t1=8，t2=9，即t的值为8或9秒．