初中数学人教版九年级上册第二十四章 圆24.4 弧长及扇形的面积优秀教案

这是一份初中数学人教版九年级上册第二十四章 圆24.4 弧长及扇形的面积优秀教案，共38页。教案主要包含了直接用弧长公式求扇形的弧长，扇形面积公式，圆锥的侧面积和表面积，移动的点的轨迹长度，用割补法求图形的面积，用等积变形法求图形的面积等内容，欢迎下载使用。

24.4 弧长和扇形面积





1．弧长公式


半径为R，圆心角为n°的弧长为 .


2．扇形及扇形面积公式


（1）由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫作_____________.


（2）半径为R，圆心角为n°的扇形面积为 ；半径为R，扇形的弧长为l的扇形面积为 .


3．圆锥与其侧面展开图


圆锥是由一个 面和一个 面围成的，我们把连接圆锥 点和底面圆周上 一点的线段叫作圆锥的母线．圆锥的侧面展开图是一个 ，这个扇形的半径等于圆锥的 ，弧长等于圆锥底面圆的 .


4．圆锥的侧面积和全面积


圆锥的侧面展开图是一个扇形.设圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，那么这个扇形的半径为l，扇形的弧长（底面圆的周长）为，因此圆锥的侧面积为，圆锥的全面积为.








1．


2．（1）扇形 （2）


3．底 侧 顶 任意 扇形 母线长 周长








一、直接用弧长公式求扇形的弧长、半径或圆心角


利用弧长公式进行计算的三种题型


弧长公式涉及三个量，分别为弧长l，半径R，圆心角n.对于这三个量，可以借助弧长公式知二求一.


如图，已知⊙O半径是4，在⊙O的内接四边形ABCD中，∠B=135°，则弧ABC的长为





A． B．


C． D．


【答案】B


【解析】连接OA，OC，


∵四边形是的内接四边形，


∴


由圆周角定理，得


∴弧ABC的长=，故选B.








二、扇形面积公式


（1））如果扇形的半径为R，圆心角为n°，那么扇形面积为.


（2）半径为R，扇形的弧长为l的扇形面积为.


已知扇形的弧长为cm，该弧所对圆心角为90°，则此扇形的面积为


A．36cm2 B．72cm2


C．36cm2 D．72cm2


【答案】A


【解析】设扇形的半径为r cm，由题意


∴r=12，


∴扇形的面积，


故选A.


三、圆锥的侧面积和表面积


与圆锥的侧面积计算相关的问题，关键就是要把握圆锥的“母线”和“底面圆的周长”以及展开扇形的“半径”和“弧长”之间的对应关系.


如图所示，把半径为4 cm的半圆围成一个圆锥的侧面，使半圆圆心为圆锥的顶点，那么这个圆锥的高是_______cm．(结果保留根号)





【答案】23


【解析】∵半径为4 cm的半圆围成一个圆锥的侧面,


∴圆锥的侧面展开图的弧长为4π cm,


∴圆锥的底面周长为4π cm,


∴圆锥底面的半径为4π÷2π=2 cm,


∴圆锥的高为:42-22=23 cm .





四、移动的点的轨迹长度


平面图形滚动问题的解题规律


（1）滚动前后图形的形状、大小不变，位置改变；


（2）图形滚动时不动的点是定点，移动的点是动点，滚动过程中动点经过的路线（轨迹）一般是一段圆弧，所形成的图形一般是扇形.


（3）解答平面图形滚动问题的关键是找到定点（所形成扇形的圆心）和动点，其中定点与动点之间的距离是所形成扇形的半径.


如图，一块边长为8 cm的正三角形木板ABC，在水平桌面上绕点B按顺时针方向旋转至A′BC′的位置时，顶点C从开始到结束所经过的路径长为(点A、B、C′在同一直线上)（ ）cm.





A．16π B．83π


C．643π D．163π


【答案】D


【解析】如图，∵一块边长为8 cm的正三角形木板ABC，在水平桌面上绕点B按顺时针方向旋转至A′BC′的位置，∴∠CBC′=120°，BC=8 cm，弧的长为120π×8180=163π（cm），


故选D．





五、用割补法求图形的面积


用割补法求图形的面积


根据图形的特点，通过“割补”将不规则图形转化为规则图形是用割补法求图形面积的关键.


如图，等边三角形内接于，若的半径为2，则图中阴影部分的面积等于





A．B．


C．D．


【答案】C


【解析】连接OC，如图，


为等边三角形，


，，


∴图中阴影部分的面积





故选：C．


【名师点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心也考查了等边三角形的性质．


六、用等积变形法求图形的面积


用等积变形法求图形的面积


根据两个图形的面积相等，把一个图形的面积转换为另一个图形的面积以便于解题的方法就是等积变形法.对于三角形来说，等积的主要依据是“同底（等底）等高（同高）的三角形的面积相等”.


（2019·铜仁市）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，BE是⊙O的直径，连接BF，延长BA，过F作FG⊥BA，垂足为G.


（1）求证：FG是⊙O的切线；


（2）已知FG＝2，求图中阴影部分的面积.





【答案】（1）见解析；（2）图中阴影部分的面积为.


【解析】（1）连接OF，AO，





∵AB＝AF＝EF，


∴，


∴∠ABF＝∠AFB＝∠EBF＝30°，


∵OB＝OF，


∴∠OBF＝∠BFO＝30°，


∴∠ABF＝∠OFB，


∴AB∥OF，


∵FG⊥BA，


∴OF⊥FG，


∴FG是⊙O的切线；


（2）∵，


∴∠AOF＝60°，


∵OA＝OF，


∴△AOF是等边三角形，


∴∠AFO＝60°，


∴∠AFG＝30°，


∵FG＝2，


∴AF＝4，


∴AO＝4，


∵AF∥BE，


∴S△ABF＝S△AOF，


∴图中阴影部分的面积＝.


【名师点睛】此题考查切线的判定，等边三角形的判定，扇形面积，解题关键在于利用等弧对等角.


七、混淆圆锥底面圆的半径和侧面展开扇形的半径致错


如图所示，扇形OAB的面积为4π cm2，∠AOB=90°，用这个扇形围成一个圆锥的侧面.求这个圆锥的底面圆的半径.





【易错提示】圆锥侧面展开扇形的半径是圆锥的母线，与圆锥底面圆的半径不是同一条线段.常因将侧面展开扇形的半径当成圆锥的底面圆的半径致错.


【正解】设圆锥的底面圆的半径为r cm，扇形的半径为R cm，


则，解得（取正值）.


∴，解得，


即这个圆锥的底面圆的半径为1 cm.








1．已知的扇形的圆心角为，半径长为，则该扇形的弧长为


A．B．


C．D．


2．如图所示的扇形是一个圆锥的侧面展开图，若∠AOB=，弧AB的长为12cm，则该圆锥的侧面积为





A．12B．56


C．108D．144


3．如图，在边长为2的正方形内部，以各边为直径画四个半圆，则图中阴影部分的面积是





A．2 B．π2


C．12 D．1


4．如图，ABC是等边三角形，AC=6，以点A为圆心，AB长为半径画弧DE，若∠1=∠2，则弧DE的长为





A．1π B．1.5π


C．2π D．3π


5．如图所示，圆锥底面的半径为5，母线长为20，一只蜘蛛从底面圆周上一点A出发沿圆锥的侧面爬行一周后回到点A的最短路程是





A．B．


C．D．


6．如图，内接于圆，，，若，则弧的长为





A．B．


C．D．


7．一个扇形的半径为，面积为，则此扇形的圆心角为________度．


8．已知圆锥的底面圆的半径为2 cm，母线长是4 cm，则圆锥的侧面积是________cm2（结果保留π）．


9．圆锥的底面积为25π，母线长为13 cm，这个圆锥的底面圆的半径为________ cm，高为________ cm，侧面积为________ cm2.


10．⊙A、⊙B、⊙C两两不相交，且半径都是0.5 cm，则图中的三个扇形(即阴影部分)的面积之和为________．





11．如图，在ABC中，AB＝AC，⊙O是ABC的外接圆，D为弧AC的中点，E是BA延长线上一点，∠DAE＝105°．


（1）求∠CAD的度数；


（2）若⊙O的半径为3，求弧BC的长.





















































12．如图,在半径为、圆心角为45º的扇形AOB内部作一个正方形CDEF，使点C在OA上，点D、E在OB上，点F在上．





（1）求正方形CDEF的边长；


（2）求阴影部分的面积.









































13．如图，正方形ABCD内接于圆O，AB＝4，则图中阴影部分的面积是





A．4π-16 B．8π-16


C．16π-32 D．32π-16


14．如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，∠BCD=30°，OA=2，则阴影部分的面积是





A．π3 B．2π3


C．π D．2π


15．如图，正方形ABCD内接于⊙O，⊙O的半径为2，以点A为圆心，以AC长为半径画弧交AB的延长线于点E，交AD的延长线于点F，则图中阴影部分的面积为





A．4π﹣4 B．4π﹣8


C．8π﹣4 D．8π﹣8


16．如图，已知⊙O的半径是2，点A、B、C在⊙O上，若四边形OABC为菱形，则图中阴影部分的面积为





A．23π﹣23 B．13π﹣3


C．43π﹣23 D．43π﹣3


17．如图，在△ABC中，∠ACB=90∘，∠A=30∘，AB=4，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点D，则CD⌢的长为





A．16π B．13π


C．23π D．233π


18．如图，扇形OAB中，∠AOB=100°，OA=12，C是OB的中点，CD⊥OB交于点D，以OC为半径的交OA于点E，则图中阴影部分的面积是





A．12π+183 B．12π+363


C．6π+183 D．6π+363


19．如图，在矩形ABCD中，以AD为直径的半圆与边BC相切于点E，若AD=4，则图中的阴影部分的面积为 ．





20．如图，圆锥侧面展开得到扇形，此扇形半径 CA=6，圆心角∠ACB=120°， 则此圆锥高 OC 的长度是_______．





21．用一块半径为4，圆心角为90°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则此圆锥的高为_____________．


22．如图，正六边形ABCDEF的边长为1，以点A为圆心，AB的长为半径，作扇形ABF，则图中阴影部分的面积为________________（结果保留根号和π）．





23．如图，在ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别与BC、AC交于点D、E，过点D作DF⊥AC于点F．


（1）若⊙O的半径为3，∠CDF=15°，求阴影部分的面积；


（2）求证：DF是⊙O的切线；


（3）求证：∠EDF=∠DAC．












































24．如图，AB为⊙O的直径，且AB=4，点C在半圆上，OC⊥AB，垂足为点O，P为半圆上任意一点，过P点作PE⊥OC于点E，设△OPE的内心为M，连接OM、PM．


（1）求∠OMP的度数；


（2）当点P在半圆上从点B运动到点A时，求内心M所经过的路径长．



































25．（2019·泰安市）如图，将沿弦折叠，恰好经过圆心，若的半径为3，则的长为





A．B．


C．D．


26．（2019·青岛市）如图，线段 AB 经过⊙O的圆心， AC ， BD 分别与⊙O 相切于点 C ，D ．若 AC =BD = 4 ，∠A=45°，则弧CD的长度为





A．πB．2π


C．2πD．4π


27．（2019·温州市）若扇形的圆心角为90°，半径为6，则该扇形的弧长为


A．B．


C．D．


28．（2019·枣庄市）如图，在边长为4的正方形中，以点为圆心，为半径画弧，交对角线于点，则图中阴影部分的面积是（结果保留）





A．B．


C．D．


29．（2019·资阳市）如图，直径为2 cm的圆在直线l上滚动一周，则圆所扫过的图形面积为





A．B．


C．D．


30．（2019·齐齐哈尔市）将圆心角为，半径为的扇形围成一个圆锥的侧面，那么围成的这个圆锥的高为_______．


31．（2019·哈尔滨市）一个扇形的弧长是，半径是，则此扇形的圆心角是________度.


32．（2019·江汉油田、潜江、天门、仙桃市）75°的圆心角所对的弧长是2.5cm，则此弧所在圆的半径是_________cm．


33．（2019·绥化市）用一个圆心角为的扇形作一个圆锥的侧面，若这个圆锥的底面半径恰好等于，则这个圆锥的母线长为_________．


34．（2019·烟台市）如图，分别以等边三角形的每个顶点以圆心、以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形称为勒洛三角形.若等边三角形的边长为，则勒洛三角形的周长为__________．





35．（2019·咸宁市）如图，半圆的直径点在半圆上，，则阴影部分的面积为_____（结果保留）．





36．（2019·十堰市）如图，为半圆的直径，且，将半圆绕点顺时针旋转，点旋转到点的位置，则图中阴影部分的面积为__________．





37．（2019·武威市、陇南市、庆阳市、平凉市、白银市、酒泉市、张掖市、临夏自治州）把半径为1的圆分割成四段相等的弧，再将这四段弧依次相连拼成如图所示的恒星图形，那么这个恒星图形的面积等于__________．





38．（2019·荆门市）如图，等边三角形的边长为2，以为圆心，1为半径作圆分别交，边于，，再以点为圆心，长为半径作圆交边于，连接，，那么图中阴影部分的面积为__________．





39．（2019·张家界市）如图，AB为的直径，且，点C是上的一动点(不与A，B重合)，过点B作的切线交AC的延长线于点D，点E是BD的中点，连接EC．


（1）求证：EC是的切线；


（2）当时，求阴影部分面积．





40．（2019·衡阳市）如图，点在半径为8的上，过点作，交延长线于点．连接，且．


（1）求证：是的切线；


（2）求图中阴影部分的面积．




















41．（2019·东营市）如图，是的直径，点是延长线上的一点，点在上，且AC=CD,．


（1）求证：是的切线；


（2）若的半径为，求图中阴影部分的面积．























42．（2019·邵阳市）如图，在等腰中，，AD是的角平分线，且，以点A为圆心，AD长为半径画弧EF，交AB于点E，交AC于点F．





（1）求由弧EF及线段FC、CB、BE围成图形（图中阴影部分）的面积；


（2）将阴影部分剪掉，余下扇形AEF，将扇形AEF围成一个圆锥的侧面，AE与AF正好重合，圆锥侧面无重叠，求这个圆锥的高h．




















1．【答案】B


【解析】根据弧长公式：l==3π，


故选B．


【名师点睛】此题主要考查了弧长计算，关键是掌握弧长公式l=．


2．【答案】C


【解析】设AO=BO=R，


∵∠AOB=120°，弧AB的长为12πcm，


∴=12π，


解得：R=18，


∴圆锥的侧面积为lR=×12π×18=108π，


故选C．


【名师点睛】本题考查了圆锥的计算，解题的关键是牢记圆锥的有关计算公式，难度不大．


3．【答案】D


【解析】如图所示，





S阴影=S△AOB=14S正方形=14×2×2=1．


故选D．


4．【答案】C


【解析】∵△ABC是等边三角形，AC=6，


∴AB=AC=6，∠CAB=60°．


∵∠1=∠2，


∴∠1+∠BAD=∠2+∠BAD，


∴∠CAB=∠DAE=60°，


∴弧DE的长为60π×6180=2π，


故选C．


5．【答案】D


【解析】圆锥的底面的圆周长=2π×5=10π，


设侧面展开图的圆心角的度数为n．


∴，


解得n=90，


圆锥的侧面展开图，如图所示：





∴最短路程为：=20，


故选D．


【名师点睛】求立体图形中两点之间的最短路线长，一般应放在平面内，构造直角三角形，求两点之间的线段的长度．用到的知识点为：圆锥的弧长等于底面圆的周长．


6．【答案】A


【解析】连接OB，OC．





∵∠A=180°-∠ABC-∠ACB=180°-65°-70°=45°，


∴∠BOC=90°，


∵BC=2，


∴OB=OC=2，


∴的长为=π，


故选A．


【名师点睛】本题考查圆周角定理，弧长公式，等腰直角三角形的性质的等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识.


7．【答案】


【解析】设这个扇形的圆心角是n°


由S扇形=得：=解得：n=，


故答案为.


【名师点睛】本题主要考查了扇形的面积的计算方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则S扇形=.


8．【答案】8π


【解析】底面圆的半径为2，则底面周长=4π，侧面面积=12×4π×4=8π cm2．故答案为：8π.


9．【答案】5，12，65π


【解析】设底面圆的半径是r,高是h，


∵S=，25π=，


r=5.


h=,


底面圆的周长是10，.


10．【答案】 cm2


【解析】∵三角形的内角和为180度，所以三个阴影扇形的圆心角的和为180°，由于它们的半径都为0.5cm，


∴.


故答案是.


11．【解析】（1）∵AB=AC，


∴，


∵D是的中点，


∴，


∴，


∴∠ACB=2∠ACD，


∵四边形ABCD内接于⊙O，


∴∠BCD=∠EAD=105°，


∴∠ACB+∠ACD=105°，即3∠ACD=105°，


∴∠CAD=∠ACD=35°.


（2）∵AB=AC，


∴∠ABC=∠ACB=70°，


∴∠BAC=40°，


连接OB，OC，则∠BOC=2∠BAC =80°，


∴的长为80×π×3180=43π.





12．【解析】（1）连接OF，设正方形的边长为a.





在中,


解得a=1.


答：正方形的边长为1；


（2）阴影部分的面积


13．【答案】B


【解析】连接OA、OB，





∵四边形ABCD是正方形，


∴∠AOB=90°，∠OAB=45°，


∴OA==4×22=22，


所以阴影部分的面积=S⊙O-S正方形ABCD=π×（22）2－4×4=8π－16．


故选B．


14．【答案】B


【解析】∵∠BCD=30°，


∴∠BOD=60°，


∵AB是⊙O的直径，CD是弦，OA=2，


∴阴影部分的面积是：60×π×22360=2π3，


故选B．


15．【答案】A


【解析】利用对称性可知：阴影部分的面积=扇形AEF的面积-△ABD的面积=90×π×42360-12×4×2=4π-4，


故选A．


16．【答案】C


【解析】连接OB和AC交于点D，如图所示：





∵圆O的半径为2，


∴OB=OA=OC=2，


又四边形OABC是菱形，


∴OB⊥AC，OD=12OB=1，


在Rt△COD中利用勾股定理可知：CD=22-12=3，AC=2CD=23，OD=1.


∴∠OCD=30°，即∠COD=60°，∠AOC=2∠COD=120°.


∴S菱形ABCO=12OB×AC=12×2×23=23，


S扇形AOC=120×π×22360=43π，


则图中阴影部分面积为S菱形ABCO﹣S扇形AOC=43π-23，


故选：C．


17．【答案】C


【解析】∵∠ACB=90∘，AB=4，∠A=30∘，


∴∠B=60∘，BC=2，


∴CD⌢的长为60π×2180=2π3，


故选C．


18．【答案】C


【解析】如图，连接OD，


∵点C为OB的中点，


∴OC=12OB=12OD，


∵CD⊥OB，


∴∠CDO=30°，∠DOC=60°，


根据勾股定理易知CD=63，


∴S扇形AOD=40·π·122360=16π，


∴S阴影=S扇形AOD+S△COD﹣S扇形COE


==183+6π，


故选C．





19．【答案】8﹣2π


【解析】∵半圆的直径AD=4，且与BC相切，


∴半径为2，AB=2，


∴图中的阴影部分的面积为4×2﹣12•π•22=8﹣2π，


故答案为：8﹣2π．


20．【答案】42


【解析】设圆锥底面圆的半径为 r，


∵AC=6，∠ACB=120°，


∴l=120×π×6180=2πr，


∴r=2，即：OA=2，


在 AOC 中，OA=2，AC=6，根据勾股定理得，OC=AC2-OA2=42，


故答案为：42．


21．【答案】15


【解析】设圆锥的底面圆的半径为r，


根据题意得2πr=90×π×4180，解得r=1，


所以此圆锥的高=42-12=15，


故答案为：15．


22．【答案】332﹣π3


【解析】正六边形的中心为点O，连接OD、OE，作OH⊥DE于H，





∠DOE=360°6=60°，


∴OD=OE=DE=1，


∴OH=32，


∴正六边形ABCDEF的面积=12×1×32×6=332，


∠A=6-2×180°6=120°，


∴扇形ABF的面积=120π×12360=π3，


∴图中阴影部分的面积=332-π3，


故答案为：332-π3．


23．【解析】（1）连接OE，过O作OM⊥AC于M，则∠AMO=90°，





∵DF⊥AC，


∴∠DFC=90°，


∵∠FDC=15°，


∴∠C=180°-90°-15°=75°，


∵AB=AC，


∴∠ABC=∠C=75°，


∴∠BAC=180°−∠ABC−∠C=30°，


∴OM=12OA=12×3=32，AM=3OM=332，


∵OA=OE，OM⊥AC，


∴AE=2AM=33，


∴∠BAC=∠AEO=30°，


∴∠AOE=180°-30°-30°=120°，


∴阴影部分的面积S=S扇形AOE-S△AOE=120π×32360-12×33×32=3π-943；


（2）连接OD，





∵AB=AC，OB=OD，


∴∠ABC=∠C，∠ABC=∠ODB，


∴∠ODB=∠C，


∴AC∥OD，


∵DF⊥AC，


∴DF⊥OD，


∵点D在上，


∴DF是⊙O的切线；


（3）连接BE，





∵AB为⊙O的直径，


∴∠AEB=90°，


∴BE⊥AC，


∵DF⊥AC，


∴BE∥DF，


∴∠FDC=∠EBC，


∵∠EBC=∠DAC，


∴∠FDC=∠DAC，


∵A、B、D、E四点共圆，


∴∠DEF=∠ABC，


∵∠ABC=∠C，


∴∠DEC=∠C，


∵DF⊥AC，


∴∠EDF=∠FDC，


∴∠EDF=∠DAC．


24．【解析】（1）∵△OPE的内心为M，


∴∠MOP=∠MOC，∠MPO=∠MPE，


∴∠PMO=180°﹣∠MPO﹣∠MOP=180°﹣12（∠EOP+∠OPE），


∵PE⊥OC，即∠PEO=90°，


∴∠PMO=180°﹣12（∠EOP+∠OPE）=180°﹣12（180°﹣90°）=135°.


（2）如图，∵OP=OC，OM=OM，


而∠MOP=∠MOC，


∴△OPM≌△OCM，


∴∠CMO=∠PMO=135°，


所以点M在以OC为弦，并且所对的圆周角为135°的两段劣弧上（OMC和ONC）；


点M在扇形BOC内时，


过C、M、O三点作⊙O′，连O′C，O′O，


在优弧CO取点D，连DA，DO，


∵∠CMO=135°，


∴∠CDO=180°﹣135°=45°，


∴∠CO′O=90°，而OA=4 cm，


∴O′O=22OC=22×4=22，


∴弧OMC的长=90π×22180=2π（cm），


同理：点M在扇形AOC内时，同①的方法得，弧ONC的长为2π cm，


所以内心M所经过的路径长为2×2π=22π cm．





25．【答案】C


【解析】根据题意作,垂足为C


沿弦折叠，恰好经过圆心，若的半径为3，


,，


圆心角，


的长为，


故选C.


26．【答案】B


【解析】连接OC、OD，





∵AC，BD分别与⊙O相切于点C，D．


∴OC⊥AC，OD⊥BD，


∵∠A=45°，


∴∠AOC=45°，


∴AC=OC=4，


∵AC=BD=4，OC=OD=4，


∴OD=BD，


∴∠BOD=45°，


∴，


∴的长度为：=2π，


故选B．


【名师点睛】本题考查了切线的性质，等腰直角三角形的判定和性质，弧长的计算等，证得∠COD=90°是解题的关键．


27．【答案】C


【解析】该扇形的弧长＝.故选C．


【名师点睛】本题考查了弧长的计算：弧长公式：（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R）．


28．【答案】C


【解析】，


故选C．


【名师点睛】本题考查扇形的面积的计算，正方形的性质等知识，解题的关键是学会用分割法求阴影部分面积．


29．【答案】A


【解析】圆所扫过的图形面积，故选A．


【名师点睛】本题考查了圆的面积的计算矩形的面积的计算，圆的周长的计算，中点圆所扫过的图形面积是圆的面积与矩形的面积和是解题的关键．


30．【答案】4


【解析】设圆锥的底面圆的半径为，


根据题意得，解得，


所以圆锥的高．


故答案为4．


【名师点睛】本题主要考查圆锥的展开图的性质，关键在于圆锥张开图的母线长和弧长相等.


31．【答案】110


【解析】根据题意，易得，


解得：，


故答案为110．


【名师点睛】本题考查了弧长的计算公式，熟练掌握公式，正确理解公式中每个字母所表示的含义是解题的关键.


32．【答案】6


【解析】由题意得：圆的半径．


故答案为6．


33．【答案】12


【解析】设这个圆锥的母线长为，


依题意，有，


解得：，


故答案为12.


【名师点睛】本题考查了圆锥的运算，正确把握圆锥侧面展开图的扇形的弧长与底面圆的周长间的关系是解题的关键.


34．【答案】


【解析】勒洛三角形的周长为3段相等的弧，每段弧的长度为：


则勒洛三角形的周长为


故答案为


35．【答案】


【解析】连接，作于点，





直径，点在半圆上，，


∴,


，





,


阴影部分的面积是： ，


故答案为.


【名师点睛】本题考查扇形面积的计算、圆周角定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．


36．【答案】6


【解析】由图可得，图中阴影部分的面积为： ，故答案为：．


【名师点睛】本题考查扇形面积的计算、旋转的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．


37．【答案】


【解析】如图：





新的正方形的边长为，


∴恒星的面积．


故答案为．


【名师点睛】本题考查了扇形面积的计算，关键是理解恒星的面积=边长为2的正方形面积−半径为1的圆的面积．


38．【答案】 .


【解析】过作于，于，





等边三角形的边长为2，，


，


，


，


，


图中阴影部分的面积





，


故答案为：．


【名师点睛】本题考查了扇形的面积的计算，等边三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．


39．【答案】（1）证明见解析；（2）阴影部分面积为．


【解析】（1）如图，连接BC，OC，OE，


AB为的直径，


，





在中，，


，


，，


，


，


BD是的切线，


，


，


OC为半径，


EC是的切线；


（2），，


，


，


，


，，


，


，


，


．


四边形OBEC的面积为，


阴影部分面积为．


【名师点睛】本题考查了切线的判定与性质，扇形的面积，熟练掌握相关知识是解题的关键.


40．【答案】（1）见解析；（2）.


【解析】（1）连接，交于，





∵，，


∴，


∵，


∴，


即，


∵，


∴，


∴是的切线；


（2）∵，∴，


∵，


∴，


∴．


41．【答案】（1）见解析；（2）.


【解析】（1）连接．





，


. ．


，


．


．即，


是的切线．


（2），


，


在中，易求得，


，


，


图中阴影部分的面积．


【名师点睛】本题考查圆周角定理、等腰三角形的性质和扇形面积公式，解题的关键是掌握圆周角定理、等腰三角形的性质和扇形面积公式.


42．【答案】（1）；（2）.


【解析】∵在等腰中，，


∴，


∵AD是的角平分线，


∴，，


∴，


∴，


∴由弧EF及线段FC、CB、BE围成图形（图中阴影部分）的面积.


（2）设圆锥的底面圆的半径为r，


根据题意得，解得，


这个圆锥的高．


【名师点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了等腰三角形的性质和扇形的面积公式．帮—重点
弧长公式、扇形及扇形面积公式
帮—难点
圆锥及其侧面积和全面积
帮—易错
对弧长公式及扇形面积公式中n的意义理解不充分致错