2021高考数学考点专项突破直线的方程以及直线与圆的位置关系含解析

直线的方程以及直线与圆的位置关系

一、单选题

1、直线y＝k(x－2)＋3必过定点，该定点坐标是(　　)

A．(－2，3)　　　　　　B．(2，3)        C．(3，－2)       D．(3，2)

【答案】B

【解析】将直线方程化为点斜式得y－3＝k(x－2)，所以该直线过定点(2，3)，选B.

2、已知过点A(－2，m)和B(m，4)的直线与直线2x＋y－1＝0平行，则m的值为(　　)

A．0   B．－8

C．2   D．10

【答案】C

【解析】过点，的直线与直线平行，

，解得，故选：C．

3、过点且与直线垂直的直线方程为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】设要求的直线方程为，把点（2，1）代入可得4+3+m=0，解得m=-7．

可得要求的直线方程为.

故选B．

4、圆截直线所得的弦长为，则（    ）

A． B． C． D．2

【答案】A

【解析】圆,即

则由垂径定理可得点到直线距离为

根据点到直线距离公式可知,化简可得 ,解得,故选:A

5、已知圆与轴的正半轴相切于点，圆心在直线上，若点在直线的左上方且到该直线的距离等于，则圆的标准方程为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】圆的圆心在直线上，可设，

圆与轴正半轴相切与点，且圆的半径，.

到直线的距离，，解得：或，

或，

在直线的左上方，，，，

圆的标准方程为：,故选.

6、（2020年高考全国Ⅱ卷理数）若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线的距离为（    ）

A．  B． 

C．  D．

【答案】B

【解析】由于圆上的点在第一象限，若圆心不在第一象限，

则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必在第一象限，

设圆心的坐标为，则圆的半径为，

圆的标准方程为.

由题意可得，

可得，解得或，

所以圆心的坐标为或，

圆心到直线的距离均为；

圆心到直线的距离均为

圆心到直线的距离均为；

所以，圆心到直线的距离为.

故选：B．

7、（2018年高考北京卷理数）在平面直角坐标系中，记d为点P（cos θ，sin θ）到直线的距离，当θ，m变化时，d的最大值为（    ）

A．1             B．2

C．3             D．4

【答案】C

【解析】P为单位圆上一点，而直线过点A（2，0），所以d的最大值为OA+1=2+1=3,故选C.

8、（2020届清华大学附属中学高三第一学期12月月考）已知直线与圆：相交于，两点，若为正三角形，则实数的值为（   ）

A． B．

C．或 D．或

【答案】D

【解析】

 由题意得，圆的圆心坐标为，半径.

因为为正三角形，则圆心到直线的距离为，

 即，解得或，故选D.

9、（2020届山东省九校高三上学期联考）已知点在圆上，且，则点的横坐标为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】由题设点，点在圆上，，，

，.

故选：A

10、（2020年高考北京）已知半径为1的圆经过点，则其圆心到原点的距离的最小值为（    ）

A． 4  B． 5 

C． 6  D． 7

【答案】A

【解析】设圆心，则，

化简得，

所以圆心的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，

所以，所以，

当且仅当在线段上时取得等号，

故选：A．

11、（2018年高考全国Ⅲ卷理数）直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是（    ）

A．        B．

C．       D．

【答案】A

【解析】直线分别与轴，轴交于，两点，,则.

点P在圆上，圆心为（2，0），则圆心到直线的距离.

故点P到直线的距离的范围为，则.

故答案为A.

12、（2020年高考全国Ⅰ卷理数）已知⊙M：，直线：，为上的动点，过点作⊙M的切线，切点为，当最小时，直线的方程为（    ）

A．  B． 

C．  D．

【答案】D

【解析】圆的方程可化为，点到直线的距离为，所以直线与圆相离．

依圆的知识可知，四点四点共圆，且，所以，而，

当直线时，，，此时最小．

∴即，由解得，．

所以以为直径的圆的方程为，即，

两圆的方程相减可得：，即为直线的方程．

故选：D．

二、多选题

13、（2010青岛期中）若直线过点，且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线方程可能为　　

A． B． C． D．

【答案】

【解析】：当直线经过原点时，斜率为，所求的直线方程为，即；

当直线不过原点时，设所求的直线方程为，把点代入可得，或，

求得，或，故所求的直线方程为，或；

综上知，所求的直线方程为、，或．

故选：．

14、（2010徐州其末）若是圆上任一点，则点到直线距离的值可以为　　

A．4 B．6 C． D．8

【答案】

【解析】：直线恒过定点点，当直线与 垂直时，点到直线距离最大，等于，圆心坐标为：，

所以为，

当直线与圆有交点时最小为0，

所以点到直线距离的范围为：，，

故选：．

15、（2020泰州模拟）实数，满足，则下列关于的判断正确的是　　

A．的最大值为 B．的最小值为 

C．的最大值为 D．的最小值为

【答案】CD

【解析】：由题意可得方程为圆心是，半径为1的圆，由为圆上的点与定点的斜率的值，

设过点的直线为，即，

圆心到到直线的距离，即，整理可得解得，

所以，即的最大值为：，最小值为，

故选：．

16、（2019枣庄期中）已知圆，圆交于不同的，，，两点，下列结论正确的有　　

A． B． 

C． D．

【答案】．

【解析】：两圆方程相减可得直线的方程为：，即，故正确；

分别把，，，两点代入得：，，

两式相减得：，即，故正确；

由圆的性质可知：线段与线段互相平分，

，，故正确．

故选：．

17、 已知点A（2,0），圆，圆上的点P满足，则a的取值可能是（    ）

A. 1 B. -1 C.  D. 0

【答案】ABC

【解析】因为圆，[来源:Zxxk.Com]

设，

则，[来源:Zxxk.Com]

整理得，即，

当，等式不成立，

当时，,则①，将分别代入①得,

均符合,故选：ABC.

18、 已知点是直线上一定点，点、是圆上的动点，若的最大值为，则点的坐标可以是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】AC

【解析】原点到直线的距离为，则直线与圆相切，

当、均为圆的切线时，取得最大值，

连接、，由于的最大值为，且，，

则四边形为正方形，所以，

由两点间的距离公式得，

整理得，解得或，因此，点的坐标为或,故选：AC.

19、（2020届山东省德州市高三上期末）已知点是直线上一定点，点、是圆上的动点，若的最大值为，则点的坐标可以是（    ）

A． B． C． D．

【答案】AC

【解析】

如下图所示：

原点到直线的距离为，则直线与圆相切，

由图可知，当、均为圆的切线时，取得最大值，

连接、，由于的最大值为，且，，

则四边形为正方形，所以，

由两点间的距离公式得，

整理得，解得或，因此，点的坐标为或.

故选：AC.

三、填空题

20、（2020届山东省九校高三上学期联考）直线与圆相交于、两点，则__________.

【答案】

【解析】

圆的标准方程为，圆心到直线的距离，

所以弦长：.

故答案为：

21、（2020·全国高三专题练习（理））已知圆关于直线对称，则的最小值为__________．

【答案】

【解析】由题意可知直线过圆心，即

当且仅当时，又

即时等号成立，

故的最小值为9.

故答案为：9

22、（2020年高考天津）已知直线和圆相交于两点．若，则的值为_________．

【答案】5

【解析】因为圆心到直线的距离，

由可得，解得．

故答案为：．

23、（2020届山东省滨州市高三上期末）在平面直角坐标系中，为直线上在第三象限内的点，，以线段为直径的圆（为圆心）与直线相交于另一个点，，则圆的标准方程为________.

【答案】

【解析】

由题意，设点，因为，则的中点为，

以线段为直径的圆的方程为：；

由，解得：，即；

又，所以；

因为，

所以，

整理得：，解得或，因为，所以，

所以圆的方程为：，

整理得：.

故答案为：.

24、（2020届浙江省温丽联盟高三第一次联考）设直线l:上存在点P到点A(3，0)，O(0，0)的距离之比为2，则实数m的取值范围为_____.

【答案】

【解析】设直线上点，由两点间的距离公式得，两边平方化简得，由于点存在，故上述一元二次方程有实数根，所以，化简得，解得.

25、（2018年高考江苏卷）在平面直角坐标系中，A为直线上在第一象限内的点，，以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D．若，则点A的横坐标为________．

【答案】3

【解析】设，则由圆心为中点得

易得，与联立解得点的横坐标所以.

所以，

由得或，

因为，所以

26、(2020年高考浙江)已知直线与圆和圆均相切，则_______，b=_______．

【答案】；

【解析】由题意，到直线的距离等于半径，即，，

所以，所以（舍）或者，

解得.

故答案为：

27、（2019年高考浙江卷）已知圆的圆心坐标是，半径长是.若直线与圆C相切于点，则=___________，=___________．

【答案】，

【解析】由题意可知，把代入直线AC的方程得，此时.

28、（2020届浙江省台州市温岭中学3月模拟）已知，，动点满足，则点的轨迹方程是___________；又若，此时的面积为___________.

【答案】；    .   

【解析】

，，设，

由，得，

整理得：；

以为直径的圆的方程为，

联立，

解得.

即点的纵坐标的绝对值为.

此时的面积为.

故答案为：；.

四、解答题

29、已知平面内两点。

（1）求的垂直平分线方程；

（2）直线经过点，且点和点到直线的距离相等，求直线的方程。

【解析】（1）易求得中点坐标为,又，

所以的中垂线的斜率为,的中垂线的方程为即.

（2）当直线与直线MN平行时，由（1）知，，所以此时直线的方程为，       

当直线经过点得，综上：为和.               

30、已知直线．

（1）若，求实数的值；

（2）当时，求直线与之间的距离．

【解析】（1）∵，且，

∴，解得．

（2）∵，且，

∴且，解得，

∴，即[来源:Zxxk.Com]

∴直线间的距离为．

31、已知圆E经过M（﹣1，0），N（0，1），P（，）三点．

（1）求圆E的方程；

（2）若过点C（2，2）作圆E的两条切线，切点分别是A，B，求直线AB的方程．

【解析】（1）根据题意，设圆E的圆心E坐标为（a，b），半径为r，

则有，解可得，

则圆E的方程为x2+y2＝1；

（2）根据题意，过点C（2，2）作圆E的两条切线，切点分别是A，B，

设以C为圆心，PA为半径为圆为圆C，其半径为R，

则有R＝|PA|，

则圆C的方程为（x﹣2）2+（y﹣2）2＝7，即x2+y2﹣4x﹣4y+1＝0，

又由直线AB为圆E与圆C的公共弦所在的直线，则有，

解可得2x+2y﹣1＝0，

则AB的方程为：2x+2y﹣1＝0．

32、已知圆E经过M（﹣1，0），N（0，1），P（，）三点．

（1）求圆E的方程；

（2）若过点C（2，2）作圆E的两条切线，切点分别是A，B，求直线AB的方程．

【解析】（1）根据题意，设圆E的圆心E坐标为（a，b），半径为r，

则有，解可得，

则圆E的方程为x2+y2＝1；

（2）根据题意，过点C（2，2）作圆E的两条切线，切点分别是A，B，

设以C为圆心，PA为半径为圆为圆C，其半径为R，

则有R＝|PA|，

则圆C的方程为（x﹣2）2+（y﹣2）2＝7，即x2+y2﹣4x﹣4y+1＝0，

又由直线AB为圆E与圆C的公共弦所在的直线，则有，

解可得2x+2y﹣1＝0，

则AB的方程为：2x+2y﹣1＝0．

33、已知方程x2+y2-2x-4y+m=0.

(1) 若此方程表示圆,求m的取值范围;

(2) 若(1)中的圆与直线x+2y-4=0相交于M,N两点,且OM⊥ON(O为坐标原点),求m;

(3) 在(2)的条件下,求以MN为直径的圆的方程.

【解析】(1) 因为(x-1)2+(y-2)2=5-m是圆,

所以m<5.

(2) 设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1=4-2y1,x2=4-2y2,

则x1x2=16-8(y1+y2)+4y1y2.

因为OM⊥ON,所以x1x2+y1y2=0,

所以16-8(y1+y2)+5y1y2=0.①

由得5y2-16y+m+8=0,

所以y1+y2=,y1y2=,

代入①,得m=.

(3) 以MN为直径的圆的方程为(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0,即x2+y2-(x1+x2)x-(y1+y2)y=0,

所以所求圆的方程为x2+y2-x-y=0.

34、已知直线，半径为2的圆C与l相切，圆心C在x轴上且在直线l的上方，

求圆C的方程；

设过点的直线被圆C截得的弦长等于，求直线的方程；

过点的直线与圆C交于A，B两点在x轴上方，问在x轴正半轴上是否存在点N，使得x轴平分？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

【解析】设圆心C(a，0)（），
直线l：，半径为2的圆C与l相切，
，即，解得：或（舍去，则圆C方程为；
由题意可知圆心C到直线的距离为，
若直线斜率不存在，则直线：，圆心C到直线的距离为1；
若直线斜率存在，设直线：，
则有，即，此时直线：，

综上直线的方程为或；
当直线轴，则x轴平分 ，
当直线AB斜率存在时，设直线方程为，，
联立：，得，，
若x轴平分，则，即，，
整理得：，即，
解得：，当点，能使得总成立．

35、已知圆C：.

（1）求经过点且与圆C相切的直线方程；

（2）设直线与圆C相交于A,B两点．若，求实数n的值；

（3）若点在以为圆心，以1为半径的圆上，距离为4的两点P,Q在圆C上，求的最小值.

【解析】（1）是圆上的点，所以切线的方程为：[ XK]

（2）∵

∴即圆心到直线的距离为

∴或.

（3）∵

     ∴当NC最小时，最小

     ∵[来源:Zxxk.Com]

      ∴当时，取得最小值为，此时最小为.