初中北师大版2 30°、45°、60°角的三角函数值教案

这是一份初中北师大版2 30°、45°、60°角的三角函数值教案，共3页。教案主要包含了情境导入，合作探究，板书设计等内容，欢迎下载使用。




1．经历探索30°，45°，60°角的三角函数值的过程，进一步体会三角函数的意义；(重点)


2．能够进行30°，45°，60°角的三角函数值的计算；(重点)


3．能够根据30°，45°，60°角的三角函数值说出相应锐角的大小．(难点)











一、情境导入


在直角三角形中(利用一副三角板进行演示)，如果有一个锐角是30°(如图①)，那么另一个锐角是多少度？三条边之间有什么关系？如果有一个锐角是45°呢(如图②)？由此你能发现这些特殊锐角的三角函数值吗？





二、合作探究


探究点一：30°，45°，60°角的三角函数值


【类型一】 利用特殊角的三角函数值进行计算


计算：


(1)2cs60°·sin30°－ eq \r(6)sin45°·sin60°；


(2)eq \f(sin30°－sin45°,cs60°＋cs45°).


解析：将特殊角的三角函数值代入求解．


解：(1)原式＝2×eq \f(1,2)×eq \f(1,2)－eq \r(6)×eq \f(\r(2),2)×eq \f(\r(3),2)＝eq \f(1,2)－eq \f(3,2)＝－1；(2)原式＝eq \f(\f(1,2)－\f(\r(2),2),\f(1,2)＋\f(\r(2),2))＝2eq \r(2)－3.


方法总结：解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值．


变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第5题


【类型二】 已知三角函数值求角的取值范围


若csα＝eq \f(2,3)，则锐角α的大致范围是( )


A．0°＜α＜30° B．30°＜α＜45°


C．45°＜α＜60° D．0°＜α＜30°


解析：∵cs30°＝eq \f(\r(3),2)，cs45°＝eq \f(\r(2),2)，cs60°＝eq \f(1,2)，且eq \f(1,2)＜eq \f(2,3)＜eq \f(\r(2),2)，∴cs60°＜csα＜cs45°，∴锐角α的范围是45°＜α＜60°.故选C.


方法总结：解决此类问题要熟记特殊角的三角函数值和三角函数的增减性．


变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第9题


【类型三】 已知三角函数值，求角度


根据下列条件，确定锐角α的值：


(1)cs(α＋10°)－eq \f(\r(3),2)＝0；


(2)tan2α－(eq \f(\r(3),3)＋1)tanα＋eq \f(\r(3),3)＝0.


解析：(1)根据特殊角的三角函数值来求α的值；(2)用因式分解法解关于tanα的一元二次方程即可．


解：(1)cs(α＋10°)＝eq \f(\r(3),2)，α＋10°＝30°，∴α＝20°；(2)tan2α－(eq \f(\r(3),3)＋1)tanα＋eq \f(\r(3),3)＝0，(tanα－1)(tanα－eq \f(\r(3),3))＝0，tanα＝1或tanα＝eq \f(\r(3),3)，∴α＝45°或α＝30°.


方法总结：熟记特殊角的三角函数值以及将“tanα”看作一个未知数解方程是解决问题的关键．


变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升” 第8题


探究点二：特殊角的三角函数值的应用


【类型一】 特殊角的三角函数值与其他知识的综合


已知△ABC中的∠A与∠B满足(1－tanA)2＋|sinB－eq \f(\r(3),2)|＝0，试判断△ABC的形状．


解析：根据非负性的性质求出tanA及sinB的值，再根据特殊角的三角函数值求出∠A及∠B的度数，进而可得出结论．


解：∵(1－tanA)2＋|sinB－eq \f(\r(3),2)|＝0，∴tanA＝1，sinB＝eq \f(\r(3),2)，∴∠A＝45°，∠B＝60°，∠C＝180°－45°－60°＝75°，∴△ABC是锐角三角形．


方法总结：一个数的绝对值和偶次方都是非负数，当几个数或式的绝对值或偶次方相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0.


变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第4题


【类型二】 利用特殊角的三角函数值求三角形的边长








如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD是△ABC的角平分线，若AC＝eq \r(3)，求线段AD的长．


解析：首先根据直角三角形的性质推出∠BAC的度数，再求出∠CAD＝30°，最后根据特殊角的三角函数值求出AD的长度．


解：∵△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，∴∠BAC＝60°.∵AD是△ABC的角平分线，∴∠CAD＝30°，∴在Rt△ADC中，AD＝eq \f(AC,cs30°)＝eq \r(3)×eq \f(2,\r(3)) ＝2.


方法总结：解决此题的关键是利用转化的思想，将已知和未知元素化归到一个直角三角形中，进行解答．


变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第9题


【类型三】 构造三角函数模型解决问题


要求tan30°的值，可构造如图所示的直角三角形进行计算．作Rt△ABC，使∠C＝90°，斜边AB＝2，直角边AC＝1，那么BC＝eq \r(3)，∠ABC＝30°，∴tan30°＝eq \f(AC,BC)＝eq \f(1,\r(3))＝eq \f(\r(3),3).在此图的基础上，通过添加适当的辅助线，探究tan15°与tan75°的值．





解析：根据角平分线的性质以及勾股定理首先求出CD的长，进而得出tan15°＝eq \f(CD,BC)，tan75°＝eq \f(BC,CD).


解：作∠B的平分线交AC于点D，作DE⊥AB，垂足为E.∵BD平分∠ABC，CD⊥BC，DE⊥AB，∴CD＝DE.设CD＝x，则AD＝1－x，AE＝2－BE＝2－BC＝2－eq \r(3).在Rt△ADE中，DE2＋AE2＝AD2，x2＋(2－eq \r(3))2＝(1－x)2，解得x＝2eq \r(3)－3，∴tan15°＝eq \f(2\r(3)－3,\r(3))＝2－eq \r(3)，tan75°＝eq \f(BC,CD)＝eq \f(\r(3),2\r(3)－3)＝2＋eq \r(3).





方法总结：解决问题的关键是添加辅助线构造含有15°和75°的直角三角形，再根据三角函数的定义求出15°和75°的三角函数值．


变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第6题


三、板书设计


30°，45°，60°角的三角函数值


1．特殊角的三角函数值


2.应用特殊角的三角函数值解决问题





课程设计中引入非常直接，由三角板引入，直击课题，同时也对前两节学习的知识进行了整体的复习，效果很好．设计引题开门见山，节省了时间，为后面的教学提供了方便．在讲解特殊角三角函数值时也很细，可以说前部分的教学很成功，学生理解的很好.30°
45°
60°
sinα
eq \f(1,2)
eq \f(\r(2),2)
eq \f(\r(3),2)
csα
eq \f(\r(3),2)
eq \f(\r(2),2)
eq \f(1,2)
tanα
eq \f(\r(3),3)
1
eq \r(3)